Движение по наклонной плоскости

Автор

Четверг, 31 декабря, 2015

В данной статье рассказывается о том, как решать задачи про движение по наклонной плоскости. Рассмотрено подробное решение задачи о движении связанных тел по наклонной плоскости из ЕГЭ по физике.

Определите ускорение грузов, связанных невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, как показано на рисунке, если массы левого и правого груза равны 0.4 и 0.3 кг, соответственно, коэффициент трения левого груза о поверхность наклонной плоскости равен 0.1, а угол наклона наклонной плоскости равен 30^{\circ}. Трением в блоке пренебречь.

Rendered by QuickLaTeX.com

Решение задачи о движении по наклонной плоскости

Прежде чем перейти непосредственно к решению задачи, как репетитор по математике и физике, рекомендую тщательно проанализировать ее условие. Начать нужно с изображения сил, которые действуют на связанные тела:

Rendered by QuickLaTeX.com

Здесь \vec{T}_1 и \vec{T}_2 — силы натяжения нити, действующие на левое и правое тело, соответственно, \vec{N} — сила реакции опоры, действующая на левое тело, m_1\vec{g} и m_2\vec{g} — силы тяжести, действующие на левое и правое тело, соответственно. С направлением этих сил все понятно. Сила натяжения направлена вдоль нити, сила тяжести вертикально вниз, а сила реакции опоры перпендикулярно наклонной плоскости.

А вот с направлением силы трения F_f придется разбираться отдельно. Поэтому на рисунке она изображена пунктирной линией и подписана со знаком вопроса. Интуитивно понятно, что если правый груз будет «перевешивать» левый, то сила трения будет направлена противоположно вектору \vec{T}_1. Наоборот, если левый груз будет «перевешивать» правый, то сила трения будет сонаправлена с вектором \vec{T}_1.

Правый груз тянет вниз сила m_2g = 0.3\cdot 10 = 3 Н. Здесь мы взяли ускорение свободного падения g=10 м/с2. Левый груз вниз тоже тянет сила тяжести, но не вся целиком, а только ее «часть», поскольку груз лежит на наклонной плоскости. Эта «часть» равна проекции силы тяжести на наклонную плоскости, то есть катету AB в прямоугольном треугольнике OAB, изображенном на рисунке, то есть равна m_1g\sin\alpha = 0.4\cdot 10\cdot\sin 30^{\circ} = 2 Н.

То есть «перевешивает» все-таки правый груз. Следовательно, сила трения \vec{F}_f направлена так, как показано на рисунке (мы ее нарисовали от центра масс тела, что возможно в случае, когда тело можно моделировать материальной точкой):

Rendered by QuickLaTeX.com

Второй важный вопрос, с которым нужно разобраться, будет ли вообще двигаться эта связанная система? Вдруг окажется так, что сила трения между левым грузом и наклонной плоскостью будет настолько велика, что не даст ему сдвинуться с места?

Такая ситуация будет возможна в том случае, когда максимальная сила трения, модуль которой определяется по формуле F_f = \mu N (здесь \mu — коэффициент трения между грузом и наклонной плоскостью, N — сила реакции опоры, действующая на груз со стороны наклонной плоскости), окажется больше той силы, которая старается привести систему с движение. То есть той самой «перевешивающей» силы, которая равна m_2g - m_1g\sin\alpha = 1 Н.

Модуль силы реакции опоры N равен длине катета OB в треугольнике OAB по 3-музакону Ньютона (с какой по величине силой груз давит на наклонную плоскость, с такой же по величине силой наклонная плоскость действует на груз). То есть сила реакции опоры равна m_1g\cos\alpha = 0.4\cdot 10\cdot \cos 30^{\circ} = 3.5 Н. Тогда максимальная величина силы трения составляет F_f = \mu N = 0.1\cdot 3.5 = 0.35 Н, что меньше, чем величина «перевешивающей силы».

Следовательно, система будет двигаться, причем двигаться с ускорением. Изобразим на рисунке эти ускорения и оси координат, которые нам понадобятся далее при решении задачи:

Rendered by QuickLaTeX.com

Теперь, после тщательного анализа условия задачи, мы готовы приступить к ее решению.

Запишем 2-ой закон Ньютона для левого тела:

    \[ \vec{T}_1+\vec{N}+m_1\vec{g}+\vec{F}_f=m_1\vec{a}_1. \]

А в проекции на оси координатной системы Y_1OX_1 получаем:

    \[ \begin{array}{l} X_1: T_1 - F_f - m_1g_x = m_1a_{1x}, \\ Y_1: N - m_1g_y = m_1a_{1y}. \end{array} \]

Здесь с минусом взяты проекции, векторы которых направлен против направления соответствующей оси координат. С плюсом взяты проекции, векторы которых сонаправлен с соответствующей осью координат.

Еще раз подробно объясним, как находить проекции m_1g_x и m_1g_y. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник OAB, изображенный на рисунке. В этом треугольнике m_1g_x = AB и m_1g_y = OB. Также известно, что в этом прямоугольном треугольнике \angle AOB = \alpha. Тогда m_1g_x = m_1g\sin\alpha и m_1g_y = m_1g\cos\alpha.

Вектор ускорения \vec{a}_1 целиком лежит на оси OX_1, поэтому a_{1x} = a_1 и a_{1y} = 0. Как мы уже вспоминали выше, по определению модуль силы трения равен произведению коэффициента трения на модуль силы реакции опоры. Следовательно, F_f = \mu N. Тогда исходная система уравнений принимает вид:

    \[ \begin{array}{l} T_1 - \mu N - m_1g\sin\alpha = m_1a_1, \\ N - m_1g\cos\alpha = 0. \end{array} \]

Запишем теперь 2-ой закон Ньютона для правого тела:

    \[ \vec{T}_2+m_2\vec{g} = m_2\vec{a}_2. \]

В проекции на ось OY_2 получаем:

    \[ Y_2: m_2g-T_2 = m_2a_2. \]

Здесь, как и в предыдущем пункте, с минусом взяты проекции, векторы которых противоположно направлены оси OY_2, а с плюсом взяты проекции, векторы которых сонаправлены с осью OY_2.

В условии сказано, что нить невесомая, то есть не требуется усилий, чтобы привести ее в движение. Следовательно, T_1 = T_2 = T. Кроме того, по условию нить нерастяжимая, следовательно левый груз движется синхронно с правым, то есть a_1 = a_2 = a.

Тогда система уравнений окончательно принимает вид:

    \[ \left\{\begin{array}{lc} T - \mu N - m_1g\sin\alpha = m_1a, & (1)\\ N - m_1g\cos\alpha = 0, & (2)\\ m_2g - T = m_2a. & (3)\\ \end{array} \]

Из уравнения (2) выражаем N, из уравнения (3) выражаем T:

    \[ \begin{cases} N = m_1g\cos\alpha, \\ T = m_2g - m_2a. \\ \end{cases} \]

Теперь все это подставляем в уравнение (1) и выражаем из него искомое ускорение a:

    \[ a = \frac{m_2g-\mu m_1g\cos\alpha - m_1g\sin\alpha}{m_1+m_2}. \]

После подстановки численных значений получаем a = 0.93 м/с2.

Задачи на движением по наклонной плоскости встречаются в той или иной форме практически в каждом варианте ЕГЭ по физике. Научиться их решать должен каждый школьник. Они являются своеобразным индикатором умения ученика использовать законы Ньютона для решения задач по механике. Удачи вам в подготовке к ЕГЭ по физике!

Репетитор по физике на Юго-Западной
Сергей Валерьевич

Метки: , , , , ,
Опубликовано в категории Методическая копилка | Нет комментариев »

Добавить комментарий