В данной статье остановимся кратко на решении задач C1 из ЕГЭ по математике. Эти задания представляют собой уравнения, которые требуется, во-первых, решить (то есть найти их решения, причем все), во-вторых, осуществить отбор решений по тому или иному ограничению. В последние годы на ЕГЭ по математике в заданиях C1 школьникам предлагаются для решения тригонометрические уравнения, поэтому в данной статье разобраны только они. Примеры структурированы по методам решения уравнений, от самых элементарных, до достаточно сложных.
Прежде чем перейти к разбору конкретных тригонометрических уравнений, вспомним основные формулы тригонометрии. Приведем их здесь в справочном виде.
принадлежащие промежутку
Решение. Используем вторую формулу на рисунке. Здесь и далее полагаем (на всякий случай, эта запись означает, что числа и принадлежат множеству целых чисел):
Арккосинус есть число, заключенное в интервале от до , косинус которого равен .
Арксинус есть число, заключенное в интервале от до , косинус которого равен .
Другими словами, нам нужно подобрать такое число из промежутка косинус которого был бы равен Это число Используя это, получаем:
Вообще, значения тригонометрических функций от основных аргументов нужно знать. Их совсем чуть-чуть:
Хотя на самом деле запоминать их вовсе не обязательно. Существует очень простой алгоритм, используя который, можно в уме легко вычислять значения тригонометрических функций всех основных аргументов. Просто у каждого он свой. Придумайте его и для себя. Просто посмотрите на эту таблицу. Числа в ней расположены не случайным образом, определенная закономерность есть, постарайтесь ее найти.
Итак, вернемся к нашему заданию. Из полученных серий выбираем только те ответы, которые принадлежат промежутку Воспользуемся для этого методом двойных неравенств. Вы помните, что и — целые числа:
1)
2)
Задача для самостоятельного решения №1. Найдите корни уравнения принадлежащие промежутку
Показать ответ
принадлежащие промежутку
Решение. Подобные уравнения решаются один весьма интересным, на мой взгляд, способом. Разделим обе части на , уравнение тогда примет вид:
Подберем такое число, синус которого равен а косинус равен Например, пусть это будет число . С учетом этого перепишем уравнение в виде:
Присмотревшись, слева от знака равенства усматриваем разложение косинуса разности и Это и есть ключ к решению. Имеем:
Осуществляем отбор решений, входящих в промежуток :
1)
2)
Задача для самостоятельного решения №2. Найдите корни уравнения принадлежащие промежутку
Показать ответа) Решите уравнение.
б) Укажите корни, принадлежащие отрезке
Решение. Сразу оговорим ограничения, накладываемые на переменную в этом уравнении: Откуда взялось это ограничение? Правильно, функция не существует при этих значениях Используем замену переменной: Тогда уравнение принимает вид:
Переходим к обратной замене:
Осуществляем отбор решений. Проведем его на этот раз с использованием единичной окружности.
Из рисунка видно, что в интересующий нас промежуток входят только два значения из этих серий: Обратите внимание на один существенный момент. На рисунке точки и принадлежат оси тангенсов, а точки и — единичной окружности. Очень важно понимать, зачем это нужно для решения данной задачи.
Ответ:
Задача для самостоятельного решения №3. Дано уравнение
a) Решите уравнение.
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку
Показать ответ
a) Решите уравнение.
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку
Решение. Равносильными преобразования приводим уравнение к виду:
Осуществляем отбор решений с помощью единичной окружности.
Из рисунка видно, что в интересующий нас промежуток входят только два значения из всех этих серий:
Задача для самостоятельного решения №4. Дано уравнение
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни, принадлежащие отрезку
Показать ответПри решении уравнений этого типа важно обращать внимание на область допустимых значений входящих в него переменных. Именно поэтому составители вариантов ЕГЭ не просят учеников осуществлять отбор решений из полученных серий ответов. Решение этих уравнений само собой подразумевает выполнение данной математической операции.
Решение. Данное уравнение эквивалентно следующей системе:
Обратите внимание! Писать, что нет никакой необходимости, поскольку по условию это выражение равно выражению которое, в свою очередь, больше или равно нулю.
Решаем первое уравнение системы:
Нужно, чтобы поразмыслив, понимаем, что поэтому из полученной серии ответов нам подходят только
Ответ:
Задача для самостоятельного решения №5. Решите уравнение:
Показать ответ
Решение. Данное уравение равносильно системе:
Тригонометрическая функция синус положительна в первой и второй координатной четвертях, поэтому из полученных серий выбираем только эту:
Раз уж мы с этим столкнулись, не лишним будет повторить, какие знаки принимают тригонометрические функций в различных координатных четвертях:
Ответ:
Задача для самостоятельного решения №6. Решите уравнение:
Показать ответ
Решение. Область допустимых значения уравнения определяется условием: то есть Разобьем решение на два случая:
1) Пусть тогда уравнение принимает вид:
Последнее равенство неверно, поэтому в данном случае решений у уравнения не будет.
2) Пусть тогда уравнение принимает вид:
Условию удовлетворяет только последняя серия.
Ответ:
Задача для самостоятельного решения №7. Решите уравнение:
Показать ответЕГЭ по математике 2012 позади, все в ожидании результатов, которые обещали объявить во вторник 19 июня. Сейчас уже поздно желать высоких баллов на экзаменах нынешним выпускникам. Но вот пожелать успехов сегодняшним десятиклассникам я возможности не упущу. Удачи вам в подготовке и помните, что чем раньше она начнется, тем лучше будут результаты на экзамене.
Репетитор математики
Сергей Валерьевич
P. S. Уважаемые гости! Пожалуйста, не пишите в комментариях заявки на решение ваших уравнений. К сожалению, на это у меня совершенно нет времени. Такие сообщения будут удалены. Пожалуйста, ознакомьтесь со статьёй. Возможно, в ней вы найдёте ответы на вопросы, которые не позволили вам решить своё задание самостоятельно.
Здравствуйте. Не могли бы помочь:
sin x+2cos2x=3/2
Заранее спасибо!
Огромное спасибо!!!!!
Очень вам благодарен! Но не могли бы еще помочь, нужно доказать тождество.
2sin2a+sin4a / 2(cosa+cos3a)= tg2a*cosa
Здравствуйте, не могли бы вы помочь!
cos(3x+pi/4)=-√3/2
Еще рас Спасибо))))
Добрый вечер! Помогите пожалуйста: tg x=3\2. Чему равен х?
Здравствуйте, нужна подсказка:
2sin^2(x) + cos(4x)=0 решая эту ересь, получил, что
sin(x)=sqrt(2)/2, где X1= pi/4 + 2pi*n; X2=3pi/4 + 2pi*k;
И найти нужно корни, удовлетворяющие условию:
|x|<3/2, т.е x∈(-3/2;3/2)
сейчас вот биквадрат получился 8sin^4(x)-6sin^2(x) +1=0; я вообще могу записать, что
cos^2(2x)=1-sin^2(2x)? могу ведь
Там sin(x)= +-sqrt(2)/2 и sin(x) = +-1/2; и в интервал: (-1.5;1.5) попадает только x= +-pi/4 и x= +-pi/6, вроде так.
y=4 /(2 cosx-1)
найдите область определения
Здравствуйте, помогите пожалуйста . решить уравнение sin x/2 =корень из 2 делить на 2
решите пожалуйста, arccos (- корень из 3/2)
Здравствуйте, помогите пожалуйста решить уравнение: 6sin^2x + sin2x = 4
Здравствуйте, помогите пожалуйста вспомнить как решается cos (7pi)/12?
Добрый день, подскажите пожалуйста.
при решении тригонометрического уравнения произвожу упрощение: 2sin^2 (3pi/2+x) получаю 2cos^2x или (минус) — 2cos^2x? (^2 это синус в квадрате). Мне кажется все-таки без минуса, но я не уверена…
Добрый вечер, можете помочь?
y=(3x^2+4)*(5x^3-3)
Здравствуйте, подскажите пожалуйста, правильно сделала вычисление.
sin2α/(sin2α+cos2α) ,если tgα= — 2
sin2x=2tgx/tg^2x+1=- 4/5
cos2x=1-tg^2x/1+tg^2x=-3/5
-4/5 / (-4/5-3/5) = 4/7
y = (sqrt (1 — sin^2 x))/sinx =( sqrt (cos^2 x)) / sinx = cosx/sinx = ctgx
Верно?
Добрый вечер! Можете мне объяснить: при решении тригонометрического ур-я получаю ответ х= ( Pi/3) * (-1)^n + (Pi/3) + Pi*n. Но в решебнике приводятся ответы x=( 2Pi/3) + 2Pi*n и x= Pi + 2Pi*n, как так получается?
sin^4x+cos^4x+2sin^2xcos^2x х=π/12
помогите решить
Помогите решить системы
sin x+cos y=1
sin^2x+cos^2y=3/2
sin x+cos y=0
cos^2x+sin^2y=1/5
x-y=Pi
cos x-cos y=корень из 3
Помогите решить)
1)решите уравнение:
2cos(x+pi/6)=√3.
2)Найдите корни уравнения:
2cosx-cos²x=0.
Указать сумму корней sin(пx)=1,принадлежащих промежутку(1;6).
Здравствуйте, помогите найти действительный корень уравнения(((((( sin(x/4)+1-(1/x²) = 0
Помогите пожалуйста решить!!)
Решите уравнение √3 — ctgx=0 на промежутке [0;п/2]. Ответ записать в градусах.
Помогите, пожалуйста, решить!!!!
sin(x) + sin(2x +pi/6) = sqrt(3) * sin(2x) +1
Здравствуйте, можете подсказать каким методом надо решать уравнение cos(pi * x) + x^2 — 6x + 10 = 0?
Графически
Здравствуйте. Если изобразить знаки на тригонометрическом круге от функции sin2x, то они расположатся как у в четвертях как у тангенса. Вопрос почему так?
Помогите , пожалуйста, с заданием !
при каких значениях параметра а уравнение cos^x+(2a+3) sinx-a^2 = 0 имеет три корння на промежутке (0; 2п)
Добрый день!
В каких случаях пишут в конце разные буквы (и 2Пn, и 2Пк) ? Ведь при объединении решений этого будет некорректно?
Будет ли ошибкой на ЕГЭ, если я всё время буду писать скажем 2Пк ?
С уважением, Сергей.
Добрый вечер, а подскажите пожалуйста, как решить это уравнение?
8sin*(П/6)-2 = 14-16cos(в квадрате)*(П-6)
П — это пи
Помогите плиз.
Постройке график функции y=2cos x+1
Помогите решить уравнение, пожалуйста!
y(x)=5sin(x/2)-3cos(1/2(x-Pi/3))
(sin pi/3 — 2 cos pi/2 + tg 11pi/6)tg(-pi/4)(sin 7pi/6 — 5 ctg 3pi/2 — tg 3pi/4 * tg(- 2pi/3) подскажите пожалуйста как решить
Здравствуйте. Помогите найти множествозначений функции
y=2-cos^2x
Здравствуйте, не могу найти область определения у функции у=sqrt(sin(x+П/4))
Помогите пожалуйста
Известно что sinx=-0,6; n<x<3n/2
Найти значения а) cos x б) sin2x
Здравствуйте, помогите пожалуйста:
tg(2п-х)cos(3п/2+2х)=sin(-п/2)
существует ли угол х при котором выполняется тоджества sin cosx=cos sinx
корни данного уравнения:
1−tgx/1+tgx=√ 3
находящиеся в промежутке значений: x∈[−π;2π]
1. Сколько всего таких корней :
2. Наименьший корень: x=
3. Наибольший корень: x=
Здравствуйте. Помогите решить уравнение sin x умножить на Пи\4 = корень из 2\2
Здравствуйте, помогите пожалуйста решить уравнение:
2*sin^2(3x)-sin(x)+cos(2x)=0
буду примного благодарна
Решите пожалуйста
Корень из 1-cosx+кореньcos (x/2+пи/2)=корень из 2
Здравствуйте, помогите решить уравнение cos3xcosx+sin3xsinx=1
Здравствуйте! Помогите решить уравнение sin2х +2sin^2х =0
и найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
[-2π; -π/2].
Помогите мне пожалуйста с решением уравнения:
Cos^2(2t+π\6)=1/2
Здравствуйте. Помогите мне пожалуйста с решением уравнения:
Cos^2(2t+π\6)=1/2
Здраствуйте. Помогите пожалуйста решить уравнение sin^2(x) + 2sin(x) × cos(x)= 3cos^2 (x)
Помогите решить
2cos^2x-1=0 на инетравле [-3p/2;3p/2]
(cos(11π/12)-cos(π/12))/sin(5π/12)
подскажите как это решить. с росписью действий. а чего то я запутался
здрасте где круг