Как изобразить множество решений системы неравенств

В данной статье я отвечаю на очередной вопрос от моих подписчиков. Вопросы приходят разные. Не все из них корректно сформулированы. А некоторые из них сформулированы так, что не сразу получается понять, о чём хочет спросить автор. Поэтому среди огромного множества присылаемых вопросов приходится отбирать действительно интересные, такие «жемчужины», отвечать на которые не просто увлекательно, но ещё и полезно, как мне кажется, для других моих читателей. И сегодня я отвечаю на один из таких вопросов. Как изобразить множество решений системы неравенств?


Это действительно хороший вопрос. Потому что метод графического решения задач в математике — это очень мощный метод. Человек так устроен, что ему удобнее воспринимать информацию с помощью различных наглядных материалов. Поэтому если вы овладеете этим методом, то поверьте, он для вас окажется незаменимым как при решении заданий из ЕГЭ, особенно из второй части, других экзаменов, так и при решении задач оптимизации и так далее, и так далее.

Так вот. Как же нам ответить на этот вопрос. Давайте начнём с простого. Пусть в системе неравенств содержится только одна переменная .

Пример 1. Изобразите множество решений системы неравенств:

Упростим эту систему. Для этого прибавим к обеим частям первого неравенства 7 и поделим обе части на 2, не меняя при этом знак неравенства, так как 2 — положительное число. К обеим частям второго неравенства прибавим 4. В результате получим следующую систему неравенств:

   

Обычно такую задачу называют одномерной. Почему? Да потому что для того, чтобы изобразить множество её решений, достаточно прямой. Числовой прямой, если быть точным. Отметим точки 6 и 8 на этой числовой прямой. Понятно, что точка 8 будет находиться правее, чем точка 6, потому что на числовой прямой большие числа находятся правее меньших. Кроме того, точка 8 будет закрашенной, так как согласно записи первого неравенства она входит в его решение. Наоборот, точка 6 будет незакрашенной, так как она не входит в решение второго неравенства:

Отметим теперь стрелочной сверху значения , которые меньше или равны 8, как того требует первое неравенство системы, а стрелочкой снизу — значения , которые больше 6, как того требует второе неравенство системы:

Осталось ответить на вопрос, где на числовой прямой находятся решения системы неравенств. Запомните раз и навсегда. Знак системы — фигурная скобка — в математике заменяет союз «И». То есть, переводя язык формул на человеческий язык, можно сказать, что от нас требуется указать значения , которые больше 6 И меньше или равны 8. То есть искомый промежуток лежит на пересечении отмеченных промежутков:

Вот мы и изобразили множество решений системы неравенств на числовой прямой в случае, если в системе неравенств содержится только одна переменная. В этот заштрихованный промежуток входят все значения , при которых все неравенства, записанные в системе, выполняются.

Рассмотрим теперь более сложный случай. Пусть в нашей системе содержатся неравенства с двумя переменными и . В этом случае обойтись только прямой для изображения решений такой системы не получится. Мы выходим за рамки одномерного мира и добавляем к нему ещё одно измерение. Здесь нам понадобится уже целая плоскость. Рассмотрим ситуацию на конкретном примере.

Пример 2. Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

Итак, как же можно изобразить множество решений данной системы неравенств с двумя переменными в прямоугольной системе координат на плоскости? Начнём с самого простого. Зададимся вопросом, какую область этой плоскости задаёт неравенство . Уравнение задаёт прямую, проходящую перпендикулярно оси OX через точку (0;0). То есть фактически это прямая совпадает с осью OY. Ну а раз нас интересуют значения , которые больше или равны 0, то подойдёт вся полуплоскость, лежащая справа от прямой :

Причём все точки, которые лежат на оси OY, нам тоже подходят, потому что неравенство — нестрогое.

Чтобы понять, какую область на координатной плоскости задаёт третье неравенство, нужно построить график функции . Это прямая, проходящая через начало координат и, например, точку (1;1). То есть фактически это прямая, содержащая биссектрису угла, образующего первую координатную четверть.

А теперь посмотрим на третье неравенство в системе и подумаем. Какую область нам нужно найти? Смотрим: . Знак «больше или равно». То есть ситуация аналогична той, что была в предыдущем примере. Только здесь «больше» означает не «правее», а «выше». Потому что OY — это у нас вертикальная ось. То есть область, задаваемая на плоскости третьим неравенством, — это множество точек, находящихся выше прямой или на ней:

С первым неравенством системы чуть менее удобно. Но после того, как мы смогли определить область, задаваемую третьим неравенством, я думаю, что уже понятно, как нужно действовать.

Нужно представить это неравенство в таком виде, чтобы слева находилась только переменная , а справа — только переменная . Для этого вычтем из обеих частей неравенства и поделим обе части на 2, не меняя при этом знак неравенства, потому что 2 — это положительное число. В результате получаем следующее неравенство:

Осталось только изобразить на координатной плоскости прямую , которая пересекает ось OY в точке A(0;4) и прямую в точке . Последнее я узнал, приравняв правые части уравнений прямых и получив уравнение . Из этого уравнения находится координата точки пересечения, а координата , я думаю вы догадались, равна координате . Для тех, кто всё-таки не догадался, это потому что у нас уравнение одной из пересекающихся прямых: .

Как только мы нарисовали эту прямую, сразу можно отметить искомую область. Знак неравенства у нас здесь «меньше или равно». Значит, искомая область находится ниже или непосредственно на изображённой прямой:

Ну и последний вопрос. Где же всё-таки находится искомая область, удовлетворяющая всем трём неравенствами системы? Очевидно, что она находится на пересечении всех трёх отмеченных областей. Опять пересечение! Запомните: знак системы в математике означает пересечение. Вот она, эта область:

Ну и последний пример. Ещё более общий. Предположим теперь что у нас не одна переменная в системе и ни две, а аж целых три!

Пример 3. Изобразите множество решений следующей системы неравенств:

Поскольку переменных целых три, то для изображения множества решений такой системы неравенств нам потребуется третье измерение в добавок к двум, с которыми мы работали в предыдущем примере. То есть мы вылезаем из плоскости в пространство и изображаем уже пространственную систему координат с тремя измерениями: X, Y и Z. Что соответствует длине, ширине и высоте.

Начнём с того, что изобразим в этой системе координат поверхность, задаваемую уравнением . По форме оно очень напоминает уравнение окружности на плоскости, только добавляется ещё одно слагаемое с переменной . Несложно догадаться, что это уравнение сферы с центром в точке (1;3;2), квадрат радиуса которой равен 4. То есть сам радиус равен 2.

Тогда вопрос. А что тогда задаёт само неравенство? Для тех, кого этот вопрос ставит в тупик, предлагаю рассудить следующим образом. Переводя язык формул на человеческий, можно сказать, что требуется указать все сферы с центром в точке (1;3;2), радиусы которых меньше или равны 2. Но тогда все эти сферы будут находиться внутри изображённой сферы! То есть фактически данным неравенством задаётся вся внутренняя область изображённой сферы. Если хотите, задаётся шар, ограниченный изображённой сферой:

Поверхность, которую задаёт уравнение x+y+z=4 — это плоскость, которая пересекает оси координат в точках (0;0;4), (0;4;0) и (4;0;0). Ну и понятно, что чем больше будет число справа от знака равенства, тем дальше от центра координат будут находиться точки пересечения этой плоскости с осями координат. То есть второе неравенство задаёт полупространство, находящееся «выше» данной плоскости. Используя условный термин «выше», я имею ввиду дальше в сторону увеличения значений координат по осям.

Данная плоскость пересекает изображённую сферу. При этом сечение пересечения — это окружность. Можно даже посчитать, на каком расстоянии от центра системы координат находится центр этой окружности. Кстати, кто догадается, как это сделать, пишите свои решения и ответы в комментариях. Таким образом исходная система неравенств задаёт область пространства, которая находится дальше от этой плоскости в сторону увеличения координат, но заключённая в изображённую сферу:

Вот таким образом изображают множество решений системы неравенств. В случае, если переменных в системе больше, чем 3 (например, 4), наглядно изобразить множество решений уже не получится. Потому что для этого потребовалась бы 4-х мерная система координат. Но нормальный человек не способен представить себе, как могли бы располагаться 4 взаимно перпендикулярные оси координат. Хотя у меня есть знакомый, который утверждает, что может сделать это, причём с лёгкостью. Не знаю, правду ли он говорит, может быть и правду. Но всё-таки нормальное человеческое воображение этого сделать не позволяет.

Надеюсь, сегодняшний урок оказался для вас полезным. Чтобы проверить, насколько хорошо вы его усвоили, выполните записанное ниже домашнее задание.

Изобразите множество решений системы неравенств:

   

   

Материал подготовил репетитор по математике и физике в Москве, Сергей Валерьевич