Главная | Цены | Статьи | Контакты
Меню
Категории
Мой канал на Youtube
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, или Почему 0.999… = 1
11.08.2012 Методическая копилка

Почему 0,999... равно 1

    \[ \begin{array}{l} ^1/_3= 0,333333... \\ \\ ^2/_3 = 0,666666...\end{array} \]

Складываем эти равенства. Слева получаем: \frac{1}{3}+\frac{2}{3} = 1, справа получаем: 0,333333…+0,666666… = 0,999999… То есть число 0,999999… в точности равно 1. Это лишь одно из возможных доказательств этого утверждения. Докажем его с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Рассмотрим бесконечную десятичную дробь:

    \[ 0,(45) = 0,4545454545454545454545454545454545... \]

Эту дробь можно представить в виде бесконечной суммы:

    \[ 0,45+0,0045+0,000045+0,00000045... \]

Легко заметить, что слагаемыми этой суммы являются члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = 0,01 и первым членом b_1 = 0,45. Действительно, каждое последующее слагаемое определяется умножением предыдущего на q = 0,01. Из курса математики известно, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии определяется по формуле:

    \[ S = \frac{b_1}{1-q} = \frac{0,45}{1-0,01} = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}. \]

Итак, мы получили:

    \[ \frac{5}{11} = 0,45454545454545454545454545454545454545... \]

Можете взять калькулятор, разделить 5 на 11, чтобы убедиться, что это действительно так.

Рассмотрим теперь число:

    \[ 0,(9) = 0,9999999999999999999999999999999999... \]

Его можно представить в виде бесконечной суммы:

    \[ 0,9+0,09+0,009+0,0009+0,00009+... \]

Слагаемыми этой суммы являются члены бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q = 0,1 и первым членом b_1 = 0,9. Значит эта сумма равна:

    \[ S=\frac{0,9}{1-0,1} = \frac{0,9}{0,9} = 1. \]

Мы доказали, что 0,(9) = 1. Другими словами, это два разных представления одного и того же числа в виде десятичной дроби. Аналогично, к примеру:

    \[ \begin{array} 00,32(9) = 0,33 \\ 1,01(9) = 1,02\end{array} \]

и т. д. Здесь мы сталкиваемся с неоднозначностью представления числа в виде десятичной дроби.

Сергей Валерьевич
Частный преподаватель

"1" Comment
  1. Логично

Добавить комментарий


Можно не заполнять

Можно не заполнять

*