Решение задач B12 ЕГЭ 2012 по математике с репетитором | Репетитор по математике и физике

в результатах поиска

Меню

Категории

Решение задач B12 ЕГЭ 2012 по математике с репетитором

14.04.2012 Сергей Валерьевич Методическая копилка

Как репетитор по физике и математике могу сказать без преувеличения, что основной целью обучения является понимание учеником основных принципов, по которым устроена окружающая действительность. Решая насущные проблемы подготовки ученика к сдаче ЕГЭ по математике, репетитор не должен забывать и об этой очень важной мировоззренческой задаче. Всякая наука подходит к этой проблеме с разных сторон. В математике и физике весьма распространен метод моделирования, позволяющий на основании анализа некоторых функциональных зависимостей понимать как функционирует та или иная система и уметь прогнозировать ее поведение в будущем.

По этой причине в процессе подготовки учеников в сдаче ЕГЭ по математике любой грамотный репетитор по физике и математике уделяет особое внимание решению зажач B12, суть которых сводится к анализу какого-либо явления, описываемого элементарной функциональной зависимостью (тригонометрической, линейной, степенной, квадратичной, логарифмической или показательной). В данной статье как репетитор по математике на конкретных примерах постараюсь освятить основные приемы решения подобных заданий, а также обращу внимание читателя на некоторые «подводные камни», с которыми о может столкнуться при решении задач B12 на экзамене, времени до которого остается все меньше и меньше.

Задача, сводящаяся к линейному неравенству. Предприятие, производящее корм для канареек продает его по цене $p=600$ руб. за упакоку, переменные затраты на изготовление одной упаковки составляют $\nu=400$ руб., постоянные затраты производителя составляют $f=200000$ руб. в месяц. Операционная прибыль за месяц вычисляется по формуле: $\pi(q) = q(p-\nu)-f.$ Определите, сколько потребуется производить упаковок корма для канареек $q$ в месяц, чтобы операционная прибыль была не меньше 400000 руб.

Решение. Исходя из анализа условия, понимаем, что задача сводится к решению следующего линейного неравенства:

$\pi(q) = q(600-400)-200000\geqslant 400000\Rightarrow$

$200q\geqslant 400000+200000\Rightarrow 200q\geqslant 600000\Rightarrow$

$q \geqslant 3000.$

Итак, наименьший объем производства должен составить $3000$ единиц продукции.

Задача, сводящаяся к квадратному уравнению. Формула для расчета высоты подброшенного вертикально вверх мяча имеет вид: $h(t) = l,4 + 9t-5t^2,$ здесь $h$ — высота, $t$ — время с момента броска (все величины выражены в СИ). Определите сколько времени мяч будет находится на высоте не меньше трех метров?

Решение. Ищем в какие моменты времени мяч находился на высоте не менее трех метров. Для этого решаем квадратичное неравенство:

$1,4+9t-5t^2\geqslant 3\Rightarrow 5t^2-9t+1,6\leqslant 0\Rightarrow$

$0,2\leqslant t\leqslant 1,6.$

Итак, «длина» этого промежутка времени равна 1,4 с.

Задача, сводящаяся к степенному неравенству. Один из способов определения температуры поверхности звезд основан на использовании закона Стефана—Больцмана: мощность теплового излучения пропорциональна площади поверхности тела и его температуре в четвертой степени:

$P = \sigma ST^4,$

здесь $\sigma = 5,7\cdot 10^{-8}$ Вт/(м2·К4) — физическая постоянная, $S$ — площадь поверхности тела, $T$ — его температура, $\text{[math]}$ — мощность излучения (все величины выражены в СИ). Оцените минимально возможную температуру поверхности звезды, если известно, что площадь ее поверхности $S = \frac{1}{228}\cdot 10^{20}$ м2, а мощность излучения $\text{[math]}$ не менее $1,5625\cdot 10^{25}$ Вт.

Решение. Исходя из анализа условия, понимаем, что задача сводится к решению следующего степенного неравенства:

$5,7\cdot 10^{-8}\cdot\frac{1}{228}\cdot 10^{20}\cdot T^4\geqslant 1,5625\cdot 10^{25}\Rightarrow$

$T\geqslant \sqrt[4]{\frac{1,5625\cdot 10^{25}}{5,7\cdot 10^{-8}\cdot\frac{1}{228}\cdot 10^{20}}}=$

$=\sqrt[4]{\frac{1,5625\cdot 10^{25}}{57\cdot 10^{-9}\cdot\frac{1}{228}\cdot 10^{20}}} =$

$=\sqrt[4]{\frac{1,5625\cdot 10^{25}}{10^{-9}\cdot\frac{1}{4}\cdot 10^{20}}} =\sqrt[4]{6,25\cdot 10^{14}} = \sqrt[4]{625\cdot 10^{12}} =$

$= 5\cdot 10^{3} = 5000 \operatorname{K}.$

Итак, минимально возможное значение температуры звезды составляет 5000 К.

Задача, сводящаяся к рациональному уравнению. Имеется собирающая линза с фокусным расстоянием $f=40$ см, с ее помощью в лаборатории получают изображение лампочки на экране. Расстояние от лампочки до оптического центра линзы $d_1$ может варьироваться от 40 до 65 см, расстояние от оптического центра линзы до экрана $d_2$ — в пределах от 170 до 200 см. Известно также, что изображение получается четким в том случае, если выполняется соотношение:

$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}.$

Определите минимальное расстояние от оптического центра линзы долампочки, при котором изображение на экране еще будет получаться четким. Ответ дайте в сантиметрах.

Решение. Преобразуем данное в условии уравнение к виду:

$\frac{1}{d_1} = \frac{1}{f}-\frac{1}{d_2}.$

По условию нужно, чтобы величина $d_1$ приняла наименьшее значение, тогда величина $\frac{1}{d_1}$ напротив должна принять наибольшее значение. Из полученной формулы, с учетом того, что величина $\frac{1}{f}$ постоянна, получаем, что $\frac{1}{d_1}$ принимает наибольшее значение, когда $\frac{1}{d_2}$ принимает наименьшее, то есть когда $d_2$ принимает наибольшее, то есть $d_2 = 200$ . Окончательно получаем: $\frac{1}{d_1} = \frac{1}{40}-\frac{1}{200} = \frac{1}{50}\Rightarrow d_1 = 50$ см.

Задача, сводящаяся к иррациональному уравнению. Расстояние до горизонта вычисляется по формуле:

$l=\sqrt{2Rh},$

здесь $R = 6400$ км — радиус Земли, $h$ — небольшая высота, на которой находится наблюдатель, $l$ — собственно расстояние до горизонта. Определите на какой высоте должен находиться наблюдатель, чтобы горизонт от него находился на расстоянии не меньше 4,8 километра? Ответ дайте в м.

Решение. Исходя из анализа условия, понимаем, что задача сводится к решению следующего иррационального неравенства:

$\sqrt{2\cdot 6400\cdot 10^3\cdot h}\geqslant 4,8\cdot 10^3\Rightarrow h\geqslant \frac{\left(4,8\cdot 10^3\right)^2}{2\cdot 6400\cdot 10^3}=$

$=\frac{4,8\cdot 4,8\cdot 10^6}{2\cdot 6,4\cdot 10^6} = 1,8$ м. Итак, наблюдатель должен находиться на высоте не меньшей 1,8 м.

Задача, сводящаяся к показательному уравнению или неравенству. Уравнение адиабатического процесса, проходящего с идеальным газом, можно записать в виде:

$pV^k = const,$

здесь $p$ (Па) — давление газа, $V$ — его объем в м³. В эксперименте сжимали газ, для которого $k=\frac{5}{3},$ а значение константы равно $const =200$ Па·м⁵. Определить наибольший объем, который может занять этот газ, если его давление не превосходит $6,25\cdot 10^5$ Па? Ответ дайте в м³.

Решение. Подробнее о решении показательных уравнений и неравенств читайте в статье «Решение задач C3 ЕГЭ по математике с репетитором — показательные уравнения и неравенства». Преобразуем данное в условие выражение к виду:

$p = \frac{const}{V^k}.$

Из анализа условия, понимаем, что задача сводится к решению следующего показательного неравенства:

$\frac{200}{V^{\frac{5}{3}}}\leqslant 6,25\cdot 10^5\Rightarrow V^{\frac{5}{3}}\geqslant \frac{200}{6,25\cdot 10^5}=32\cdot 10^{-5}=$

$=\left(2\cdot 10^{-1}\right)^5\Rightarrow V^{\frac{1}{3}}\geqslant 0,2\Rightarrow V\geqslant 0,2^3\Rightarrow$

$V\geqslant 0,008$ м³. Итак, наименьший объем, который может занять этот газ, равен 0,008 м³

Задача, сводящаяся к решению логарифмического уравнения. Электроемкость конденсатора, который используют в телевизионных приемниках, составляет $C=6\cdot 10^{-6}$ Ф. Резистор с сопротивлением $R = 5\cdot 10^6$ Ом соединяют параллельно с этим конденсатором. Рабочее напряжение, подаваемое на схему, равно $U_0 = 8$ кВ. После отключения питания напряжение на конденсаторе убывает постепенно. Время, за которое это напряжение достигает значения $U$ (кВ) определяется соотношением:

$t = \alpha RC\log_2\frac{U_0}{U},$

здесь $\alpha = 0,7$ — некоторая постоянная. Требуется определить по данной формуле напряжение на конденсаторе, если известно, что после отключения питания прошло 42 с. Ответ дайте в киловольтах.

Решение. Подробнее о решении логарифмических неравенств читайте в статье «Решение задач C3 ЕГЭ по математике — логарифмические уравнения и неравенства». Задача сводится к решению следующего логарифмического уравнения:

$42 = 0,7\cdot 5\cdot 10^6\cdot 6\cdot 10^{-6}\cdot \log_2\frac{8}{U}\Rightarrow \log_2 \frac{8}{U} = 2\Rightarrow$

$\log_2\frac{8}{U} = \log_2 4\Rightarrow \frac{8}{U} = 4\Rightarrow U = 2$ кВ.

Задача, сводящаяся к решению тригонометического неравенства. Трактор тянет за собой на прицепе сани с силой $F = 70$ кН, направленной под острым углом $\alpha$ к горизонту. Соверщенная таким образом трактором работа при прохождении $S = 100$ м пути вычисляется по формуле:

$A = FS\cos\alpha,$

Требуется найти максимальный угол $\alpha$ , при котором совершенная работа будет не меньше 3500 кДж.

Решение. Задача сводится к решению следующего тригонометрического неравенства:

$70\cdot 10^3\cdot 100\cdot\cos\alpha \geqslant 3500\cdot 10^3\Rightarrow\cos\alpha\geqslant \frac{1}{2}.$

Максимальное значение угла $\alpha,$ при котором еще будет выполняться полученное неравенство, равно $60^0.$

Как видите, разобравшись в некоторых тонкостях, оказывается, что ничего особенно сложного в данных заданиях нет. Для их решения требуется умение делать несложные умозаключения и безошибочно проводить математические преобразования буквенных и числовых выражений. Зачастую школьники допускают ошибки в решении этих задач именно при вычислениях. Поэтому как репетитор по физике и математике настоятельно рекомендую внимательно проверять свои решения! Не пренебрегайте этой возможностью, она позволит вам улучшить свои результаты на экзамене.

Репетитор по физике и математике
Сергей Селиверстов