Главная | Цены | Статьи | Контакты
Меню
Категории
Мой канал на Youtube
Геометрия на ГИА по математике
30.06.2012 Методическая копилка

Геометрия на ГИА по математикеГеометрия на ГИА по математике представлена в заданиях 8, 14, 20 и 23 (данные на 2012 год). В этой статье мы кратко охарактеризуем уровень сложности этих заданий и разберем примеры конкретных задач, предлагавшихся для решения выпускникам 9-х классов на Государственной (итоговой) аттестации по математике в 2012 году. Для задачи 23 по геометрии представлен видео разбор. Сразу скажу, что на задаче 20, посвященной в ГИА доказательству различных геометрических фактов, мы останавливаться не будет, поскольку этой теме посвящена отдельная обширная статья «Задачи на доказательство геометрических фактов из ГИА», с которой при желании можно ознакомиться отдельно.

Задача 8 по геометрии из ГИА по математике

Самая простая задача по геометрии из ГИА по математике. Однако для ее решения нужно иметь четкое представление об основных понятиях школьного курса геометрии, связанных в первую очередь с темами «Площади», «Подобные треугольники», «Соотношение между сторонами и углами треугольника» и «Длина окружности и площадь круга». При этом как репетитор по математике могу сказать, что одного лишь знания теории этих вопросы совершенно недостаточно для успешного решения задач. Навык решения геометрических задач вырабатывается со временем в процессе систематической и последовательной подготовки под чутким руководством преподавателя.

Пример 1. Боковая сторона прямоугольной трапеции, образующая с большим основание угол в 30°, равна 4. Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 2 и 5.

Решение. Подробнее о вычислении площади трапеции читайте в статье «Подробное решение задачи C4 из ЕГЭ по математике». Напомню, что площадь трапеции определяется как произведение полусуммы оснований трапеции (параллельных сторон трапеции) на ее высоту. Подписываем трапецию и проводим в ней высоту:

Прямоугольная трапеция с высотой. Задача 8 по геометрии из ГИА

BH — высота прямоугольной трапеции ABCD

Основаниями данной трапеции являются стороны BC и AD. Их полусумма (половина суммы) равна \frac{2+5}{2}=\frac{7}{2}. Высоту BH ищем из прямоугольного треугольника ABH, для которого по определению синуса острого угла прямоугольного треугольника имеем: \sin\angle BAH = \frac{BH}{AB}, то есть BH = AB\sin\angle BAH = 4\cdot \frac{1}{2}=2.

Итак, площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований \frac{7}{2} на высоту 2, то есть 7.

Ответ: 7.

Задача для самостоятельного решения №1. Боковая сторона трапеции, образующая с большим основанием угол в 30°, равна 3. Найдите площадь трапеции, если ее основания равны соответственно 2 и 6.

Показать ответ
Ответ: 6.

Задача 14 по геометрии из ГИА по математике

Более сложная задача по геометрии из ГИА по математике. В 2012 году составители вариантов ГИА по математике посвятили задачу 14 теореме о вписанном угле.

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.

Пример 2. Точка O — центр окружности, ∠ACB = 24° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB (в градусах).
Задача 14 по геометрии с окружностью ГИА

Рисунок к задаче 14 по геометрии с окружностью из ГИА по математике

Решение. Угол ACB  — вписанный (его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность), он опирается на дугу AB. Следовательно, по теореме о вписанном угле градусная мера дуги AB вдвое больше самого угла ACB, то есть равна 24° · 2 = 48°.

Угол AOB — центральный (его вершина лежит в центре окружности), он опирается на ту же дугу AB. По свойству центрального угла его градусная мера равна градусной мере дуги, на которую он опирается, то есть ∠ACB = 48°.

Ответ: 48.

Задача для самостоятельного решения №2. Точка O — центр окружности, ∠BOC = 110° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC (в градусах).

Задача 14 геометрия на ГИА по математике

Рисунок к задаче 14 по геометрии для самостоятельного решения из ГИА по математике

Показать ответ
Ответ: 55°.

Хочу отметить, что если в 2012 году составители ГИА предпочли выбрать для задачи 14 тему «Вписанный угол», то это вовсе не означает, что она же будет выбрана для этой задачи и в последующие годы. Напротив, вероятность такого выбора скорее уменьшается. Поэтому как репетитор по математике настоятельно рекомендую ликвидировать все имеющиеся пробелы в курсе геометрии. Без этого условия успешная сдача ГИА по математике не гарантирована.

Задача 23 по геометрии из ГИА по математике

Самая сложная задача по геометрии из предлагаемых на ГИА по математике. Решить ее из года в год оказывается по силам совсем небольшому количеству школьников. И тем не менее научиться решать задачи 23 из ГИА по математике можно и нужно обязательно, хотя бы потому, что подобные задачи ожидают вас и в ЕГЭ по математике, который также придется сдавать всем без исключения выпускникам в 11 классе. Подготовиться к решению сложных задач по геометрии из ГИА по математике проще всего с помощью репетитора.

Пример 3. Стороны AC, AB и BC треугольника ABC равны 3\sqrt{2}, \sqrt{11} и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причем отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC > 90°.

Рисунок к задаче 23 по геометрии с подобными треугольниками из ГИА по математике

Чертеж к задаче 23 по геометрии из ГИА по математике

Решение. Угол B в треугольнике ABC тупой. В этом легко убедиться на основании теоремы косинусов (см. видео урок). Известно, что в подобных треугольниках соответствующие углы равны. То есть для каждого угла  одного из подобных треугольников обязательно найдется равный ему угол из второго треугольника. По условию треугольники CKA и ABC подобны. Следовательно, для тупого угла KAC в треугольнике ABC найдется равный ему угол. Это угол B. Больше тупых углов в треугольнике ABC нет, поскольку в треугольнике не может быть больше одного тупого угла. В противном случае сумма всех его углов была бы больше 180º.

Ищем две оставшиеся пары равных углов. Предположим сперва, что угол AKC равен углу BAC, но тогда угол KCA равен углу BCA, что невозможно, так как второй угол больше первого. Следовательно, на самом деле угол AKC равен углу ACB. Находим его косинус по теореме косинусов для треугольника ABC (см. видео урок). Искомый косинус равен \frac{2\sqrt{2}}{3}.

Ответ: \frac{2\sqrt{2}}{3}.

Задача для самостоятельного решения №3. Стороны треугольника равны 10, 10, 12. Найдите радиусы вписанный и вневписанных окружностей.

Показать ответ
Ответ: 3; 12; 8; 8.

На сегодня все. Зададимся напоследок вопросом. Зачем вообще нужно изучать геометрию? Не так давно я посетил семинар одного известного российского методиста, посвященный вопросам методики преподавания геометрии в школе. Докладчику в ходе обсуждения среди прочих был задан и этот вопрос. Ответ настолько мне понравился, что я позволю себе привести его здесь почти дословно.

Без полноценного питания невозможно нормальное развитие человека. Без разнообразной интеллектуальной пищи невозможно нормальное интеллектуальной развитие. Сегодня геометрия является одним из немногих качественных продуктов, потребляемых в образовательной сфере. Геометрия — витамин для мозга. Но при этом геометрия — продукт, который должен быть приготовлен очень хорошим кулинаром. Иначе она может не только не принести пользы организму, но и причинить ему вред. Так что учить геометрию нужно с «правильным» репетитором по математике, только он сможет помочь вам достичь успеха в этом нелегком деле. Талантливых вам преподавателей!

При решении задачи плохой план часто оказывается полезным. Он может вести к лучшему плану.
© Д. Пойа

Репетитор по математике в Москве (метро Юго-Западная)
Сергей Валерьевич

3 комментария
  1. Здравствуйте. В примере 3 объясните, пожалуйста, почему если косинус угла отрицательный, то это означает, что угол больше 90 градусов.

    • Sergey Seliverstov

      Здравствуйте. Во-первых, важно, что это угол треугольника, который обязательно больше нуля, но меньше 180 градусов (то есть принадлежит либо первой, либо второй координатным четвертям). Знаки тригонометрической функции косинус по координатным четвертям можно посмотреть здесь: http://yourtutor.info/wp-content/uploads/2012/06/znaki-trigonometricheskih-f.jpg
      Косинус положителен в первой четверти, отрицателен во второй. Значит наш угол принадлежит второй координатной четверти, значит от больше 90 градусов.

  2. Элечка

    это очень простые задачи. как же решать сложные?

Добавить комментарий


Можно не заполнять

Можно не заполнять

*