Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению показательных уравнений и неравенств. В вариантах ЕГЭ по математике к такому типу задач относится, в частности, задача C3. Научиться решать задания C3 важно не только с целью успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшей школе.
Выполняя задания C3, приходится решать различные виды уравнений и неравенств. Среди них — рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (абсолютные величины), а также комбинированные. В этой статье рассмотрены основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решений. О решении остальных видов уравнений и неравенств читайте в рубрике «Методическая копилка репетитора по физике и математике» в статьях, посвященных методам решения задач C3 из вариантов ЕГЭ по математике.
Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств, как репетитор по математике, предлагаю вам освежить в памяти некоторый теоретический материал, который нам понадобится.
Функцию вида y = ax, где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией.
Основные свойства показательной функции y = ax:
Свойство | a > 1 | 0 < a < 1 |
Область определения | D(f) = (-∞; +∞) | D(f) = (-∞; +∞) |
Область значений | E(f) = (0; +∞) | E(f) = (0; +∞) |
Монотонность | Возрастает | Убывает |
Непрерывность | Непрерывная | Непрерывная |
Графиком показательной функции является экспонента:
Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней.
Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:
Теорема 1. Показательное уравнение af(x) = ag(x) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).
Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:
Пример 1. Решите уравнение:
Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку:
Уравнение тогда принимает вид:
Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:
Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:
Переходя к обратной подстановке, получаем:
Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе:
С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию.
Ответ: x = 3.
Пример 2. Решите уравнение:
Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 94-x положительна и не равна нулю).
Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней:
Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1.
Ответ: x = 6.
Пример 3. Решите уравнение:
Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2x. Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид:
Ответ: x = 0.
Пример 4. Решите уравнение:
Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:
Деление обеих частей уравнения на 4x, как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x.
Ответ: x = 0.
Пример 5. Решите уравнение:
Решение: функция y = 3x, стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = —x-2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет.
Ответ: x = -1.
Пример 6. Решите уравнение:
Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи:
Ответ: x = 2.
Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.
Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:
Теорема 2. Если a > 1, то неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) < g(x).
Пример 7. Решите неравенство:
Решение: представим исходное неравенство в виде:
Разделим обе части этого неравенства на 32x, при этом (в силу положительности функции y = 32x) знак неравенства не изменится:
Воспользуемся подстановкой:
Тогда неравенство примет вид:
Итак, решением неравенства является промежуток:
переходя к обратной подстановке, получаем:
Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:
Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:
Итак, окончательно получаем ответ:
Пример 8. Решите неравенство:
Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:
Введем новую переменную:
С учетом этой подстановки неравенство принимает вид:
Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:
Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t:
Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем:
Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству:
Окончательно получаем ответ:
Пример 9. Решите неравенство:
Решение:
Делим обе части неравенства на выражение:
Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем:
Воспользуемся заменой переменной:
Исходное уравнение тогда принимает вид:
Итак, неравенству удовлетворяют значения t, находящиеся в промежутке:
Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:
Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:
Поскольку основание степени в данном случае оказалось меньше единицы, но больше нуля, равносильным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:
Итак, окончательный ответ:
Пример 10. Решите неравенство:
Решение:
Ветви параболы y = 2x+2-x2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине:
Ветви параболы y = x2-2x+2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине:
Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3x2-2x+2, стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 31 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1.
Ответ: x = 1.
Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Искренне желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене.
Репетитор по математике в Тропарёво
Сергей Валерьевич
P. S. Уважаемые гости! Пожалуйста, не пишите в комментариях заявки на решение ваших уравнений. К сожалению, на это у меня совершенно нет времени. Такие сообщения будут удалены. Пожалуйста, ознакомьтесь со статьёй. Возможно, в ней вы найдёте ответы на вопросы, которые не позволили вам решить своё задание самостоятельно.
На самом деле понятно, только я все равно не могу разобраться с некоторыми уравнениями.
Подскажите пожалуйста, если решаем уравнение, и в показателе модуль, рассматриваем два случая раскрытия, с плюсом и минусом? и оба числа будут являться решением?
2 в степени (икс квадрат + икс по модулю) умножить на 3 в степени (- модуль икс) меньше или равно 1. Решить слабо?
не могу разобрать неравенство 2х во второй степени умнож на 49 больше 16 умножить на 7 в степени(х в квадрате минус2) помогите,пожалуйста,если сможете
извините,а как долго ждать результат?
Помогите решить до конца не могу разобраться
25^х + 175*5^х-2 — 60 = 0
как решить?
4^х-3*6^х+9^х<0
честно, все эти замены, уууух, какие непонятные. при попытке решать задачи по вашему примеру, учительница наорала и попросила слушать больше ее, нежели интернетовских «умников», даа, вот такая вот учительница. и вопрос:возможно ли выучить ВСЕ это, будучи при этом морковкой полной?
Пример 1. Решите уравнение:
2^{2x+1}-5*2^x-88=0.
Простите, почему Вы раскрываете это уравнение как
2t^2-5t+88=0 ?
Первая часть раскроется как 4t^2, в скобке ведь два слагаемых — то есть 2^2x * 2, разве нет?
3^x²-7.2x>1/3×9^1/5 как решить неравенство. Бред у меня получается
Очень информативная статья у вас! Благодарю)
На свой примерчик только ничего не нашла, помогите пожалуйста решить уравнение :
(2-√3)^x+(2+√3)^x — 2 = 0
Сергей, спасибо большое за статью. очень помогла. а вот с одним не разобралась. если не трудно, посмотрите. 2 в степени х^2 умножить на 3^х равно 6. один корень равен 1, а другой?
благодарю за помощь))) очень тронута.
многое забывается, если долго не заниматься. приходится сейчас наверстывать свои упущения. еще одно задание решала долго. пробовала разными способами получается только один корень, а нужно найти сумму корней. может опечатка ? 9*16^х-7*12^х-16*9^х=0
Добрый день! Помогите , пожалуйста, решить неравенство.
2^((1-х)/(3+х))*7^(х+3)=56
Вместо = знак >=
Помогите, пожалуйста, решить неравенство:
4х^4 +2х^3 -8х^2 +х+1 <=0
Если можете, то с подробным решением
Помогите решить
3 в степени (2х минус 6) = 9 в степени (2√х)
как решать с модулем, можете объяснить пожалуйста
помогите решить показательное уравнение. Калькулятор только дает ответ, а мне нужно решение 4*4^x+(4*x-13)*2^x+3-x=0
не могу понять как решать уравнения с одинаковым корне
пример:3^x<5^x
дано: 5^(х+2)+5^(х+1)-5^х<3^(х/2+1)-3^(х/2)-3^(х/2-1) получил 29*5^х<5/3*3^(х/2), потом… помогите
Помогите, пожалуйста, решить уравнение:
(3-sqrt(8))^(x/3) + (3+sqrt(8))^(x/3) =2.5
Домножаю на сопряженное первое слагаемое, делаю подстановку, решаю квадратное уравнение, получаются какие-то неудобные корни, обратная подстановка и логарифмирование ничего хорошего не дает. Как же его решать, это уравнение?! Заранее благодарна.
Нашла ошибку, все получилось, извините за беспокойство.
Решила сама.
мне нужно построить график функции y=(1/3) в степени х, минус 3. Если тупо подставлять в уравнение значения х, получается что-то не то. Построила два графика один y=(1/3) в степени х, второй у=-3. Правильно ли это?
Здравствуйте. Помогите пожалуйста решить уравнение 2^(x-1)>(1÷16)^(1÷x)
Буду очень благодарен! Заранее спасибо
пожалуйста помогите как решать эту уравнению; 2^(a+4)= 6; 3^(2b+1)=12 . 3^(ba-2) =?
Спасибо! Очень полезная информация.
Помогите пожалуйста решить! 0,5^х+7 * 0,51-2х=2
Решите пожалуйста эту задачу
Два в степени икс ровно шесть минус икс
И так же
(½) в степени икс=x+6
Спасибо большое!!!!! Очень помогло разобраться в этом во всем, СПАСИБО))))
6^x-3-2^x-0,5*3^x+1,5=0
решите пожалуйста
У меня вопрос по первому примеру, куда делась единица? То есть: 2^(2x+1)-5*2^x-88=0, при подстановке в t=2x, по идее, должно получиться 2t^(2+1)-5t-88=0, разве не так?