Логарифмические уравнения и неравенства

Суббота, Февраль 18, 2012

Логарифмическим уравнениям и неравенствам в вариантах ЕГЭ по математике посвящена задача C3. Научиться решать задания C3 из ЕГЭ по математике должен каждый ученик, если он хочет сдать предстоящий экзамен на «хорошо» или «отлично». В данной статье представлен краткий обзор часто встречающихся логарифмических уравнений и неравенств, а также основных методов их решения.

Итак, разберем сегодня несколько примеров логарифмических уравнений и неравенств, которые предлагались учащимся в вариантах ЕГЭ по математике прошлых лет. Но начнет с краткого изложение основных теоретических моментов, которые нам понадобятся для их решения.

Логарифмическая функция

Определение

Функцию вида

    \[ y=\log_{\,a} x,\, a>0,\, a\ne 1 \]

называют логарифмической функцией.

Основные свойства

Основные свойства логарифмической функции y = loga x:


a > 1 0 < a < 1
Область определения D(f) = (0; +∞) D(f) = (0; +∞)
Область значений E(f) = (-∞; +∞) E(f) = (-∞; +∞)
Монотонность Возрастает на (0; +∞) Убывает на (0; +∞)
Непрерывность Непрерывная Непрерывная
Выпуклость Выпукла вверх Выпукла вниз

График логарифмической функции

Графиком логарифмической функции является логарифмическая кривая:

Изображение графика логарифмической функции

Свойства логарифмов

• Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел:

    \[ \log_a bc = \log_a b + \log_a c,\, a>0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1. \]

• Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов этих чисел:

    \[ \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c,\, a>0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1. \]

• Если a и b — положительные числа, причем a ≠ 1, то для любого числа r справедливо равенство:

    \[ \log_a b^r = r\log_a b,\, a>0,\, b>0,\, a\ne 1. \]

•  Равенство log t = log s, где a > 0, a ≠ 1, t > 0, s > 0, справедливо тогда и только тогда, когда t = s.

• Если a, b, c — положительные числа, причем a и c отличны от единицы, то имеет место равенство (формула перехода к новому основанию логарифма):

    \[ \operatorname{log}_a b = \frac{\operatorname{log}_c b}{\operatorname{log}_c a},\, a>0,\, b>0,\, c>0,\, a\ne 1,\, c\ne 1. \]

Теорема 1. Если f(x) > 0 и g(x) > 0, то логарифмическое уравнение log a f(x) = log a g(x) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Решение логарифмических уравнений и неравенств

Пример 1. Решите уравнение:

    \[ \lg(x^2-6) = \lg(8+5x). \]

Решение. В область допустимых значений входят только те x, при которых выражение, находящееся под знаком логарифма, больше нуля. Эти значения определяются следующей системой неравенств:

    \[ \begin{cases} x^2-6>0, \\ 8+5x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 > 6, \\ x>-1,6. \end{cases} \Leftrightarrow \]

    \[ \begin{cases} x\in(-\mathcal{1};-\sqrt{6})\cup(\sqrt{6};+\mathcal{1}), \\ x\in (-1,6;+\mathcal{1}). \end{cases} \]

С учетом того, что

    \[ -1,6 = -\sqrt{2,56}> -\sqrt{6}, \]

получаем промежуток, определяющий область допустимых значений данного логарифмического уравнения:

    \[ x\in(\sqrt{6};+\mathcal{1}). \]

На основании теоремы 1, все условия которой здесь выполнены, переходим к следующему равносильному квадратичному уравнению:

    \[ x^2-6 = 8 + 5x\Leftrightarrow x^2-5x-14=0\Leftrightarrow \]

    \[ x_1 = 7,\, x_2 = -2. \]

В область допустимых значений входит только первый корень.

Ответ: x = 7.

Пример 2. Решите уравнение:

    \[ \log_{0,2}(-x^2+4x+5)=\log_{0,2}(-x-31). \]

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств:

    \[ \begin{cases} -x^2+4x+5>0, \\ -x-31>0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} -1<x<5, \\ x<-31. \end{cases} \]

Очевидно, что эти два условия противоречат друг другу. То есть нет ни одного такого значения x, при котором одновременно выполнялись бы оба неравенства. Область допустимых значений уравнения является пустым множеством, а значит решений у данного логарифмического уравнения нет.

Ответ: корней нет.

Обратите внимание, что в этом задании нам вообще не пришлось искать корни уравнения. Достаточно оказалось определить, что его область допустимых значений не содержит ни одного действительно числа. Это одно из преимуществ такой последовательности решения логарифмических уравнений и неравенств (начинать с определения области допустимых значений уравнения, а затем решать его путем равносильных преобразований).

Примет 3. Решите уравнение:

    \[ 3\log_{\frac{1}{2}}^2 x +5\log_{\frac{1}{2}} x - 2=0. \]

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется здесь легко: x > 0.

Используем подстановку:

    \[ t = \log_{\frac{1}{2}} x. \]

Уравнение принимает вид:

    \[ 3t^2 + 5t -2 = 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t_1= \frac{1}{3},\\ t_2=-2.\end{array}\right. \]

Обратная подстановка:

    \[ \left[\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{2}} x = \frac{1}{3}, \\ \log_{\frac{1}{2}} x = -2\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}, \\ x = 4. \end{array}\right. \]

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения, поскольку являются положительными числами.

Пример 4. Решите уравнение:

    \[ \log_{0,4}(x+2)+\log_{0,4}(x+3)=\log_{0,4}(1-x). \]

Решение. Вновь начнем решение с определения области допустимых значений уравнения. Она определяется следующей системой неравенств:

    \[ \begin{cases} x+2>0, \\ x+3>0, \\ 1-x>0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x>-2, \\ x>-3, \\ x<1\end{cases}\Leftrightarrow x\in(-2; 1). \]

Воспользовавшись правилом сложения логарифмов, переходим к равносильному в области допустимых значений уравнению:

    \[ \log_{0,4}(x+2)(x+3)=\log_{0,4}(1-x)\Rightarrow \]

Основания логарифмов одинаковы, поэтому в области допустимых значений можно перейти к следующему квадратному уравнению:

    \[ (x+2)(x+3) = (1-x)\Leftrightarrow x^2+6x+5 = 0\Leftrightarrow \]

    \[ \left[\begin{array}{l}x_1 =-5, \\ x_2 = -1.\end{array} \]

Первый корень не входит в область допустимых значений уравнения, второй — входит.

Ответ: x = -1.

Пример 5. Решите уравнение:

    \[ x^{\log_3 x} = 81. \]

Решение. Будем искать решения в промежутке x > 0, x≠1. Преобразуем уравнение к равносильному:

    \[ x^{\log_3 x} = x^{\log_x 81}\Leftrightarrow x^{\log_3 x} = x^{\frac{4}{\log_3 x}}\Leftrightarrow \]

    \[ \log_3^2 x = 4\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \log_3 x = 2, \\ \log_3 x = -2 \end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 9,\\ x =\frac{1}{9}. \end{array}\right. \]

Оба ответа входят в область допустимых значений уравнения.

Пример 6. Решите уравнение:

    \[ \log_4(x+12)\cdot \log_x 2 = 1. \]

Решение. Система неравенств, определяющая область допустимых значений уравнения, имеет на этот раз вид:

    \[ \begin{cases} x+12 > 0, \\ x>0, \\ x\ne 1 \end{cases}\Leftrightarrow x>0,\, x\ne 1. \]

Используя свойства логарифма, преобразуем уравнение к равносильному в области допустимых значений уравнению:

    \[ \frac{\log_2(x+12)}{2\log_2 x} = 1. \]

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма, получаем:

    \[ \log_x(x+12) = 2 \Rightarrow x^2-x-12 = 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x_1=4, \\ x_2 = -3. \end{array}\right. \]

В область допустимых значений входит только один ответ: x = 4.

Перейдем теперь к логарифмическим неравенствам. Это как раз то, с чем вам придется иметь дело на ЕГЭ по математике. Для решения дальнейших примеров нам потребуется следующая теорема:

Теорема 2. Если f(x) > 0 и g(x) > 0, то:
при a > 1 логарифмическое неравенство log a f(x) > log a g(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x);
при 0 < a < 1 логарифмическое неравенство log a f(x) > log a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) < g(x).

Пример 7. Решите неравенство:

    \[ \log_{0,5}(x^2+x-6)\geqslant \log_{0,5}(x+4). \]

Решение. Начнем с определения области допустимых значений неравенства. Выражение, стоящее под знаком логарифмической функции, должно принимать только положительные значения. Это значит, что искомая область допустимых значений определяется следующей системой неравенств:

    \[ \begin{cases} x^2+x-6>0, \\ x+4>0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x\in(-\mathcal{1};-3)\cup(2;+\mathcal{1}), \\ x>-4 \end{cases} \]

    \[ \Leftrightarrow x\in(-4;-3)\cup(2;+\mathcal{1}). \]

Так как в основании логарифма стоит число, меньшее единицы, соответствующая логарифмическая функция будет убывающей, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему квадратичному неравенству:

    \[ x^2+x-6\leqslant x+4\Leftrightarrow x^2\leqslant 10\Leftrightarrow x\in[-\sqrt{10};\sqrt{10}]. \]

Окончательно, с учетом области допустимых значений получаем ответ:

    \[ x\in[-\sqrt{10}; -3)\cup(2;\sqrt{10}]. \]

Пример 8. Решите неравенство:

    \[ 11\cdot \log_9(x^2-12x+27)\leqslant 12+\log_9\frac{(x-9)^{11}}{x-3}. \]

Решение. Вновь начнем с определения области допустимых значений:

    \[ \begin{cases} x^2-12x+27>0, \\ \frac{(x-9)^{11}}{x-3}>0 \end{cases}\Leftrightarrow x\in(-\mathcal{1};3)\cup(9;+\mathcal{1}). \]

На множестве допустимых значений неравенства проводим равносильные преобразования:

    \[ 11\cdot \log_9(x-9)(x-3)-\log_9\frac{(x-9)^{11}}{x-3}\leqslant 12 \]

    \[ \log_9\left[(x-9)^{11}(x-3)^{11}\right]-\log_9\frac{(x-9)^{11}}{x-3}\leqslant 12 \]

    \[ \log_9\frac{(x-3)^{12}(x-9)^{11}}{(x-9)^{11}}\leqslant \log_9 9^{12}. \]

После сокращения и перехода к равносильному по теореме 2 неравенству получаем:

    \[ (x-3)^{12}\leqslant 9^{12}\Leftrightarrow -9\leqslant x-3 \leqslant 9\Leftrightarrow x\in[-6;12]. \]

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

    \[ x \in [-6;3)\cup(9;12]. \]

Пример 9. Решите логарифмическое неравенство:

    \[ \log_{x+1}(x^3+3x^2+2x)<2. \]

Решение. Область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:

    \[ \begin{cases} x+1>0, \\ x+1\ne 1,\\ x(x+1)(x+2)>0 \end{cases}\Leftrightarrow x\in (0;+\mathcal{1}). \]

Видно, что в области допустимых значений выражение, стоящее в основании логарифма, всегда больше единицы, а потому равносильным по теореме 2 будет переход к следующему неравенству:

    \[ x^3+3x^2+2x<x^2+2x+1\Leftrightarrow x^3+2x^2-1<0\Leftrightarrow \]

    \[ (x+1)(x^2+x-1)<0\Leftrightarrow \]

    \[ x\in\left(-\mathcal{1};-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\cup\left(-1;\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right). \]

С учетом области допустимых значений получаем окончательный ответ:

    \[ x\in\left(0;\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right). \]

Пример 10. Решите неравенство:

    \[ \frac{2\log_3(x^2-4x)}{\log_3 x^2}\leqslant 1. \]

Решение.

Область допустимых значений неравенства определяется системой неравенств:

    \[ \begin{cases} x^2-4x>0, \\ x^2>0, \\ x^2\ne 1 \end{cases}\Leftrightarrow x\in(-\mathcal{1};-1)\cup(-1;0)\cup(4;+\mathcal{1}). \]

I способ. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма и перейдем к равносильному в области допустимых значений неравенству:

    \[ \log_{x^2}(x^2-4x)^2\leqslant 1. \]

Неравенство будет равносильно двум системам. Первой:

    \[ \begin{cases} x\in(-1;0), \\ (x^2-4x)^2\geqslant x^2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x\in(-1;0), \\ x^2(x-5)(x-3)\geqslant 0 \end{cases}\Leftrightarrow \]

    \[ x\in (-1;0). \]

И второй:

    \[ \begin{cases}x\in(-\mathcal{1};-1)\cup(4;+\mathcal{1}), \\ x^2(x-5)(x-3)\leqslant 0 \end{cases}\Leftrightarrow x\in(4; 5]. \]

Итак, окончательный ответ:

    \[ x\in(-1;0)\cup(4;5]. \]

II способ. Решаем методом интервалов. Преобразуем неравенство к виду:

    \[ \frac{2\log_3(x^2-4x)-\log_3 x^2}{\log_3 x^2}\leqslant 0\Leftrightarrow \]

Вычтем из знаменателя \log_3 1. Это ничего не изменит, поскольку \log_3 1 = 0.

    \[ \frac{\log_3(x^2-4x)^2-\log_3 x^2}{\log_3 x^2-\log_3 1}\leqslant 0 \]

С учетом того, что выражения \log_3 f - \log_3 g и f-g — одного знака при f,\,g>0, в области допустимых значений имеет место следующий равносильный переход:

    \[ \frac{(x^2-4x)^2-x^2}{x^2-1}\leqslant 0\Leftrightarrow \]

    \[ \frac{(x^2-5x)(x^2-3x)}{x^2-1}\leqslant 0. \]

Решение дробно-рационального неравенства

Множество решений данного неравенства

Итак, x\in(-1;1)\cup [3;5], а с учетом области допустимых значений получаем тот же результат: x\in(-1;0)\cup (4;5].

Итак, что нужно для того, чтобы решать логарифмические уравнения и неравенства?

  • Во-первых, внимание. Не допускайте ошибок в проводимых преобразованиях. Следите за тем, чтобы каждое ваше действие не расширяло и не сужало область допустимых значений неравенства, то есть не приводило ни к потере, ни к приобретению посторонних решений.
  • Во-вторых, умение мыслить логически. Составители ЕГЭ по математике заданиями C3 проверяют умение учащихся оперировать такими понятиями, как система неравенств (пересечение множеств), совокупность неравенств (объедение множеств), осуществлять отбор решений неравенства, руководствуясь его областью допустимых значений.
  • В-третьих, четкое знание свойств всех элементарных функций (степенных, рациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических), изучаемых в школьном курсе математики и понимание их смысла.

Главное же требование — это настойчивость в достижении своей цели. Учитесь, тренируйтесь, если нужно — ежедневно, изучайте и запоминайте на примерах основные способы решения неравенств и их систем, анализируйте возникающие ошибки и не допускайте их в будущем. За помощью в этом нелегком деле вы можете обратиться к своему школьному учителю по математике, репетитору, родителям, друзьям и знакомым, книгам, а также огромному количеству материалов, доступных на просторах Интернета. Желаю вам успехов в подготовке к Единому государственному экзамену по математике.

Репетитор по физике и математике
Сергей Валерьевич

Нужно выучить правила игры. А затем, нужно начать играть лучше всех. © Дейл Карнеги

Комментарии

  1. Иван:

    Подскажите пожалуйста, возникла загвоздка в 4 ом примере , а именно какими преобразованиями вы воспользовались при переходе от логарифма по основанию 0.4 к квадратному уравнению?

    1. Sergey Seliverstov:

      У полученных логарифмов одинаковые основания 0,4, поэтому в области допустимых значений от логарифмического уравнения можно перейти к простому квадратичному: (x+2)(x+3) = (1-x) — в математике такая операция называется потенцированием. Раскрываем скобки, упрощаем, ну и далее по тексту…

  2. Иван:

    Подскажите пожалуйста, откуда в 8 ом примере , в преобразованном выражении, под логарифмом в числителе дроби выражения (x-3) 12 ая степень появилась?

    1. Sergey Seliverstov:

      Из равносильных в области допустимых значений неравенства преобразований. Более подробно расписал. Сейчас разъяснилось все?

      1. Иван:

        Понял, спасибо )

  3. Настя:

    подскажите ,пожалуйста, в 10примере..можно без перехода к новому основанию решить неравенство?

    1. Sergey Seliverstov:

      Да, конечно. Но мне второй способ кажется более сложным. Я написал в статье второе решение, попробуйте разобраться. Если что-то не понятно, но желание разобраться останется, жду вопросов:-)

  4. Настя:

    Спасибо, я всё поняла)

    1. Sergey Seliverstov:

      Пожалуйста. Но просто, чтобы убедиться, что действительно всё понятно, я бы задал вопрос. Зачем в знаменателе вычитать член log_3(1) и не изменяет ли это вычитание само логарифмическое выражение?

      1. Настя:

        как вы и сказали,второй способ намного труднее первого.с первым разобралась а со вторым- нет. вот эта штука log_3(1) для меня не понять откуда взялась. когда я расписывала 1 в виде логарифмов у меня не так получилось как у вас. в знаменателе должен быть только log_3(х)в квадрате .

        1. Sergey Seliverstov:

          Совершенно верно, в знаменателе изначально был только log_3(х^2), но если из знаменателя вычесть log_3(1), от этого ничего не изменится, ведь log_3(1) = 0. Тогда зачем это делать? Нам нужно, чтобы в знаменателе стояла разность, для того, чтобы использовать то свойство, что знаки выражений log_3(f)-log_3(g) и f-g одинаковы при f,g>0. Это действительно так, функция y=log_3 x — возрастающая, поэтому если f>g (или, что то же самое, f-g>0), то log_3(f)>log_3(g) (или, что то же самое, log_3(f)-log_3(g)>0) и наоборот. Знаки разностей одинаковы (в области допустимых значений), поэтому с неравенством ничего не произойдет, если убрать логарифмы.В общем, в задаче есть над чем подумать).

    2. Алексей:

      скажите название сайта где можно решать варианты по логарифмам

      1. Sergey Seliverstov:

        Хороший сайт http://alexlarin.net/
        Там есть Генератор вариантов ЕГЭ. Очень удобно + с ответами.

  5. ramlua:

    здравствуйте) Подскажите пожалуйста. Во второй задаче. -х^2+4х+5>0
    х получается от минус бесконечно до -1 и от 5 до плюс бесконечности. в чём моя ошибка?

    1. ramlua:

      всё)) разобрался)

  6. ramlua:

    Помогите пожалуйста. Не понимаю пример 5(

    1. Sergey Seliverstov:

      Помогу, только мне надо знать, что именно не понятно. Не понятно откуда там взялось x^(log_x 81)?

  7. ramlua:

    x^(4/log_3 х )

    1. Sergey Seliverstov:

      А, я понял. Тут тоже правила преобразования логарифмов. log_x 81 = log_x 3^4 (степень можно выносить) = 4 log_x 3 = (теперь меняем местами основание логарифма и подлогарифмическое выражение) = 4 / log_3 x.

  8. ramlua:

    аа точно)) спасибо)

  9. ramlua:

    ответ в 7 примере. почему там от 1 до корня из 10, а не от 2 до корня из 10?

    1. Sergey Seliverstov:

      Опечатка, я исправил, спасибо.

  10. ramlua:

    Пример 8. не подскажете как это получилось: log _9 [(x-9)^11(x-3)^11] ?

    1. Sergey Seliverstov:

      Коэффициент перед логарифмом можно вносить в показатель подлогарифмического выражения: 11*log _9 (x-9)(x-3) = log _9 [(x-9)(x-3)]^11 = log _9 [(x-9)^11(x-3)^11]

  11. ramlua:

    ясно)) спасибо)

  12. Рита:

    Здравствуйте! Спасибо за столь подробно и ясно изложенную информацию. Есть только один вопрос — почему графики логарифмических кривых подписаны не как логарифмическая (y=log_a(x)), а как степенная (y=a^x) функция?

    1. Sergey Seliverstov:

      Здравствуйте! Да, действительно, упустил :-). Исправил подпись на рисунке. Большое спасибо.

  13. ольга ю.:

    свойство последнее с ошибкой. в числителе b в знаменателе a

    1. Sergey Seliverstov:

      И то правда, спасибо, исправил.

  14. ольга ю.:

    почему в 7 примере в ответе корень из 10 и минус корень из 10 не входят( неравенство нестрогое ведь)

    1. Sergey Seliverstov:

      Да, конечно, теперь корень из 10 и минус корень из 10 в ответе.

  15. ольга ю.:

    в 9 примере одз неверное. корни в в 3 -ем нер-ве системы : -2 и -1 и 0.

    1. Sergey Seliverstov:

      Это не корни неравенства. Это корни уравнения, которое получается после приравнивания левой части неравенства к нулю.

  16. Тима:

    (x-2)^x2-6x+8>1 помогите решить!!!

    1. Sergey Seliverstov:

      Как понять запись (x-2)^x2? Иск минус два в степени два икс? или в степени икс в квадрате? или там вообще в показателе икса нет?

  17. саша:

    ни че не поняла

    1. Sergey Seliverstov:

      Сформулируйте вопрос.

  18. Максим:

    а есть ещё сайты ?

      1. Влад:

        Ахах, хороший ответ) тонкота

  19. Анастасия:

    Хочу сказать большое спасибо за материал.
    Достаточно подробно расписаны примеры, полученные знания тут же закрепляются на практике. Было очень интересно читать и самой прорешивать примеры, чтобы потом, в случае несоответствия, сразу же находить ошибки.
    Спасибо за труд!

    1. Sergey Seliverstov:

      Спасибо за отзыв. Рад, что данный материал оказался для Вас полезным.

  20. Данил:

    Надеюсь что поможет)

Добавить комментарий


четыре − 3 =