Cкорость движения спутника вокруг Земли

Четверг, Февраль 11, 2016

Солнечная система (иллюстрация)

В космосе гравитация обеспечивает силу, из-за которой спутники (такие, как Луна) вращаются по орбитам вокруг более крупных тел (таких, как Земля). Эти орбиты в общем случае имеют форму эллипса, на чаще всего, этот эллипс не сильно отличается от окружности. Поэтому в первом приближении можно считать орбиты спутников круговыми. Зная массу планеты и высоту орбиты спутника над Землей, можно рассчитать, какой должна быть скорость движения спутника вокруг Земли.

Расчет скорости движения спутника вокруг Земли

Вращаясь по круговой орбите вокруг Земли, спутник в любой точке своей траектории может двигаться только с постоянной по модулю скоростью, хотя направление этой скорости будет постоянно изменяться. Какова же величина этой скорости? Её можно рассчитать с помощью второго закона Ньютона и закона тяготения.

Для поддержания круговой орбиты спутника массы m в соответствии со вторым законом Ньютона потребуется центростремительная сила: F = ma_n, где a_n — центростремительное ускорение.

Как известно, центростремительное ускорение определяется по формуле:

    \[ a_n = \frac{\upsilon^2}{R}, \]

где \upsilon — скорость движения спутника, R — радиус круговой орбиты, по которой движется спутник.

Центростремительную силу обеспечивает гравитация, поэтому в соответствии с законом тяготения:

    \[ F = G\frac{mM}{R^2}, \]

где M = 6\times 10^{24} кг — масса Земли, G = 6.67\times 10^{-11} м3⋅кг-1⋅с-2 — гравитационная постоянная.

Подставляя все в исходную формулу, получаем:

    \[ G\frac{mM}{R^2} = m\frac{\upsilon^2}{R}. \]

Выражая искомую скорость \upsilon, получаем, что скорость движения спутника вокруг Земли равна:

    \[ \upsilon = \sqrt{G\frac{M}{R}}. \]

Это формула скорости, которую должен иметь спутник Земли на заданном радиусе R (т.е. расстоянии от центра планеты) для поддержания круговой орбиты. Скорость не может меняться по модулю, пока спутник сохраняет постоянный орбитальный радиус, то есть пока он продолжает обращаться вокруг планеты по круговой траектории.

При использовании полученной формулы следует учитывать несколько деталей:

  • В качестве радиуса нужно использовать расстояние от центра Земли, а не высоту над поверхностью.
    Следовательно, расстояние R в формуле – это расстояние между центрами двух тел. В том случае, если известна высота спутника над поверхностью Земли, то для нахождения R к этой высоте нужно прибавить радиус Земли, который приблизительно равен 6400 км.
  • Данная формула верна для спутников, находящихся за пределами атмосферы.
    Однако в случае искусственных спутников это не совсем так. Даже на высоте 600 км от Земли имеет место определённое сопротивление воздуха. Постепенно это сопротивление, т.е. трение о воздух, заставляет спутники снижаться, и в конце концов они сгорают при входе в атмосферу. На высоте менее 160 км орбита спутника существенно понижается при каждом обороте вокруг Земли из-за сопротивления воздуха.
  • Скорость спутника на круговой орбите не зависит от его массы.
    Если представить себе, что сопротивлением воздуха можно пренебречь, и Луна обращается вокруг Земли на расстоянии 640 км, то для сохранения орбиты она должна двигаться с такой же точно скоростью, что и искусственный спутник на той же высоте, хотя масса и размеры Луны намного больше.

Искусственные спутники Земли, как правило, обращаются вокруг планеты на высоте от 500 до 2000 км от поверхности планеты. Рассчитаем, с какой скоростью должен двигаться такой спутник на высоте 1000 км над поверхностью Земли. В этом случае R = 1000 + 6400 = 7400 км. Подставляя числа, получаем:

\upsilon = \sqrt{6.67\times 10^{-11}\cdot\frac{5.9\times 10^{24}}{7.4\times 10^6}} \approx 7.3 км/с.

Материал подготовлен репетитором по математике и физике в Москве, Сергеем Валерьевичем

Комментарии

  1. Евгений:

    У вас ошибка в расчётах первой космической скорости спутника. Правильный ответ 5,062 км/с

    1. Сергей:

      Не соглашусь с Вами, посчитано правильно. Mathcad не ошибается). Можно здесь посмотреть.

  2. Михаил:

    Напишите пожалуйста формулу путевой скорости, если знаем орбитальную.

    1. Сергей:

      Как я понимаю, нужно векторно вычесть из орбитальной скорости, «приведённой» к поверхности Земли, скорость вращения Земли вокруг своей оси. Она будет зависеть от того, в каком направлении движется спутник относительно вращения Земли.

  3. QWErty:

    скорость спутника меняется или остается неизменной?

    1. Сергей:

      Если спутник движется по круговой орбите, то меняется только направление скорости, а модуль остаётся постоянным. Если же он движется по более сложной траектории (например, по эллипсу), то меняется и величина скорости тоже.

  4. Петр:

    Орбитальная скорость спутника падает, если мы повышаем орбиту.

  5. Эрнест:

    Какие умный люди, восхищаюсь вами. Жаль что я многое непонимаю, хоть и всё прочитал и очень люблю космосс и всё что в нём происходит.

  6. Аноним:

    какая сила позволяет земле (скорость её примерно 30км\с) не сбить спутник ,проходящий орбиту на её пути (пол орбиты с его скоростью 8км\сек= 45 мин)на растоянии в 2000м??? Ни центростремительные,ни центробежные,ни гравитация,ни другие известные мне силы силы тут не помогут,или противоречат друг другу.

    1. Сергей:

      Звучит так, как будто инерцию уже отменили. Следуя этой логике, подпрыгнув на месте, я должен был бы упасть в 30 км от того места, где подпрыгнул. А вообще на эти вопросы в двух словах не ответишь. Тут придётся рассказать всю механику, начиная со школьного уровня.

    2. Сергей:

      Я не спец в физике и астрономии, но попытаюсь объяснить с помощью инф. источников интернета, которые в свою очередь опираются на серьёзную литературу.
      Своими словами:
      Наша земля со всеми ее различными слоями атмосферы, а также с искусственными и природными спутниками, летающими на разных земных орбитах, является некой целостной уравновешенной инерциальной системой, которая в свою очередь является компонентом другой подобной инерциальной системы (солнечной системы), двигаясь в ней по определенной орбите солнца. Далее солнечная система тоже участвует в еще более масштабной и комплексной системе — в нашей галактики «Млечный Путь», также двигаясь по определенной орбите.

  7. Аноним:

    да и за время планеты сколько метеоритов с первой космической скоростью пролетали по орбите.У нас бы там место спутникам искуственным бы уже не осталось,а был бы невообразимый щит из булыжников.Может я и преувеличиваю но по этим формулам так получается…Или имеются крупные недочёты во всех расчётах)))

  8. настя:

    в статье сказано, что по данной формуле рачета скорости можно найти непосредственно саму скорость спуткика, но только при усоловии, если он вращается на высоте не менее 500 км.
    тогда как найти скорость спутника с апогеем 277 км?

    1. Сергей:

      Если «с апогеем», то это значит, что он движется по эллиптической траектории. В этом случае всё сложнее. Там уже скорость меняется в процессе движения. Чем спутник дальше от тяготеющего центра — тем скорость меньше.

      1. Аноним:

        Но можно ли использовать эту формулу, для нахожния скорости именной на апогее?

        1. Сергей:

          Нет, нельзя. Эта формула работает только для кругового движения по орбите. Для эллиптического движения есть более сложные формулы, где классическая механика раскрывается во всей её красе:)

  9. Сергей:

    Сергей/ Если планета двигается во эллипсу, в какой точке апогея находится переход от замедления к ускорению?. В какой точке перегея самая высокая скорость?. Спасибо!

    1. Сергей:

      Апогей — это и есть точка, и перигей тоже. Апогей — наиболее удалённая от тяготеющего центра, в ней скорость скорость спутника минимальна, перигей — наименее удалённая, где скорость, наоборот, максимальна.

  10. владимир:

    я вобще про другой спутник

  11. Владимир:

    С выходом на заданную орбиту космического аппарата понятно, а как его затормозить, к примеру, для прилунения?

    1. Сергей:

      А в чём проблема развернуться и включить двигатели, чтобы «затормозить»? Посмотрите, как приземляются отработавшие ступени ракет SpaceX.

  12. олег:

    Если я правильно понял все об движении,можно сделать запуск грузовиков дешевле 5 раз!Но почему запускают дороже в 5 раз?нужна консультация работающего непосредственно в-области запуска.мой тлф в Москве89022631479

  13. Ян:

    Округление результатов сделано не точно.
    Масса земли 5.972 * 10^24. Округлять до 5.9 ошибочно, правильно будет округлить до 6. Тоже самое с ответом, который равен 7.37, что правильнее было бы округлить до 7.4.

  14. Елена:

    Искусственный спутник обращается вокруг Земли на высоте 4,5 Мм. Определить линейную скорость спутника

  15. Данила:

    Вопрос, а почему у вас в 6 степени радиус когда там в 3 должно быть, там же 6400 км => 6,4 × 10^3

    1. Сергей Валерьевич:

      Потому что там в метрах, а не в километрах.

  16. Александр:

    Только что SpaceX’s Falcon Heavy запустил спутник на орбиту (https://www.youtube.com/watch?v=biXA3qlT2hk)
    Летит со скоростью 26722 км/ч, что равняется 7,425 км/с
    Сергей, ваши расчеты верны.

  17. Сергей:

    Правильно ли выражение «что при торможении спутник сначала уходит вниз и вперед».

Добавить комментарий