Лицей вторая школа. Вступительный по математике 2017 года

Суббота, 29 апреля, 2017

В данной статье представлен разбор варианта вступительного письменного экзамена по математике в лицей №2 (лицей «Вторая школа») для поступающих в 9 класс, который проходил в 2017 года. Стоит отметить, что сложность предлагаемых заданий оказалась в этом году в целом несколько выше, нежели в предыдущие годы. По-видимому, абитуриентов с каждым годом становится всё больше, а потому требования к знаниям потенциальных учеников лицея выдвигаются всё более высокие. Попробуйте решить эти задачи самостоятельно. Если у вас получится, то вы готовы к поступлению в этот лицей. Если нет — не расстраивайтесь. Всему можно научиться. Например, на занятиях с профессиональным репетитором для поступления в лицей «Вторая школа».

1. Найдите наименьшее общее кратное трёх чисел: 2²3⁵, 2³3⁴; 3²5³.

Так как все числа уже разложены на простые сомножители, то для нахождения наименьшего общего кратного необходимо выбрать каждый из этих сомножителей в максимальной степени среди тех, что представлены в данных числах. В результате получится следующее число: 2³3⁵5³ = 243000.

2. Сократите дробь:

$\dfrac{\left(12x^2\right)^4}{4^2\left(18x^3\right)^3}$

Используя стандартные правила умножения и деления степеней, а также возведения степени в степень, получаем следующий результат:

$\frac{\left(2^2\cdot 3x^2\right)^4}{\left(2^2\right)^2\left(3^2\cdot 2x^3\right)^3}=\frac{2^8\cdot 3^4\cdot x^8}{2^4\cdot 3^6\cdot 2^3\cdot x^9}=\frac{2}{9x}.$

3. Разложите на два сомножителя: $c^2+2c6b-9b^2$ .

Используя известные формулы сокращённого умножения, можно преобразовать исходное выражение к требуемому виду следующим образом:

$c^2+2c6b-9b^2 = 5c^2-4c^2+2\cdot 2c\cdot 3b-9b^2 =$

$=5c^2-(4c^2-2\cdot 2c\cdot 3b+9b^2) = 5c^2-(2c-3b)^2 =$

$=(\sqrt{5}c-2c+3b)(\sqrt{5}c+2c-3b).$

4. Дано $\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$ . Найдите $\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$ .

Подобные задания часто встречаются в вариантах вступительных по математике в лицей лицей «Вторая школа». Для того, чтобы его решить, вынесем в числителе и знаменателе за скобки $b^2$ . В результате получаем:

$\frac{b^2\left(\frac{a^2}{b^2}-1\right)}{b^2\left(\frac{a^2}{b^2}+1\right)} = \frac{\left(\frac{a}{b}\right)^2-1}{\left(\frac{a}{b}\right)^2+1} = \frac{\left(\frac{4}{3}\right)^2-1}{\left(\frac{4}{3}\right)^2+1} = \frac{7}{9}\cdot\frac{9}{25}=\frac{7}{25}.$

5. Решите уравнение:

$(x-1)x(x+1)(x+2)=x^4-1.$

Конечно же вариант письменного экзамена по математике в лицей №2 не мог не содержать задания, в котором требуется решить уравнение. Для решения данного уравнения разложим правую часть на множители, используя формулу разность квадратов:

$(x-1)x(x+1)(x+2) = (x^2-1)(x^2+1).$

Применим эту формулу ещё раз для выражения, стоящего в первых скобках справа от знака равенства:

$(x-1)x(x+1)(x+2) = (x-1)(x+1)(x^2+1).$

Перенесём всё в левую сторону равенства, изменив при этом знак на противоположный:

$(x-1)x(x+1)(x+2) - (x-1)(x+1)(x^2+1) = 0.$

Теперь вынесем общие множители за скобки:

$(x-1)(x+1)(x(x+2)-(x^2+1))=0.$

После упрощения получаем окончательно:

$(x-1)(x+1)(2x-1)=0.$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. То есть получаем три корня $x_1=1$ , $x_2=-1$ и $x_3=\frac{1}{2}$ .

6. Найдите все значения x и y, удовлетворяющие уравнению:

$x^2+8xy+25y^2=6y-1.$

Данное уравнение содержит два неизвестных: $x$ и $y$ . Общего алгоритма для решения всех таких уравнений, к сожалению, не существует. Однако, иногда удаётся использовать какие-то частные приёмы, которые позволяют такие задания решать. Как репетитор по математике, на своих занятиях я как раз и занимаюсь тем, что обучаю своих учеников этим приёмам.

Вот что мы сделаем с данным уравнением. Перенесем все слагаемые в одну сторону и представим исходное уравнение в следующем виде:

$x^2+8yx+25y^2-6y+1=0.$

Данное уравнение можно рассматривать как квадратное относительно переменной $x$ . Тогда соответствующие коэффициенты равны $a=1$ , $b=8y$ и $c=25y^2-6y+1$ . Дискриминант такого уравнения равен:

$D = b^2-4ac = 64y^2-4(25y^2-6y+1) =$

$-36y^2+24y-4 = -4(9y^2-6y+1) = -4(3y-1)^2.$

Если посмотреть на полученное выражение, то оно всегда неположительно. При всех отрицательных значениях у исходного уравнения корней не будет. Корень будет единственным при $D=0$ , то есть при $-4(3y-1)^2=0$ . Из последнего уравнения получаем, что $y=\frac{1}{3}$ .

Теперь можно найти сам корень:

$x=-\frac{b}{2a} = -\frac{8y}{2} = -\frac{8\cdot \frac{1}{3}}{2} = -\frac{4}{3}.$

То есть получилась одна единственная пара чисел, удовлетворяющая этому уравнению: $\left(-\frac{4}{3};\frac{1}{3}\left)$ .

7. Плотность сплава 8 г/см³. Каков объём тонны сплава?

Используем то, что 1 т = 1000 кг, 1 г = 10^-3 кг, 1 см³ = 10^-6 м³. Тогда плотность равна: 8 г/см³ = 8×10^-3 кг/см³ = 8×10^-3×10⁶ = 8000 кг/м³. Тогда объём тонны сплава равен: 1000 (кг) / 8000 (кг/м³) = 0.125 м³.

8. Из 10 кг молока, содержащего 4% жира, сделали 1 кг сливок, содержащих 22% жира. Сколько процентов жира содержит оставшееся (обезжиренное) молоко?

Содержание жира в 10 кг 4-процентного молока составляло 10×0,04 = 0,4 кг. Содержание жира в 1 кг 22-процентных сливок составляет 1×0,22 = 0,22 кг. Следовательно, из молока было изъято 0,18 кг жира. Поскольку масса полученных сливок составила 1 кг, то масса оставшегося обезжиренного молока равна 9 кг. Для ответа на вопрос осталось определить сколько процентов от 9 кг обезжиренного молока составляет 0,18 кг сливок: $\frac{0,18}{9}\cdot 100\% = 2\%$ .

9. Решите уравнение:

$|x+2|+|x-2|=4$

Рассмотрим три случая:

1) При $x<-2$ оба выражения, стоящие под знаком модуля, отрицательным. Поэтому в этом случае оба модуля нужно раскрывать со знаком минус. В результате получается следующее уравнение:

$-(x+2)-(x-2)=4\Leftrightarrow -2x=4\Leftrightarrow x=-2.$

Однако этот корень не подходит, так как он не удовлетворяет условию $x<-2$ .

2) При $-2\leqslant x\leqslant 2$ выражение $x+2$ положительно или равно нулю, а выражение $x-2$ отрицательно или равно нулю. Поэтому первый модуль раскрывается со знаком плюс, а второй — со знаком минус. В результате получается следующее уравнение:

$(x+2)-(x-2)=4\Leftrightarrow 4=4\Leftrightarrow x\in R.$

Как видно, полученное равенство верно при любом значении $x$ . Однако, мы берём только $-2\leqslant x\leqslant 2$ .

3) При $x>2$ оба выражения, стоящие под знаком модуля, положительны. Поэтому оба модуля раскрываются со знаком плюс. В результате приходим к следующему выражению:

$(x+2)+(x-2)=4\Leftrightarrow 2x=4\Leftrightarrow x=2.$

Однако этот корень не подходит, так как он не удовлетворяет условию $x>2$ .

Итак, окончательный ответ к заданию: $x\in[-2;2]$ .

Примечание. На самом деле этот ответ можно было бы получить, используя геометрический смысл модуля, который состоит в том, что выражение типа $|a-b|$ представляет собой длину отрезка числовой прямой между точками $a$ и $b$ . Тогда задание можно переформулировать. Требуется найти такую точку $x$ на числовой прямой, сумма расстояний от которой до точек $2$ и $-2$ равна $4$ . Очевидно, что это любая точка между точками $2$ и $-2$ , а также сами эти точки.

Однако, практика показывает, что такое решение понимается школьниками хуже, чем то, что приведено выше. Тем не менее, как репетитор для подготовки в лицей «Вторая школа» к вступительному по математике, на своих занятиях я предлагаю различные варианты решения задач. После этого в беседе с учеником мы определяем, какое решение для него является более простым и понятным.

10. Пешеход вышел из пункта A в 12.00 и пришел в пункт Б в 13.00. Велосипедист выехал из пункта A в 12.10 и приехал в пункт Б в 12.45. Сколько было времени, когда велосипедист обогнал пешехода?

Пусть расстояние между пунктами A и B равно $S$ м, скорость пешехода равна $x$ м/мин, а скорость велосипедиста равна $y$ м/мин. Поскольку пешеход дошёл из пункта A в пункт B (прошёл расстояние $S$ ) за 1 час (60 минут), двигаясь со скоростью $x$ м/мин, то имеет место равенство: $S = 60x$ . Отсюда получаем, что $x = \frac{S}{60}$ Поскольку велосипедист преодолел расстояние из пункта A в пункт B (проехал расстояние $S$ ) за 35 минут, двигаясь со скоростью $y$ м/мин, то имеет место равенство: $S = 35y$ . Отсюда получаем, что $y=\frac{S}{35}$ .

Через $t$ минут после начала движения пешехода, когда велосипедист его догнал, оба преодолели одинаковое расстояние. При этом велосипедист двигался на 10 минут меньше, чем пешеход, то есть $t-10$ минут. То есть имеет место равенство: $xt=y(t-10)$ . С учётом полученных ранее формул получаем следующее уравнение:

$t\frac{S}{60}=(t-10)\frac{S}{35}\Rightarrow \frac{t}{60} = \frac{t-10}{35}.$

Используем правило пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). В результате получаем следующее выражение:

$35t=60(t-10)\Rightarrow 25t=600\Rightarrow t= 24.$

Итак, через 24 минуты после начала движения пешехода, велосипедист его догнал. На часах в этот момент было 12:24.

11. Запишите уравнение прямой, график которой проходит через точку А(100;45) и параллелен прямой y = 0,4x+50.

За наклон прямой, как известно, отвечает коэффициент при переменной x. Поскольку искомая прямая параллельна прямой y = 0,4x+50, то её уравнение может быть записано в виде y = 0,4x+b. Осталось найти, чему равен коэффициент b. Поскольку искомая прямая проходит через точку A, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению этой прямой. Поэтому умеет место равенство:

$0,4\cdot 100 + b = 45\Rightarrow b = 5.$

Итак, искомое уравнение прямой имеет вид y = 0,4x+5.

12. Какие значения может принимать y, если $y=\frac{1-6x}{5-2x}$ , где x — любое число, кроме 5 и 2,5?

Чтобы понять, как решается эта задача, нужно сперва понять, что за функция перед нами, и как выглядит её график. И на самом деле, если присмотреться, то можно увидеть, что перед нами типичная обратная пропорциональность. Графиком этой функции является гипербола, просто она смещена относительно нуля координат.

Чтобы это понять, поработаем с представленным выражением:

$y=\frac{1-6x}{5-2x} = \frac{15-6x-14}{5-2x} = \frac{3(5-2x)-14}{5-2x} =$

$=3-\frac{14}{5-2x} = 3+\frac{14}{2\left(x-\frac{5}{2}\right)} = 3+\frac{7}{x-\frac{5}{2}} .$

Вот теперь как раз видно, что график данной функции получается из графика функции $y=\frac{7}{x}$ путём его переноса на 3 единичных отрезка вверх и $\frac{5}{2}$ единичных отрезков вправо. У него будет горизонтальная асимптота $y=3$ и вертикальная асимптота $x=\frac{5}{2}$ . Точка $x=\frac{5}{2}$ по условию функции не принадлежит. Также по условию мы также должны исключить из этого графика точку с абсциссой 5. Ордината этой точки будет равна $\frac{29}{5}$ . То есть вот как выгладит этот график:

Теперь видно, что область значений нашего исходного выражения задаётся следующим множеством:

$x\in(-\mathcal{1};3)\cup\left(3;\frac{29}{5}\right)\cup\left(\frac{29}{5};+\mathcal{1}\rihgt)$ .

13. При каком значении x значение выражения $(x-5,1)(x-3,3)$ будет наименьшим?

Если рассмотреть квадратичную функцию $y=(x-5,1)(x-3,3)$ , то её графиком будет парабола, ветви которой направлены вверх. При этом эта парабола пересекает ось OX в двух точках: x₁=5,1 и x₂=3,3. В силу симметрии параболы абсцисса её вершины находится ровно посередине между этими точками, то есть x_в = (5,1+3,3)/2 = 4,2. Значение функции в этой точке будет являться наименьшим значением выражения (x — 5,1)(x — 3,3).

Ради интереса найдём это значение. После подстановки получаем:

$(4,2 - 5,1)(4,2 - 3,3) = -0,81$ .

14. При каких значениях x имеет смысл выражение $\sqrt{5x-6-x^2}$ ?

Вспоминаем, что под знаком арифметического квадратного корня не могут находиться отрицательные числа. Стало быть область допустимых значений записанного выражения определяется неравенством:

$5x-6-x^2 \geqslant 0.$

Это стандартное квадратное неравенство. Решим его. Для этого находим сперва корни соответствующего квадратного уравнения:

$5x-6-x^2 = 0\Rightarrow x^2-5x+6=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x_1 = 2 \\ x_2 = 3. \end{array}$

Отмечаем полученные точки на координатной прямой и определяем знаки выражения, которое приравнивали к нулю, на полученных промежутках. С учётом того, что ветви соответствующей параболы направлены вниз, знаки получаются следующие:

Обе отмеченные точки являются закрашенными, поскольку исходное неравенство является нестрогим. Нас интересует промежуток, в котором функция положительна. Поэтому ответ к данному заданию: $x\in[2;3]$ .

15. Решите неравенство:

$\frac{1}{2x+1}\geqslant 3.$

Сперва преобразуем данное неравенство:

$\frac{1}{2x+1}-3\geqslant 0\Rightarrow \frac{1-3(2x+1)}{2x+1}\geqslant 0$

$\frac{-6x-2}{2x+1}\geqslant 0\Rightarrow \frac{-2(3x+1)}{2x+1}\geqslant 0.$

Для удобства разделим обе части неравенства на -2. При этом знак неравенства нужно поменять с «больше или равно» на «меньше или равно»:

$\frac{3x+1}{2x+1}\leqslant 0.$

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Выражение, стоящее слева от знака неравенства, равно нулю, когда числитель равен нулю, то есть при $x=-\frac{1}{3}$ , а знаменатель не равен нулю, то есть при $x\ne -\frac{1}{2}$ . Отмечаем эти точки на числовой прямой. Первая точка будет закрашенной, потому что это нестрогое неравенство. Вторая — выколотой, потому что она не входит в область допустимых значений выражения. Далее определяем знаки выражения на полученных промежутках. Для этого подставляем какие-нибудь значения из каждого промежутка в выражение, которое приравнивали к нулю. В результате получаем следующие знаки:

Нас интересует промежуток, на котором наше выражение принимается неположительные значения. То есть ответ к заданию: $x\in\left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{3}\right]$ .

16. Докажите, что

$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leqslant \frac{a^2+b^2}{2}.$

Перенесём правую часть неравенства в левую, поменяв при этом знак:

$\frac{(a+b)^2}{4}-\frac{a^2+b^2}{2}\leqslant 0.$

Приведём дроби к общему знаменателю и раскроем скобки в числителе первой дроби:

$\frac{a^2+2ab+b^2-2(a^2+b^2)}{4}\leqslant 0.$

Вновь раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые. В результате приходим к следующему выражению:

$\frac{-a^2+2ab-b^2}{4}\leqslant 0.$

Вынесем в числителе минус за скобки:

$\frac{-(a^2-2ab+b^2)}{4}\leqslant 0.$

Выражение в скобках можно представить как квадрат разности, используя известную формулу сокращенного умножения:

$\frac{-(a-b)^2}{4}\leqslant 0\Rightarrow -(a-b)^2\leqslant 0.$

Ну и теперь видно, что данное неравенство выполняется при любых значениях $a$ и $b$ . Действительно, $(a-b)^2\geqslant 0$ при любых значениях $a$ и $b$ , так как квадрат любого числа не может быть отрицательным. Поэтому $-(a-b)^2\leqslant 0$ , так как при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число -1 нужно поменять знак с $\geqslant$ на $\leqslant$ . Что и требовалось доказать.

17. В квадрате ABCD сторона равна 1. Точки E и F – середины сторон BC и CD. M и N – точки пересечения отрезков AE и AF с диагональю BD. Найдите длину отрезка MN.

1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABD находим диагональ квадрата BD:

$BD=\sqrt{AB^2+AD^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}.$

2. FE — средняя линия треугольника DCB, поэтому длина FE равна половине основания BD в этом треугольнике. Следовательно, $FE = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

3. Треугольник DFN подобен треугольнику ANB по двум углам (угол ANB равен углу DNF, так как они вертикальные, а угол DFN равен углу NAB так как они накрест лежащие при параллельных прямых DC, AB и секущей AF).

4. Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению DF:AB. При этом AB = DC, так как у квадрата все стороны равны. То есть коэффициент подобия равен DF:DC = 0,5. Из этого следует, что AN:NF = 2:1. То есть AN:AF = 2:3.

5. Аналогично, из подобия треугольников EMB и AMD следует, что AM:AE = 2:3.

6. Треугольник ANM подобен треугольнику AFE по углу FAE, который является общим для обоих треугольников, и сходственным сторонам: AN:AF = AM:AE = 2:3. Следовательно имеет место соотношение:

$MN = \frac{2}{3}FE = \frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}.$

Это ответ. Безусловно, возможны и другие варианты решения этого задания. Если у вас есть более интересные решения, пишите их в комментариях.

В этой статье мы разобрали один из вариантов, предлагавшихся абитуриентам лицея «Вторая школа» в качестве вступительного по математике в 2017 году. Если вы без проблем смогли решить все задания самостоятельно без ошибок с первого раза, то вы вполне готовы к поступлению в этот лицей. Если же эти задания вызвали серьёзные затруднения, то вы всегда можете обратиться к помощи профессионального репетитора, который поможет вам разобраться в хитросплетениях математики и подготовиться к вступительному в лицей №2. Удачи!

Метки: варианты вступительных экзаменов, лицей вторая школа, ответы на вопросы, подготовка к вступительным экзаменам с репетитором
Опубликовано в категории Методическая копилка | Нет комментариев »

Лицей вторая школа. Вступительный по математике 2017 года

Добавить комментарий Cancel reply

Страницы

Понравился сайт?

Последние записи

Архив записей

Прочее