В школьный курс математики входят темы, связанные с решением линейных, квадратных и дробно-рациональных уравнений. Входят они, соответственно, и в программу экзамена в форме ГИА. В первой части заданий девятиклассникам предлагается решить математическое уравнение без каких-либо дополнительных условий. При решении уравнений из второй части требуется выполнить алгебраические преобразования выражений, упрощающие решение уравнения, решить уравнение с дополнительными условиями или с использованием специальных приемов, таких как разложение на множители или введение новой переменной.
Если с заданиями из первой части по силам справиться большей части учащихся, то задания из второй выполняют далеко не все. В тоже время умение решать элементарные уравнения чрезвычайно важно не только для дальнейшего освоения математики и сопутствующих дисциплин в старших классах, но и просто потому что оно является неотъемлемой составляющей базовой культуры личности любого современного человека. На своих занятиях я уделяю особое вниманию формированию этого умения.
Предлагаю вам попробовать свои силы в решении заданий, которые были в вариантах ГИА по математике в различные годы проведения этого экзамена. Задания здесь представлены вместе с подробным разбором. Однако, в образовательных целях я бы рекомендовал вам решить их вначале самостоятельно, а затем сравнить свое решение с приведенным в статье.
Пример 1. Не решая уравнения 2x2 + 2x − 3 = 0, найдите значение 
, где x1, x2 — корни уравнения.
Решение: разделим обе части уравнения на 2, уравнение примет вид: x2 + x − 1,5 = 0. Это приведенное уравнение, поэтому для него можно применить теорему Виета:
Здесь x1, x2 — корни уравнения. Далее замечаем, что:
Пример 2. Найдите наименьший корень уравнения:
(x + 3)4 + 3x2 + 18x − 1 = 0.
Решение: прибавим к уравнению и вычтем из него 27. На корни уравнения это, конечно, никак не повлияет. Получаем:
(x + 3)4 + 3x2 + 18x + 27 — 27 − 1 = 0.
Вынесем за скобки 3 во втором, третьем и четвертом слагаемом:
(x + 3)4 + 3(x2 + 2x+9) − 28 = 0.
Выражение в скобках представляет из себя развернутый квадрат суммы, свернем его:
(x + 3)4 + 3(x + 3)2 — 28 = 0.
Введем новую переменную (x + 3)2 = t. Тогда уравнение принимает вид:
t2 + 3t — 28 = 0, корнями которого являются числа: -7 и 4. Первое число не подходит, поскольку квадрат действительного числа отрицательным быть не может.
Значит (x + 3)2 = 4, а потому x + 3 = 2 или x + 3 = -2, то есть
x = -1 или x = -5. Наименьшим из этих чисел является -5.
Пример 3. Укажите все значения a, при которых уравнение:
x3 — 2ax2 — (2a — 3)x= 0 имеет три различных корня.
Решение: во-первых, это уравнение точно имеет одно решение x = 0 вне зависимости от того, каким будет a. Чтобы это стало очевидно, вынесем x в уравнении за скобку:
x(x2 — 2ax — (2a — 3)) = 0.
Произведение, как известно, равняется нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю, а значит или x = 0, или выражение в скобках равняется нулю. Необходимо, чтобы уравнение:
x2 — 2ax — (2a — 3) = 0
имело два решения (тогда общее количество решений будет равняться трем). Это возможно в том случае, когда его дискриминант строго больше нуля. Отсюда получаем неравенство:
4a2 + 8a — 12 > 0 или a2 + 2a — 3 > 0, которое выполняется для:
Важно также проверить, что среди корней данного трехчлена не оказалось нуля, иначе два корня уравнения совпадут. Прямой подстановкой определяем, что x = 0 является корнем трехчлена в том случае, если a = 1,5. Исключаем это значение от ответа. Окончательно:
Итак, формально, для выполнения этого задания необходимо знать и понимать алгоритм решения простейших квадратичных уравнений и неравенств, а также уметь проводить элементарные преобразования буквенных выражений. Однако, это условие является, разумеется, лишь необходимым, но не достаточным. В том случае, если вы имеете представление о математических фактах, перечисленных выше, но не смогли решить это задание самостоятельно, постарайтесь проанализировать, с чем это может быть связано, и учтите это в дальнейшем.
Представленные здесь задачи позволяют оценить сложность предлагаемых заданий на ГИА по математике. Если вы смогли решить их самостоятельно, у вас есть все шансы выполнить задания по теме «Уравнения» на предстоящем экзамене. Как бы то ни было, подготовка к ГИА — сложный и длительный процесс, необходимо отнестись к нему со всей серьезностью и ответственностью. Успех в этом деле зависит как от стараний ученика, так и от мастерства его учителя.
Репетитор по математике на Юго-Западной
Сергей Валерьевич
(x + 3)4 + 3×2 + 18x − 1 = 0. прибавим к уравнению и вычтем из него 27
ВОПРОС : почему 27 ?
Потому что наша цель получить из выражения 3x^2 + 18x − 1 выражение вида 3*(x+3)^2+какое-то число, чтобы можно было сделать замену (x+3) = t и решить уравнение. Но 3*(x+3)^2 = 3*(x^2+6x+9) = 3x^2+18x+27. Поэтому, чтобы получить возможность свернуть все к выражению 3*(x+3)^2+какое-то число нужно чтобы в уравнении был член 27. Ну мы его прибавляем и вычитаем, это ничего не нарушает. Ну и далее по тексту. Я понятно объяснил или не очень?
Спасибо, все понятно
Спасибо огромное! Я вот неделю сидела ломала голову над тем, как решить уравнение с вводом новой переменной, разные варианты перепробовала, а всё оказалось до гениального просто. Спасибо, еще раз 🙂