Статья посвящена разбору примеров решения неравенств методом интервалов. При том, что этот метод решения неравенств достаточно универсален, важно помнить, что не всегда применение данного метода оправдано с точки зрения объема вычислений. Иногда бывает удобнее воспользоваться некоторыми другими методами решения неравенств. Все рассмотренные в статье неравенства взяты из реальных вариантов ЕГЭ по математике разных лет. Присутствует подробный видеоразбор одного из заданий.
Метод интервалов
Пусть заданное неравенство имеет вид: 
Для решения этого неравенства используется так называемый метод интервалов (метод промежутков), который состоит в следующем.
Во-первых, на числовую ось наносят точки 
разбивающие ее на промежутки, в которых выражение 
определено и сохраняет знак («плюс» или «минус»). Такими точками могут быть корни уравнений 
и 
Соответствующие этим корням точки отмечают на числовой оси: закрашенными кружками — точки, удовлетворяющие заданному неравенству, а светлыми кружками — не удовлетворяющие ему.
Во-вторых, определяют и отмечают на числовой оси знак выражения для значении 
, принадлежащих каждому из полученных промежутков. Если функции 
и 
являются многочленами и не содержат множителей вида 
где 
то достаточно определить знак функции в любом таком промежутке, а в остальных промежутках знаки «плюс» и «минус» будут чередоваться.
Если же в числителе или знаменателе дроби имеется множитель вида где то непосредственной проверкой выясняют, удовлетворяет ли значение 
заданному неравенству.
Изменение знаков удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (кривой знаков), проведенной через отмеченные точки и лежащей выше или ниже числовой оси в соответствии со знаком дроби в рассматриваемом промежутке. Промежутки, которые содержат точки, удовлетворяющие данному неравенству, иногда покрывают штрихами. На ту же ось помещают и точки, соответствующие 
Заштрихованная область в совокупности с полученными точками будет являться ответом к неравенству.
Общий вид прямой знаков в методе интервалов
Примеры решения неравенств методом интервалов
![\[ \frac{1}{x^2-5x+6}\leqslant\frac{1}{2}. \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-68fdc2b101fa2fb67343493c7316f5b7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение. Упрощаем неравенство путем равносильных преобразований:
![\[ \frac{1}{x^2-5x+6}-\frac{1}{2}\leqslant 0\Leftrightarrow \frac{2-(x^2-5x+6)}{2(x^2-5x+6)}\leqslant 0\Leftrightarrow \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-730734e93796110ee25c6fc4704ef9cd_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ \frac{-x^2+5x-4}{x^2-5x+6}\leqslant 0\Leftrightarrow \frac{x^2-5x+4}{x^2-5x+6}\geqslant 0. \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d1be3fb1f05682ee0466390ab1b317ae_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Выражения, стоящие в числителе и знаменателе, можно разложить на множители, тогда неравенство примет вид:
![\[ \frac{(x-4)(x-1)}{(x-2)(x-3)}\geqslant 0. \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f24afd0353b4811ea68947bda76b9ba8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Далее по алгоритму решения неравенств методом интервалов находим корни уравнений 
и 
. Из первого получаем 
Из второго получаем 
Наносим на числовую прямую получившиеся точки, причем точки 
и 
обозначаем закрашенными кружочками (для них неравенство выполняется), а точки 
и 
— светлыми (для них неравенство не выполняется, при этих значениях, выражение, стоящее слева от знака неравенства, вообще не имеет смысла):
Числовая прямая с отмеченными точками
Определяем теперь знаки выражения 
на полученных промежутках (подставляем любое значение из каждого полученного промежутка в данное выражение), изображаем кривую знаков, заштриховываем те промежутки, на которых исходное неравенство выполняется:
Кривая знаков для исходного неравенства
Итак, исходному неравенству удовлетворяют следующие значения: ![x\in(-\mathcal{1};1]\cup(2;3)\cup[4;+\mathcal{1}).](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d46421a915b9249fa4c19ea679359a50_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ответ:
Задача для самостоятельного решения №1. Решите неравенство:
![\[ \frac{x+17}{x^2-x-6}\geqslant 0. \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-839fa1023a97b4327c3f70ebca21038a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Показать ответ
![\[ \frac{\sqrt{x}-3}{x-2}>0. \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2713a0c7891d57c7c708e0f4daa14690_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение. Подкоренное выражение, как известно, не может принимать отрицательных значений, также не допускается нахождение в знаменателе дроби нуля. Следовательно, область допустимых значений данного неравенства определяется неравенством 
и тем условием, что 
Решаем уравнения 
и 
Из первого уравнения получаем, что 
Из второго уравнения получаем, что 
Наносим область допустимых значений неравенства и полученные точки на числовую прямую, причем эти точки будет светлыми, поскольку ни одно из значений и не удовлетворяет неравенству. Сразу определяем знаки выражения 
в каждом из полученных промежутков и рисуем кривую знаков:
Кривая знаков для решения исходного неравенства
Верхней стрелкой на рисунке обозначена область допустимых значений неравенства. Ответом к неравенству будет являться промежуток, соответствующий на рисунке заштрихованной области.
Ответ: 
Задача для самостоятельного решения №2. Решите неравенство:
![\[ \frac{\sqrt{17-15x-2x^2}}{x+3}>0. \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0075ad2be02241eb571efa63c22fd3f5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Показать ответ
![\[ \frac{1-\sqrt{1-8x^2}}{x}<2. \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ce0765d18e1c1af42f79ad43f23186ba_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решение. Подкоренное выражение не может принимать отрицательных значений, а в знаменателе дроби не должно быть нуля. Следовательно, область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:
![\[ \begin{cases}1-8x^2\geqslant 0, \\ x\ne 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\leqslant x\leqslant \frac{1}{2\sqrt{2}}, \\ x\ne 0.\end{cases}\Leftrightarrow \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c5e2e667374a38c67f95ae6d66f3e3ff_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ x\in\left[-\frac{1}{2\sqrt{2}};0\right)\cup\left(0;\frac{1}{2\sqrt{2}}\right]. \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-45e226ad7f4db51655b74bf6d74347e9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Решаем уравнение 
и 
Из первого получаем, что 
и 
Из второго получаем, что 
Наносим полученные точки на числовую прямую, не забывая о том, какие из них следует закрасить, а какие осветлить. Изображаем также на ней область допустимых значений и изображаем кривую знаков:
Кривая знаков для исходного неравенства
Пунктирные лини на рисунке ограничивают область допустимых значений неравенства. Заштрихованная область соответствует решению неравенства.
Ответ: 
Задача для самостоятельного решения №3. Решите неравенство:
![\[ \sqrt{2x+1}<\frac{2x+1}{2-x}. \]](https://yourtutor.info/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6824dcdfdb7d56917479eccdbc88b1c4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Показать ответ
Метод интервалов — универсальный, но не единственный метод решения неравенств. Уметь использовать этот метод, конечно, необходимо, но не достаточно для успешного решения задач по математики. Как репетитор по математике советую вам освоить и другие более частные методы решения неравенств. Успехов вам!
Сергей Валерьевич
Преподаватель математики и физики
© Латинская пословица
как тут понять если у меня не нуль
Что значит «не нуль»?
не равно нулю,тоесть его нельзя брать,исключи его
Можно написать решения подробней? Плохо понятно,особенно как в третьем получили 1/3:-)
Ну это стандартное иррациональное уравнение. Переносим корень в другую часть уравнения, возводим обе части в квадрат. Получаем квадратное уравнение, решаем его, получаем два корня. Поскольку после возведения обеих частей уравнения в квадрат могут появится посторонние корни, прямой подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что оба полученных корня подходят.
как решить неравенство общего вида?
Методом интервалов.
В третьем примере -1/sqrt(8) тоже должно входить в ответ.
Да, спасибо, исправил.
А почему простого линейного уравнения нету? Можете написать пример линейного уравнения, пожалуйста?
Могу. Ну, например, 4x + 2 > 4. Решаем: 4x > 4 — 2, 4x > 2, x > 0.5
Как определить знаки кривого знаков?
x+4/3+6x<0 ответ (-0.5; 4) ? или я не права?
К неравенству, которое Вы записали, ответ x<-4/21.
Пример1.
Как числитель (и знаменатель) разложить на множители?
Стандартным методом разложения квадратного трехчлена на множители.
в первом примере ,куда мы дели двойку в знаменателе,должны же были умножить эту двойку на скобку
Умножили обе части неравенства на 2, и она сократилась.
Тут неправильно. Знаменатель не может равняться нулю, а значит сразу нужно приравнивать знаменать к нулю, а то, что вы нашли — это неправильно. Посторонние корни
О каком примере речь идет?
ага
Спасибо!!! Очень помогли))
подскажите пож, если в неравенстве в числит и знаменателе квадр. уравнения, в числит имеет реш, а в знаменателе дискрем отриц, получается просто наносим корни числителя и выбираем промежутки?
Если при x^2 коэффициент в знаменателе положительный, то да, так как знаменатель всегда положительный. Если отрицательный — надо ещё поменять знак неравенства, так как знаменатель всегда отрицательный.
А если наоборот: числитель нн имеет корней?
Можете написать как решить неравенство: (х+1-√3)^2 × (х+2-√6) больше 0. Методом интервалов
Корни уравнения (х+1-√3)^2 × (х+2-√6) = 0 равны √3-1 и √6-2. Причём √6-2 находится левее, чем √3-1 на координатной прямой. Определяем знаки на промежутках, на которые эти числа разбивают числовую прямую. Слева направо это будут знаки — + +. Сами точки √6-2 и √3-1 должны изображаться выколотыми, поскольку неравенство строгое. Значит ответ √6-2√3-1.
запишите неравенство, решением которого является объединение числового промежутка и точки. Можете объяснить о чем речь?
Ну, например, вот такое: x^2(x+2)<=0. Его решением является объединение промежутка и точки: x∈(-∞;-2]U{0}.
Что делать, если в числителе кв. уравнение не имеет корней?
В этом случае, если коэффициент a>0, то числитель принимает только положительные значения, если a<0, то только отрицательные. Надо это учесть при расстановке знаков на числовой прямой.
А не подскажите, если в числителе x^3+2x^2+x, то он будет равен 1?
Здравствуйте
Здравствуйте, Алия
Помогите срочно пожалуйста 4х-х-3= >0
Почему нет кв. неравенства вида
(3x + 2)(x — 5)(4x — 1) > 0
Сколько промежутков :
(х-1)(х-2)(х-3)(х-4)(х-55)=0