Показательные уравнения и неравенства

Воскресенье, Февраль 5, 2012

Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению показательных уравнений и неравенств. В вариантах ЕГЭ по математике к такому типу задач относится, в частности, задача C3. Научиться решать задания C3 важно не только с целью успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшей школе.

Выполняя задания C3, приходится решать различные виды уравнений и неравенств. Среди них — рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (абсолютные величины), а также комбинированные. В этой статье рассмотрены основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решений. О решении остальных видов уравнений и неравенств читайте в рубрике «Методическая копилка репетитора по физике и математике» в статьях, посвященных методам решения задач C3 из вариантов ЕГЭ по математике.

Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств, как репетитор по математике, предлагаю вам освежить в памяти некоторый теоретический материал, который нам понадобится.

Показательная функция

Что такое показательная функция?

Функцию вида y = ax, где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией.

Основные свойства показательной функции y = ax:

Свойство a > 1 0 < a < 1
Область определения D(f) = (-∞; +∞) D(f) = (-∞; +∞)
Область значений E(f) = (0; +∞) E(f) = (0; +∞)
Монотонность Возрастает Убывает
Непрерывность Непрерывная Непрерывная

График показательной функции

Графиком показательной функции является экспонента:

Экспоненты, графики показательной функции, графики функции y = a^x

Графики показательных функций (экспоненты)

Решение показательных уравнений

Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:

Теорема 1. Показательное уравнение af(x) = ag(x) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:

    \[ \fbox{\begin{array}{l} a>0,\, b>0: \\ a^0 = 1, 1^x = 1; \\ a^{\frac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^k} \, (k\in Z,\, n\in N);\\ a^{-x} = \frac{1}{a^x}; \\ a^x\cdot a^y = a^{x+y}; \\ \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}; \\ (a^x)^y = a^{xy}; \\ a^x\cdot b^x = (ab)^x; \\ \frac{a^x}{b^x}=\left(\frac{a}{b}\right)^x.\\ \end{array}} \]

Пример 1. Решите уравнение:

2^{2x+1}-5\cdot 2^x-88=0.

Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку:

~t=2^x.

Уравнение тогда принимает вид:

~2t^2-5t-88 = 0.

Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:

    \[ D = b^2-4ac = 5^2-4\cdot 2\cdot (-88) = 729 = 27^2>0. \]

Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:

    \[ \left[\begin{array}{l} t_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5)+\sqrt{729}}{2\cdot 2}} = 8, \\ t_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5)-\sqrt{729}}{2\cdot 2}} = -5,5. \\ \end{array}\right. \]

Переходя к обратной подстановке, получаем:

    \[ \left[\begin{array}{l} 2^x = 8, \\ 2^x = -5,5. \\ \end{array}\right. \]

Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе:

    \[ 2^x = 8\Leftrightarrow 2^x=2^3. \]

С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию.

Ответ: x = 3.

Пример 2. Решите уравнение:

3^{x-1}-\left(\frac{1}{3}\right)^{3-x}=\sqrt{\frac{1}{9^{4-x}}}+207.

Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 94-x положительна и не равна нулю).

Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней:

3^{x-1}-3^{x-3}=\sqrt{3^{2x-8}}+207\Leftrightarrow

\Leftrightarrow 3^{x-1}-3^{x-3}-3^{x-4}=207\Leftrightarrow

3^{x}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{27}-\frac{1}{81}\right)=207\Leftrightarrow

\Leftrightarrow 3^x\cdot\frac{23}{81}=207\Leftrightarrow 3^x=3^6\Leftrightarrow x=6.

Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1.

Ответ: = 6.

Пример 3. Решите уравнение:

\left(\frac{1}{4}\right)^x=\left(\frac{1}{5}\right)^x.

Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2x. Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид:

\left(\frac{5}{4}\right)^x = 1\Leftrightarrow x=0.

Ответ: x = 0.

Пример 4. Решите уравнение:

3^x\cdot 7^{x+2}=49\cdot 4^x.

Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:

49\cdot 3^x\cdot 7^x=49\cdot 4^x\Leftrightarrow

21^x=4^x\Leftrightarrow \left(\frac{21}{4}\right)^x = 1\Leftrightarrow x = 0.

Деление обеих частей уравнения на 4x, как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x.

Ответ: x = 0.

Пример 5. Решите уравнение:

3^x=-x-\frac{2}{3}.

Решение: функция y = 3x, стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = —x-2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет.

Ответ: x = -1.

Пример 6. Решите уравнение:

18^x-8\cdot 6^x-9\cdot 2^x = 0.

Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи:

2^x\cdot 3^{2x}-8\cdot 2^x\cdot 3^x-9\cdot 2^x = 0\Leftrightarrow

2^x(3^{2x}-8\cdot 3^x-9)=0\Leftrightarrow

    \[ \left[\begin{array}{l} 2^x =0, \\ 3^{2x}-8\cdot 3^x - 9 = 0 \\ \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 3^x =9, \\ 3^x= -1 \\ \end{array}\right.\Leftrightarrow x = 2. \]

Ответ: x = 2.

Решение показательных неравенств

Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:

Теорема 2. Если a > 1, то неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) < g(x).

Пример 7. Решите неравенство:

16^x-2\cdot 12^x\leqslant 3^{2x+1}.

Решение: представим исходное неравенство в виде:

4^{2x}-2\cdot 4^x\cdot 3^x-3\cdot 3^{2x}\leqslant 0.

Разделим обе части этого неравенства на 32x, при этом (в силу положительности функции y = 32x) знак неравенства не изменится:

\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}-2\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^x-3\leqslant 0.

Воспользуемся подстановкой:

t=\left(\frac{4}{3}\right)^x.

Тогда неравенство примет вид:

~t^2-2t-3\leqslant 0.

Решение неравенства t^2-2t-3<0

Решение неравенства на числовой прямой

Итак, решением неравенства является промежуток:

-1\leqslant t\leqslant 3,

переходя к обратной подстановке, получаем:

-1\leqslant \left(\frac{4}{3}\right)^x \leqslant 3.

Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:

\left(\frac{4}{3}\right)^x \leqslant \left(\frac{4}{3}\right)^{\log_{\frac{4}{3}}3}.

Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

x\leqslant \log_{\frac{4}{3}}3.

Итак, окончательно получаем ответ:

x\in(-\mathcal{1};\log_{\frac{4}{3}}3].

Пример 8. Решите неравенство:

\frac{7^x-30}{7^{x-1}+1}\leqslant -14.

Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:

\frac{7^x-30}{\frac{1}{7}\cdot 7^x+1}\leqslant -14.

Введем новую переменную:

~t=7^x.

С учетом этой подстановки неравенство принимает вид:

\frac{t-30}{\frac{1}{7}\cdot t+1}+14\leqslant 0\Leftrightarrow

Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:

\frac{7t-210}{t+7}+14\leqslant 0\Leftrightarrow

\frac{21t-112}{t+7}\leqslant 0\Leftrightarrow \frac{3t-16}{t+7}\leqslant 0.

Числовой промежуток, соответствующей решению неравенства (3t-16)/(t+7) <= 0

Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t:

-7\leqslant t\leqslant \frac{16}{3}.

Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем:

7\leqslant 7^x\leqslant \frac{16}{3}.

7^x\leqslant 7^{\log_7 \frac{16}{3}}.

Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству:

x\leqslant \log_7 \frac{16}{3}.

Окончательно получаем ответ:

x\in\left(-\mathcal{1};\log_7 \frac{16}{3}\right].

Пример 9. Решите неравенство:

    \[ 2^{2x^2-6x+3}+6^{x^2-3x+1}-3^{2x^2-6x+3}\geqslant 0. \]

Решение:

    \[ 2\cdot 2^{2x^2-6x+2} + 2^{x^2-3x+1}\cdot 3^{x^2-3x+1} - 3\cdot 3^{2x^2-6x+2}\geqslant 0\Leftrightarrow \]

Делим обе части неравенства на выражение:

    \[ 3^{2x^2-6x+2}. \]

Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем:

    \[ 2\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{2x^2-6x+2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{x^2-3x+1}-3\geqslant 0. \]

Воспользуемся заменой переменной:

    \[ t = \left(\frac{2}{3}\right)^{x^2-3x+1}. \]

Исходное уравнение тогда принимает вид:

    \[ 2t^2+t-3 \geqslant 0. \]

Решение неравенства 2t^2+t-3>=0

Числовой промежуток, являющийся решением неравенства 2t^2+t-3>=0

Итак, неравенству удовлетворяют значения t, находящиеся в промежутке:

    \[ t\in\left(-\mathcal{1};-\frac{3}{2}\right]\cup[1;+\mathcal{1}). \]

Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:

    \[ \left[\begin{matrix}\left(\frac{2}{3}\right)^{x^2-3x+1}\leqslant -\frac{3}{2}, \\ \left(\frac{2}{3}\right)^{x^2-3x+1}\geqslant 1\end{matrix}\right. \]

Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:

    \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{x^2-3x+1}\geqslant 1\Leftrightarrow \left(\frac{2}{3}\right)^{x^2-3x+1}\geqslant \left(\frac{2}{3}\right)^{0} \]

Поскольку основание степени в данном случае оказалось меньше единицы, но больше нуля, равносильным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

    \[ x^2-3x+1\leqslant 0. \]

Графическое решение неравенства x^2-3x+2<=0

Числовой промежуток, соответствующий решению неравенства x^2-3x+1\leqslant 0

Итак, окончательный ответ:

    \[ x\in\left[\frac{3-\sqrt{5}}{2};\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right]. \]

Пример 10. Решите неравенство:

    \[ 2x+2-x^2\geqslant 3^{x^2-2x+2}. \]

Решение:

Ветви параболы y = 2x+2-x2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине:

    \[ x_t = -\frac{b}{2a} = 1,\, y_t = 3. \]

Ветви параболы y = x2-2x+2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине:

    \[ x_t = -\frac{b}{2a}=1,\, y_t = 1. \]

Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3x2-2x+2, стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 31 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1.

Ответ: = 1.

Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Искренне желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене.

Репетитор по математике в Тропарёво
Сергей Валерьевич

Комментарии

  1. Анна:

    На самом деле понятно, только я все равно не могу разобраться с некоторыми уравнениями.

    1. Sergey Seliverstov:

      Спрашивайте, постараюсь объяснить.

  2. Оксана:

    Подскажите пожалуйста, если решаем уравнение, и в показателе модуль, рассматриваем два случая раскрытия, с плюсом и минусом? и оба числа будут являться решением?

    1. Sergey Seliverstov:

      Да, конечно. Все корни, которые получатся, будут корнями исходного показательного уравнения.

  3. Ирина:

    2 в степени (икс квадрат + икс по модулю) умножить на 3 в степени (- модуль икс) меньше или равно 1. Решить слабо?

    1. Sergey Seliverstov:

      Да ни разу: [0; логарифм по основанию 2 от 1.5]

  4. Марьяна:

    не могу разобрать неравенство 2х во второй степени умнож на 49 больше 16 умножить на 7 в степени(х в квадрате минус2) помогите,пожалуйста,если сможете

  5. марьяна:

    извините,а как долго ждать результат?

    1. Sergey Seliverstov:

      При решении приходим к уравнению вида: 8*7^(t-4)=t, которое в элементарных функциях не решается. Так что, если это школьное задание, дальше тут обсуждать нечего, если нет — отпишитесь, можно продолжить.

  6. наталья:

    Помогите решить до конца не могу разобраться
    25^х + 175*5^х-2 — 60 = 0

    1. Sergey Seliverstov:

      Вообще это стандартное показательное уравнение. 25^x = (5^2)^x = (5^x)^2, 5^(x-2) = 5^x/5^2 = 5^x/25. Решается заменой переменной t = 5^x. В чем конкретно сложность возникла?

  7. света:

    как решить?
    4^х-3*6^х+9^х<0

    1. Sergey Seliverstov:

      Представить 4^x = 2^(2x), 6^x=2^x*3^x, 9^x=3^(2x) и разделить обе части уравнения на 3^(2x). Получится неравенство, которое заменой t=(2/3)^x приводится к квадратному и дальше легко решается. Посмотрите пример 7 в статье.

  8. Елена:

    честно, все эти замены, уууух, какие непонятные. при попытке решать задачи по вашему примеру, учительница наорала и попросила слушать больше ее, нежели интернетовских «умников», даа, вот такая вот учительница. и вопрос:возможно ли выучить ВСЕ это, будучи при этом морковкой полной?

    1. Sergey Seliverstov:

      Могу сказать из личного опыта, что для учительницы надо решать так, как учит учительница, а на ЕГЭ или вступительном экзамене — надо решать правильно:-). А по поводу вопроса о том, можно ли всё это выучить и научиться решать, ответ — да, если действительно перед собой такую цель поставить. И можно при этом быть хоть морковкой, хоть Чипполиной.

  9. Даниил:

    Пример 1. Решите уравнение:

    2^{2x+1}-5*2^x-88=0.

    Простите, почему Вы раскрываете это уравнение как
    2t^2-5t+88=0 ?
    Первая часть раскроется как 4t^2, в скобке ведь два слагаемых — то есть 2^2x * 2, разве нет?

    1. Sergey Seliverstov:

      Правильно:. 2*2:(2x). Если ввести подстановку t=2^x, то как раз 2*t^2 и получатся. Откуда там четверке взяться?

      1. Даниил:

        О, точно, спасибо.
        На лишнюю двойку умножил

  10. No name:

    3^x²-7.2x>1/3×9^1/5 как решить неравенство. Бред у меня получается

    1. Sergey Seliverstov:

      Имеется ввиду это неравенство: http://www.wolframalpha.com/input/?i=3%5E%28x%5E2%29-7.2*x%3E1%2F3%C3%979%5E%281%2F5%29
      Или какое-то другое?

  11. Ann:

    Очень информативная статья у вас! Благодарю)
    На свой примерчик только ничего не нашла, помогите пожалуйста решить уравнение :
    (2-√3)^x+(2+√3)^x — 2 = 0

    1. Sergey Seliverstov:

      Рад что Вам понравилась статья. По поводу Вашего примера:

      здесь нужно воспользоваться тем, что (2-√3)(2+√3) = 1. То есть (2-√3) = 1/(2+√3). Тогда уравнение принимает вид: 1/(2+√3)^x+(2+√3)^x — 2 = 0. Далее замена: (2+√3)^x = t, t>0. t+1/t-2 = 0, t^2-2t+1 = 0, t = 1. Обратная замена (2+√3)^x = 0, откуда x = 0.

  12. лалита:

    Сергей, спасибо большое за статью. очень помогла. а вот с одним не разобралась. если не трудно, посмотрите. 2 в степени х^2 умножить на 3^х равно 6. один корень равен 1, а другой?

    1. Сергей:

      Здравствуйте, рад, что статья оказалась для Вас полезной. По поводу примера. Разделим обе части уравнения на 6, получится 2^(x^2-1)*3^(x-1) = 1, теперь разделим обе части на 3^(x-1) и представим (x^2-1) = (x-1)(x+1), тогда получим: (2^(x+1))^(x-1) = (1/3)^(x-1). Берем логарифм на основанию 2 из обоих частей, тогда получим: (x-1)(x+1) = (x-1)log_2(1/3) или (x-1)(x+1-log_2(1/3))=0, откуда x1 = 1, x2 = log_2(1/3)-1.

  13. лалита:

    благодарю за помощь))) очень тронута.

    1. Сергей:

      Всегда пожалуйста, обращайтесь:-)

  14. лалита:

    многое забывается, если долго не заниматься. приходится сейчас наверстывать свои упущения. еще одно задание решала долго. пробовала разными способами получается только один корень, а нужно найти сумму корней. может опечатка ? 9*16^х-7*12^х-16*9^х=0

    1. Сергей:

      Да, это правда, если долго не заниматься, все забывается со временем. Это уравнение нужно представить в виде 9*4^(2х)-7*3^х*4^x-16*3^(2х)=0 и поделить обе части на 3^(2x). Тогда получится 9*(4/3)^(2x)-7*(4/3)^x-16 = 0. Дальше замена (4/3)^x = t. То есть 9t^2-7t-16=0, откуда t1 = -1, t2 = 16/9. Обратная замена: (4/3)^x = -1, (4/3)^x = 16/9, x = 2, а в первом, действительно, корней нет. Значит надо писать в ответ 2.

  15. Александра:

    Добрый день! Помогите , пожалуйста, решить неравенство.
    2^((1-х)/(3+х))*7^(х+3)=56

  16. Александра:

    Вместо = знак >=

    1. Сергей:

      Так как 56 = 2^3*7, то неравенство можно привести к виду: (2^(-4/(3+x)))^(x+2)>=(1/7)^(x+2). Откуда (x+2)*(-4/(3+x)+log_2(7))>=0. Решая методом интервалов, получаем: (-3;-2] U [(4-3*log_2(7))/log_2(7);+∞)

  17. Дарья:

    Помогите, пожалуйста, решить неравенство:
    4х^4 +2х^3 -8х^2 +х+1 <=0
    Если можете, то с подробным решением

    1. Сергей:

      Выражение 4х^4 +2х^3 -8х^2 +х+1 можно представить в виде: (x-1)(x-1/2)(x^2+2x+1/2). Как это делать, смотрите в этом видео: https://www.youtube.com/watch?v=neqaS55NJOA. Ну а дальше стандартный метод интервалов (подробнее здесь: https://www.youtube.com/watch?v=d1PGcy-sLl0). Ответ получится: [(-2-корень(2))/2;(-2+корень(2))/2] в объединении с [1/2;2].

  18. Сергей:

    Помогите решить
    3 в степени (2х минус 6) = 9 в степени (2√х)

    1. Сергей:

      Все нужно привести к основанию 3. Получается 3^(2x-6) = 3^(4√х). Откуда 2x-6 = 4√х. Из чего получаем окончательно x = 9.

  19. Akmaral:

    как решать с модулем, можете объяснить пожалуйста

    1. Сергей:

      На эту тему есть специальная статья на сайте: уравнения и неравенства с модулем

Добавить комментарий