Тест в лицей ВШЭ

Воскресенье, Октябрь 28, 2018

Данная статья посвящена разбору комплексного теста по математике для абитуриентов лицея НИУ ВШЭ, поступавших в 10 класс в 2018 году. Разбор теста в лицей ВШЭ выполнен профессиональным репетитором, который на протяжении нескольких лет занимается подготовкой школьников к поступлению в это учебное заведение. Представленные задания не являются точной копией тех, что были на вступительном экзамене, но они составлены по мотивам теста, который предлагался для решения абитуриентам лицея ВШЭ в 2018 году. Данный материал может оказаться полезным для тех, кто готовится к вступительным экзаменам в лицей ВШЭ в этом году.

Сайт для подготовки к комплексному тесту по математике в лицей НИУ ВШЭ cleverfox.info

Также предлагаем вам воспользоваться сайтом онлайн-школы CleverFox.info, где выложены варианты комплексных тестов, составленные по мотивам экзаменов прошлых лет, а также ответы и подробные решения к каждому заданию. Идеальный вариант для самостоятельной подготовки к комплексному тесту в лицей ВШЭ.

Первая часть теста в лицей ВШЭ (направления Ю, Д, В, Г, МИ, Экмат)

В этом разделе представлен разбор типовых заданий первой части комплексного теста по математике в лицей ВШЭ за 2018 год (направления «Юриспруденция», «Дизайн», «Востоковедение», «Гуманитарные науки», «Математика, информатика и инженерия», «Экономика и математика»).

Задание 1. Вычислите:

    \[ \dfrac{29}{7} : \left(\dfrac{2}{7}+3\cdot(-0.5)^2\right) \]

  • -\dfrac{116}{13}
  • 13
  • 4
  • -4

Вычисляем по частям:

1) \ \dfrac{2}{7}+3\cdot(-0.5)^2 = \dfrac{2}{7}+3\cdot 0.25 = \dfrac{2}{7}+\dfrac{3}{4} = \dfrac{2\cdot 4+3\cdot 7}{28} =

= \dfrac{29}{28}

2) \ \dfrac{29}{7} : \dfrac{29}{28} = \dfrac{29}{7}\cdot \dfrac{28}{29} = 4.

Правильный ответ: 4.

Задание 2. На некотором длинном стержне отмечены поперечные линии фиолетового, чёрного и зелёного цветов. Линии друг с другом не совпадают. Если распилить стержень по фиолетовым линиям, то стержень разделится на 5 кусков, если по чёрным – на 3 куска, а если по зелёным – на 7 кусков. На сколько кусков разделится стержень, если распилить его по всем линиями (всех трёх цветов)?

  • 14
  • 12
  • 11
  • 13

Количество кусков, которые получаются при распиливании стержня, всегда на 1 больше, чем число распилов. То есть на стержне 4 фиолетовых линии, 2 чёрных и 6 зелёных. Значит, если распилить стержень по линиям всех трёх цветов, то получится 4 + 2 + 6 + 1 = 13 кусков.

Правильный ответ: 13.

Задание 3. Алёша купил футбольный мяч на распродаже за 510 рублей. Известно, что до распродажи этот мяч стоил 850 рублей. Каков был размер скидки, действующей на распродаже, в процентах?

  • 66\dfrac{2}{3}
  • 60
  • 22\dfrac{1}{3}
  • 40

Если вы пишите тест в лицей ВШЭ, то скорее всего вам обязательно попадётся подобное задание. Давайте разберём его решение.

Поскольку стоимость мяча до распродажи составляла 850 рублей, что соответствует 100%, то 1% соответствует 850 : 100 = 8.5 рубля. Алёша сэкономил на покупке футбольного мяча 850 — 510 = 340 рублей. Значит, в процентах это составляет 340 : 8.5 = 40%.

Правильный ответ: 40.

Задание 4. Найдите сумму целых положительных решений неравенства:

    \[ (x+4)^2-(x-10)^2\leqslant 140 \]

  • 28
  • 36
  • 21
  • 35

Раскроем обе скобки в левой части неравенства, используя формулы «квадрат суммы» и «квадрат разности»:

    \[ x^2+8x+16-x^2+20x-100\leqslant 140 \]

После приведения подобных слагаемых получаем следующее неравенство:

    \[ 28x-84\leqslant 140 \]

Теперь прибавим к обеим частям неравенства 84 и поделим обе части на 28. Знак неравенства при этом не изменится, так как мы делим на положительное число. В результате приходим к следующему неравенству: x\leqslant 8.

Сумма целых положительных решений неравенства равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36.

Правильный ответ: 36.

Задание 5. Фитнес-инструктор Борис посоветовал Олегу начать серию пробежек на беговой дорожке с забега длительностью 15 минут, а затем увеличивать время пробежки на 7 минут ежедневно. Олег неукоснительно следовал рекомендациям фитнес-инструктора Бориса. За сколько дней суммарное время его пробежек составило 2 часа 25 минут?

  • 4
  • 5
  • 9
  • 7

Здесь мы имеем дело с арифметической прогрессией, у которой первый член равен a_1 = 15, а разность равна d = 7. Требуется количество n первых членов этой прогрессии, если известна их сумма S_n = 145, так как 2 часа 25 минут = 145 минут. Можно использовать для этого готовую формулу:

    \[ S_n = \frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n \]

Подставляем все величины в эту формулу:

    \[ S_n = \frac{2\cdot 15+7\cdot (n-1)}{2}\cdot n = 145 \]

    \[ (30+7(n-1))n = 290  \]

    \[  7n^2+23n-290=0\]

Коэффициенты последнего квадратного уравнения равны a = 7, b = 23 и c = -290. Тогда дискриминант равен:

    \[ D = b^2-4ac = 8649 = 93^2 \]

Значит, один из корней равен:

    \[ n = \dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} = 5 \]

Второй корень не подходит, так как он отрицателен.

Правильный ответ: 5.

Задание 6. Путешественник решил посетить остров, на котором живут только рыцари, которые всегда говорят только правду, и лжецы, которые говорят только неправду. Для передвижения по острову он нанял проводника, местного жителя, но не знал кто он (рыцарь или лжец). Тогда он попросил проводника догнать идущего впереди туземца и спросить у него, кем тот является. Когда проводник вернулся, путешественник спросил у него, кем же был тот туземец. Проводник ответил: «Туземец сказал про себя, что он лжец.» Кем был проводник?

  • Лжец
  • Рыцарь
  • Если человек, которого спрашивал проводник, лжец, то проводник — рыцарь
  • Может быть как рыцарем, там и лжецом

Любой человек на острове не мог бы сказать про себя, что он лжец. Действительно, если этот житель лжец, то он сказал бы правду, а если рыцарь — солгал бы. То есть проводник сказал неправду, что человек, которого он спрашивал, сказал о себе, что он лжец. Значит, проводник — лжец.

Правильный ответ: лжец.

Задание 7. В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 6 и 10, соответственно. Чему равна его площадь?

  • 30
  • 60
  • 24
  • 48

Поскольку гипотенуза этого треугольника равна 10, а один из катетов равен 6, то по теореме Пифагора можно найти длину другого катета: \sqrt{10^2-6^2} = 8. Для наглядности изобразим данный треугольник на рисунке:

Египетский треугольник из задачи по геометрии из вступительного экзамена в 10 класс лицея НИУ ВЩЭ

Площадь такого треугольника равна половине произведения длин его катетов. То есть S = \dfrac{1}{2}\cdot AC\cdot AB = \dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 6 = 24.

Правильный ответ: 24.

Задание 8. Учитель риторики Иммануил Альбертович обязательно надевает шарф, когда ведёт занятие. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных:
a) Если Иммануил Альбертович не надел шарф, значит, он не ведёт занятие
b) Если Иммануил Альбертович надел шарф, значит, он ведёт занятие
c) Если Иммануил Альбертович проводит на занятии контрольную работу по риторике, значит, он надел шарф
d) Если Иммануил Альбертович не ведёт занятие, значит, он не надел шарф

  • a, c и d
  • a и c
  • b и d
  • a и d

a) Верно, так как Иммануил Альбертович обязательно надевает шарф, когда ведёт занятие.

b) Неверно, так как Иммануил Альбертович мог надеть шарф не из-за того, что он ведёт занятие, а по какой-то иной причине.

c) Верно, так как контрольная работа проводится на занятии, а Иммануил Альбертович обязательно надевает шарф, когда ведёт занятие.

d) Неверно, так как Иммануил Альбертович мог надеть шарф по какой-то иной причине, нежели проведение занятия.

Правильный ответ: a и c.

Задание 9. Из одного города в другой выехали два мотоциклиста. Расстояние между городами равно 420 километров. Оба мотоциклиста движется равномерно. Известно, что скорость первого мотоциклиста на 10 км/ч большей скорости второго, поэтому первый доезжает на места назначения на 1 час раньше второго. Какова скорость второго мотоциклиста?

  • 60 км/ч
  • 70 км/ч
  • 65 км/ч
  • 72 км/ч

Пусть скорость второго мотоциклиста равна x км/ч. Тогда скорость первого мотоциклиста равна x+10 км/ч. Значит, время движения второго мотоциклиста равно \dfrac{420}{x} ч, а время движения первого мотоциклиста равно \dfrac{420}{x+10} ч. Поскольку известно, что первый мотоциклист прибывает к финишу на 1 час раньше второго, то имеет место уравнение:

    \[ \dfrac{420}{x}-\dfrac{420}{x+10}=1 \]

    \[ \dfrac{420(x+10)-420x}{x(x+10)}=1 \]

    \[ \dfrac{4200}{x(x+10)}=1 \]

Для x\ne 0 и x\ne -10, что соответствует смыслу задачи, последнее уравнение эквивалентно следующему: 4200=x(x+10) или x^2+10x-4200 = 0. Корни последнего уравнения находятся по теореме Виета: x_1 = -70 и x_2 = 60. По смыслу задачи подходит только положительный. Итак, скорость второго мотоциклиста равна 60 км/ч.

Правильный ответ: 60 км/ч.

Задание 10. Решите уравнение:

    \[ \dfrac{7}{x+1}-\dfrac{x+4}{2-2x}=\dfrac{3x^2-38}{x^2-1} \]

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите сумму корней уравнения.

  • 8,2
  • 3,8
  • -8,2
  • 7,2

Перепишем уравнение в виде:

    \[ \frac{7}{x+1}+\frac{x+4}{2(x-1)}-\frac{3x^2-38}{(x-1)(x+1)}=0 \]

    \[ \frac{14(x-1)+(x+4)(x+1)-2(3x^2-38)}{2(x-1)(x+1)}=0 \]

    \[ \frac{5x^2-19x-66}{2(x-1)(x+1)}=0 \]

Для x\ne\pm 1 последнее уравнение эквивалентно уравнению 5x^2-19x-66=0. Дискриминант данного квадратного уравнения положителен. Значит, оно имеет два различных корня. При этом прямой подстановкой легко убедиться, что ни число -1, ни число 1 не являются корнями этого уравнения. Разделим обе части полученного уравнения на 5, после чего уравнение примет вид: x^2-3.8x-13.5=0. По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна коэффициенту при переменной x, взятому с противоположным знаком. То есть x_1 + x_2 = 3.8.

Правильный ответ: 3,8.

Первая часть теста в лицей ВШЭ (направления П, Соцэк)

Задание 1. Вычислите:

    \[ \dfrac{\left(\dfrac{5}{2}-1,875\right):0,125}{(-0,2)^4} \]

  • 3125
  • -310,5
  • 25
  • 0,008

Вычисляем по частям:

1) \dfrac{5}{2}-1.875 = \dfrac{5}{2}-1\dfrac{7}{8} = \dfrac{5}{2}-\dfrac{15}{8} = \dfrac{20-15}{8} = \dfrac{5}{8}

2) \dfrac{5}{8} : 0.125 = \dfrac{5}{8} : \dfrac{1}{8} = \dfrac{5}{8}\cdot 8 = 5

3) \dfrac{5}{(-0.2)^4} = 5 : \left(-\dfrac{1}{5}\right)^4 = 5 : \dfrac{1}{625} = 5\cdot 625 = 3125

Правильный ответ: 3125.

Задание 2. В салоне сотовой связи продают телефон. Известно, что его цена повысилась с 16000 руб. до 17920 руб. На сколько процентов подорожал телефон?

  • 10%
  • 11.8%
  • 12%
  • 13%

100% стоимости телефона до повышения цены составляли 16000 руб. То есть 1% составляли 16000 : 100 = 160 руб. После подорожания цена телефона составила 17920 руб., что составляет 17920 : 160 = 112%. Значит, телефон стал дороже после повышения цены на 112-100 = 12%.

Правильный ответ: 12%.

Задание 3. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

    \[ (x-1)(x+1)>(x-5)^2 \]

  • 0
  • 2
  • 3
  • 4

Упростим неравенство:

    \[ x^2-1>x^2-10x+25 \]

    \[ x^2-x^2+10x>25+1 \]

    \[ x>2.6 \]

Наименьшим целым решением последнего неравенства является число 3.

Правильный ответ: 3.

Задание 4. За три ночи до экзамена должник Алёша собрался решить все 189 задач из сборника, увеличивая каждую ночь количество решенных задач на одно и то же число. В третью ночь Алёша смог решить вдвое больше задач, чем в первую. Сколько задач удалось решить Алёше в третью ночь?

  • 50
  • 58
  • 63
  • 84

Поскольку количество задач, которые решал Алёша, увеличивалось каждую ночь на одно и то же число, то во вторую ночь он решил столько, сколько он решал в среднем за все три ночи, то есть 189 : 3 = 63 задачи. Значит, в первую и третью ночь Алёш решил вместе 189-63 = 126 задач. Пусть в первую ночь он решил x задач. Известно, что в третью ночь он решил в 2 раза больше задач, чем в первую. То есть в третью ночь он решил 2x задач. Тогда имеет место уравнение x+2x=126, откуда получаем x = 42. Значит, в первую ночь Борис решил 42 задачи, а в третью в 2 раза больше, то есть 84 задачи.

Правильный ответ: 84.

Задание 5. Сколько целых чисел не входят в область определения записанной ниже функции?

    \[ y=\dfrac{\sqrt{3x^2-2x-1}}{x-1} \]

  • 1
  • 2
  • 0
  • 3

Выражение, стоящее под знаком корня, должно быть большим или равным нулю, а выражение, стоящее в знаменателе, не должно быть равным нулю. Значит, область определения данной функции задаётся следующей системой:

    \[ \begin{cases} 3x^2-2x-1\geqslant 0 \\ x-1\ne 0 \end{cases} \]

1) Решаем первое неравенство системы. Найдём сперва корни уравнения 3x^2-2x-1 = 0. Они находятся с помощью дискриминанта или по теореме Виета: x_1 = -\dfrac{1}{3} и x_2 = 1. Наносим найденные значения на числовую прямую (соответствующие точки будут закрашены, так как неравенство нестрогое) и определяем знаки на полученных промежутках:

Рисунок к решению квадратичного неравенства из первой части комплексного теста по математике в 10 класс лицея НИУ ВШЭ

Итак, решение первого неравенства системы имеет вид:

x\in \left(-\mathcal{1};-\dfrac{1}{3}\right]\cup[1;+\mathcal{1}).

2) Из второго неравенства системы получаем, что x\ne 1. То есть число 1 нужно исключить из полученного выше решения.

Тогда область определения функции имеет вид:

x\in \left(-\mathcal{1};-\dfrac{1}{3}\right]\cup(1;+\mathcal{1}).

В неё не входят только два целых числа: 0 и 1.

Правильный ответ: 2.

Задание 6. Известно, что сумма всех сторон некоторого прямоугольного треугольника равна 24 см, а гипотенуза этого треугольника больше одного из катетов на 2 см. Какова длина гипотенузы в сантиметрах?

  • 10
  • 14
  • 9
  • 12

Пусть один из катетов этого прямоугольного треугольника равен x см, тогда его гипотенуза равна x+2. Поскольку периметр этого треугольника равен 24, то второй его катет равен 24-x-(x+2) = 22-2x. Для наглядности изобразим данный прямоугольный треугольник на рисунке:

Прямоугольный треугольник с периметром 24 из геометрической задачи части 1 комплексного теста по математике в лицей НИУ ВШЭ

По теореме Пифагора получаем, что BC^2=AC^2+AB^2. То есть имеет место уравнение:

    \[ x^2+(22-2x)^2=(x+2)^2 \]

    \[  x^2+484-88x+4x^2=x^2+4x+4 \]

    \[ x^2-23x+120=0 \]

Корни последнего уравнения находим через дискриминант или по теореме Виета. Они равны: x_1 = 8 и x_2 = 15. Но второй вариант не подходит, так как в этом случае гипотенуза должна быть равна 15 + 2 =17. То есть сумма длин этого катета и гипотенузы равна 17+15 = 32, что больше периметра треугольника. То есть один из катетов равен 8 см, а гипотенуза равна 8 + 2 = 10 см.

Правильный ответ: 10.

Задание 7. В некоторой геометрической прогрессии прогрессии 3-й член равен -2, а 7-й её член равен -32. Чему равен 5-й член этой прогрессии?

  • -8
  • 8 и -8
  • 8
  • 4 и -4

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: b_n = b_1q^{n-1}, где b_1 — первый член прогрессии, q — знаменатель геометрической прогрессии. Значит, имеет место система уравнений:

    \[ \begin{cases} -2=b_1q^{3-1} \\ -32=b_1q^{7-1} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} -2=b_1q^2 \\ -32=b_1q^6 \end{cases} \]

Разделим почленно второе уравнение на первое. В результате получаем:

    \[ \dfrac{-32}{-2}=\dfrac{b_1q^6}{b_1q^2} \]

    \[ 16=q^4 \]

    \[ q =\pm 2 \]

Возможны оба варианта, как с положительным знаменателем, так и с отрицательным.

Теперь находим первый член прогрессии. Для этого подставим найденное значение q в первое уравнение исходной системы:

    \[ -2=b_1\cdot\left(\pm 2\right)^2 = 4b_1 \]

    \[ b_1 = - 0.5 \]

Находим теперь пятый член прогрессии с помощью формулы n-го члена:

    \[ b_5 = b_1q^{5-1} = -0.5 \cdot \left(\pm 2\right)^4 = - 8 \]

Правильный ответ: -8.

Задание 8. В совхоз имени Ленина на прополку свекольного поля привезли четыре бригады старшеклассников. Работая вместе, первая, вторая и третья бригады могли бы прополоть всё поле за 8 часов. С другой стороны, работая вместе, вторая, третья и четвертая, могли бы прополоть это поле за 6 часов 40 минут. А все четыре бригады, работая вместе, смогли бы прополоть это поле за 5 часов. Сколько времени потребуется на прополку всего поля первой и четвёртой бригаде, если они будут работать вместе?

  • 7
  • 8
  • 8,5
  • 9

Переведём 6 часов 40 минут в часы. Поскольку 40 минут = \dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3} часа, то 6 часов 40 минут = 6\dfrac{2}{3} = \dfrac{20}{3} часа.

Назовём производительностью бригады то, какую часть поля она пропалывает в одиночку за 1 час. Пусть производительность первой, второй, третей и четвёртой бригад равны, соответственно, x, y, z и k. Тогда, согласно условию, имеет место система уравнений:

    \[ \begin{cases} x+y+z=\dfrac{1}{8} \\ y+z+k=\dfrac{3}{20} \\ x+y+z+k=\dfrac{1}{5} \end{cases} \]

Сравнивая первое и третье уравнение системы, находим сразу, что k = \dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{40}. Тогда первое и второе уравнение в системе можно переписать в следующем виде:

    \[ \begin{cases} x+y+z=\dfrac{1}{8} \\ y+z+\dfrac{3}{40}=\dfrac{3}{20} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x+y+z=\dfrac{1}{8} \\ y+z=\dfrac{3}{40} \end{cases}\]

Вычтем теперь почленно из первого уравнения полученной системы второе:

    \[ x+y+z-(y+z) = \dfrac{1}{8}-\dfrac{3}{40} \]

    \[ x=\dfrac{1}{20} \]

Значит, производительность группы, состоящей из первой и четвёртой бригады, равна x+k = \dfrac{1}{20}+\dfrac{3}{40} = \dfrac{1}{8}. Значит, работая вместе, первая и четвёртая бригады справятся с прополкой поля за 1 : \dfrac{1}{8} = 8 часов.

Правильный ответ: 8.

Задание 9. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций

    \[ f(x) = \dfrac{8}{x^2-4} \]

и

    \[ g(x)=\dfrac{x}{x+2}+\dfrac{x+2}{x-2} \]

Если точек пересечения несколько, в ответе укажите их сумму.

  • -2
  • -1
  • 1
  • 3

Для нахождения абсциссы точки пересечения графиков указанных функций нужно решить уравнение: f(x) = g(x):

    \[ \dfrac{8}{x^2-4} = \dfrac{x}{x+2} + \dfrac{x+2}{x-2} \]

Переносим все дроби в одну сторону равенства и приводим их к общему знаменателю:

    \[ \dfrac{8}{(x-2)(x+2)} - \dfrac{x}{x+2} - \dfrac{x+2}{x-2} = 0 \]

    \[ \frac{8-x(x-2)-(x+2)^2}{(x-2)(x+2)} = 0 \]

    \[ \dfrac{-2x^2-2x+4}{(x-2)(x+2)} \]

В знаменателе не должно быть нуля, поэтому x\ne\pm 2. При остальных значениях x последнее уравнение эквивалентно уравнению -2x^2-2x+4 = 0 или, после деления на -2 обеих частей, x^2+x-2 = 0. Данное квадратное уравнение решается с помощью дискриминанта или по тереме Виета: x_1 = 1 и x_2 = -2. Второй корень не входит в область определения обеих функций. Итак, у графиков исходных функций будет только одна точка пересечения, абсцисса которой равна 1.

Правильный ответ: 1.

Задание 10. Вычислите сумму всех различных значений параметра p, при каждом из которых уравнение (p-3)x^2+13x+p+2=0 имеет ровно один корень.

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

Заметим сразу, что при p = 3 уравнение становится линейным: 13x+5=0. Полученное уравнение имеет единственный корень: x = -\dfrac{5}{13}. Значит, этот случай нам подходит.

При p\ne 3 уравнение является квадратным, поэтому оно будет иметь единственный корень, если его дискриминант равен нулю:

    \[ D = 13^2-4(p-3)(p+2)=-4p^2+4p+193=0 \]

    \[ p^2-p-\dfrac{193}{4}= 0 \]

Последнее квадратное уравнение имеет два различных корня p_1 и p_2,так как его дискриминант положителен:

    \[ (-1)^2-4\cdot 1\cdot \left(-\dfrac{193}{4}\right) = 194 > 0 \]

Причём, во-первых, прямой подстановкой можно убедиться, что ни один из этих корней не равен 3, а во-вторых, по теореме Виета сумма этих корней равна p_1+p_2 = 1.

Итак, сумма всех значений, при которых исходное уравнение имеет единственное решение равна 3+1 = 4.

Правильный ответ: 4.

Вторая часть теста в лицей ВШЭ

В данном разделе представлен разбор типовых заданий второй части вступительного комплексного теста по математике в лицей ВШЭ за 2018 год. Задания не являются точной копией тех, которые были на самом вступительном экзамене, но они составлены таким образом, чтобы полностью соответствовать заданиям второй части реального комплексного теста, который сдавали абитуриенты лицея в 2018 году. Так что если вы зададитесь целью решить из самостоятельно, то вы как бы окажитесь на самом вступительном экзамене в лицей ВШЭ. Проверьте свои знания!

Задание 1. Найдите все значения x, для каждого из которых имеет смысл выражение:

    \[ \frac{2x+5}{\sqrt{2x^2+9x+7}+\sqrt{-x^2-6x-5}} \]


Выражения, стоящие под каждым корнем в знаменателе, должны быть больше или равны нулю, но не должны обращаться в нуль одновременно (то есть при одном и том же значении x), так как в знаменателе не должно находиться нуля. Поэтому искомое множество значений задаётся следующей системой неравенств:

    \[ \begin{cases} 2x^2+9x+7\geqslant 0 \\ -x^2-6x-5\geqslant 0 \\ \sqrt{2x^2+9x+7}+\sqrt{-x^2-6x-5}\ne 0 \end{cases} \]

Умножим обе части второго неравенства системы на -1. В результате знак неравенства изменится на обратный, так как умножаем на отрицательное число:

    \[ \begin{cases} 2x^2+9x+7\geqslant 0 \\ x^2+6x+5\leqslant 0 \\ \sqrt{2x^2+9x+7}+\sqrt{-x^2-6x-5}\ne 0 \end{cases} \]

Решим сперва каждое неравенство по отдельности:

1) Корни уравнения 2x^2+9x+7 = 0 равны x_1 = -1 и x_2 = -3.5. Наносим полученные корни на числовую прямую. Соответствующие точки будут закрашены, так как неравенство нестрогое. Далее определяем знаки на каждом промежутке:
Рисунок к заданию 1 из комплексного теста по математике в лицей НИУ ВШЭ за 2018 год
Ответ к первому неравенству: x\in(-\infty;-3.5]\cup [-1;+\infty).

2) Корни уравнения x^2+6x+5 = 0 равны x_1 = -1 и x_2 = -5. Наносим полученные корни на числовую прямую. Соответствующие точки будут закрашены, так как неравенство нестрогое. Далее определяем знаки на каждом промежутке:
Парабола, ветви которой направлены вверх, пересекает числовую прямую в двух точках
Ответ ко второму неравенству: x\in[-5;-1].

Для наглядности изобразим полученные решения одно под другим:
Пересечение промежутков, полученных при решении задания 1 из части 2 комплексного теста по математике в 10 класс лицея ВШЭ (2018 год)

Видно, что пересечением всех трёх множеств является множество [-5;-3.5]\cup\{-1\}. Однако, оба выражения 2x^2+9x+7 и  -x^2-6x-5 обращаются в нуль при x=-1, и знаменатель исходной дроби становится равным нулю, то есть выражение теряет смысл. Поэтому данное число нужно исключить из окончательного ответа.

Ответ: x\in [-5;-3.5]

Задание 2. Алёша положил в банк 8000 рублей. Проценты по вкладу начислялись в конце каждого года и прибавлялись к текущей сумме вклада. В конце второго года после выплаты процентов сумма на вкладе составила 9680 рублей. Каков был годовой процент по вкладу, если Алёша не проводили никаких дополнительных операций по вкладу в течение всего срока его действия?


И вновь задание, связанное с процентами. Это обычная практика для теста в лицей ВШЭ. Рассмотрим решение этого задания.

Пусть годовой процент по вкладу составлял x процентов. Тогда в конце первого года после выплаты процентов сумма на вкладе составила в рублях:

    \[ 8000 \times\dfrac{100+x}{100} = 8000 \cdot(1+0.01x) = 8000 + 80x \]

Аналогично, в конце второго года вклада после выплаты процентов сумма на вкладе составила в рублях:

    \[ (8000 + 80x)\times\dfrac{100+x}{100} = (8000 + 80x)\cdot(1+0.01x) = \]

    \[ = 0.8x^2+160x+8000 = 0.8(x^2+200x+10000) = \]

    \[ = 0.8(x+100)^2 \]

Поскольку в конце второго года вклада Алёша снял со счёта 9680 руб., то имеет место уравнение:

    \[ 0.8(x+100)^2 = 9680 \Leftrightarrow (x+100)^2=12100 = 110^2 \]

Поскольку по смыслу задачи x+100 > 0, то из последнего равенства получаем, что x+100 = 110 и x = 10. Итак, процент по вкладу составлял 10% годовых.

Ответ: 10%

Задание 3. найдите значение параметра a такое, что система уравнений

    \[ \begin{cases} x-(a-1)y=2 \\ (a+2)x+2y=4-a^2 \end{cases} \]

не имеет решений. Для данного значения параметра изобразите на координатной плоскости прямые, задаваемые каждым из уравнений системы, и определите графически расстояние между этими прямыми. В ответе укажите значение параметра и найденное расстояние.

Выразим в обоих уравнениях переменную y через переменную x. Для этого обе части первого уравнения системы придётся делить на a-1, поэтому нужно убедиться, что a\ne 1. Действительно, при a=1 система принимает вид:

    \[ \begin{cases} x=2 \\ 3x+2y=3 \end{cases} \]

система имеет единственное решение (2;-1.5). Этот случай нам не интересен.

Для a\ne 1 мы можем поделить обе части первого уравнения системы на a-1, а обе части второго — на 2. В результате после преобразований система примет более удобный вид:

    \[ \begin{cases} y = \dfrac{1}{a-1}x-\dfrac{2}{a-1} \\ y = -\dfrac{a+2}{2}x+\dfrac{4-a^2}{2} \end{cases} \]

Теперь видно, что система не будет иметь решений при таких значениях параметра a, когда коэффициенты перед переменной y в обоих уравнениях окажутся равными, а свободные члены, стоящие справа от знака равенства, напротив, окажутся неравными:

    \[\begin{cases} \dfrac{1}{a-1} = -\dfrac{a+2}{2} \\ -\dfrac{2}{a-1}\ne \dfrac{4-a^2}{2} \end{cases}\]

Упростим систему для a\ne 1:

    \[ \begin{cases} (a+2)(a-1)=-2\\ (a-1)(4-a^2)\ne-8 \end{cases} \]

Решаем первое уравнение системы:

    \[ (a+2)(a-1)=-2 \]

    \[ a^2+a = 0 \]

    \[ a(a+1)=0 \]

Последнее уравнение имеет два корня: a_1 = 0 и a_2 = -1. Однако, второму условию в системе удовлетворяет только второй корень. Действительно, при подстановке первого корня получаем, что -\dfrac{2}{0-1} = \dfrac{4-0^2}{2} или 2 = 2, а при подстановке второго корня получаем, что -\dfrac{2}{-1-1} \ne \dfrac{4-(-1)^2}{2} или 1 \ne 1.5.

Итак, при a=-1 система не будет иметь решений. При этом значении параметра система принимает вид:

    \[ \begin{cases} x+2y=2 \\ x+2y=3 \end{cases} \]

Изобразим на координатной плоскости прямые, задаваемые каждым из уравнений полученной системы:

Две параллельные прямые на координатной плоскости из комплексного теста по математике за 2018 год

Найдём теперь расстояние между этими прямыми. Для этого проведём перпендикуляр от одной прямой к другой и найдём его длину d, используя подобие отмеченных на рисунке треугольников:

Подобные треугольники в прямоугольной системе координат

Гипотенуза большого прямоугольного треугольника равна \sqrt{3^2+1.5^2} = 1.5\sqrt{5}. Тогда из подобия этих треугольников получаем следующее соотношение:

    \[ \dfrac{d}{1.5}=\dfrac{1}{1.5\sqrt{5}} \Leftrightarrow d = \dfrac{\sqrt{5}}{5} \]

Ответ: a = -1, \dfrac{\sqrt{5}}{5}

Задание 4. В треугольнике ABC проведена биссектриса угла A, пересекающая сторону BC в точке K и окружность, описанную около треугольника ABC, в точке M.

  1. Докажите, что треугольник BMC равнобедренный.
  2. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KMC, если AC = 4, BC = 5, AB = 6.

1. Начнём с доказательства. Изобразим ситуацию на рисунке:
Треугольник, вписанный в окружность, из геометрической задачи второй части комплексного теста по математике в лицей ВШЭ

Дуги CM и BM равны, так как на них опираются равные вписанные углы. Значит, равны и хорды, стягивающие эти дуги. То есть CM = MB, а значит, треугольник CMB является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

2. Найдём теперь радиус окружности, описанной около треугольника KMC:

Чертёж к задаче из теста в лицей ВШЭ

1) Пусть CK = x, тогда BK = 5-x. Используем свойство биссектрисы AK треугольника ABC и получаем следующее равенство: \dfrac{x}{4}=\dfrac{5-x}{6}. Из этого равенства получаем, что 6x=20-4x или x = 2.

2) Заметим также, что ∠CMA = ∠CBA = \beta, так оба являются вписанными и опираются на одну дугу AC. Ищем \cos\beta. Для этого запишем теорему косинусов для треугольника ABC:

    \[ AC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos\beta \]

    \[ 16=36+25-60\cos\beta \]

    \[\beta=\dfrac{3}{4}\]

3) Поскольку \cos\beta > 0, то угол \beta — острый. Используя основное тригонометрическое тождество, находим теперь \sin\beta:

    \[ \sin\beta = \sqrt{1-\cos^2\beta} = \sqrt{1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{7}}{4} \]

4) Теперь в треугольнике CMK нам известна сторона CK = 2 и синус противолежащего угла \sin\angle CMK = \sin\beta = \dfrac{\sqrt{7}}{4}. Значит, мы можем воспользоваться теоремой синусов для нахождения радиуса R описанной около него окружности:

    \[ \dfrac{CK}{\sin\beta} = 2R \]

    \[ \dfrac{8}{\sqrt{7}} = 2R \]

    \[ R = \dfrac{4}{\sqrt{7}} \]

Ответ: \dfrac{4}{\sqrt{7}}

Задание 5. Найдите все значения параметра a такие, что уравнение

    \[ |x^2+x-2|+3a=0 \]

имеет ровно четыре различных решения.

Перепишем уравнение в более удобном виде |x^2+x-2|=-3a. Рассмотрим две функции: y = |x^2+x-2| и y=-3a.

Построим график первой функции. Для этого нужно построить график функции y = x^2+x-2, а затем все точки с отрицательными ординатами, принадлежащие этому графику, отразить относительно оси OX. График получается следующим:

График функции из задания 5 части 2 комплексного теста по математике в лицей НИУ ВШЭ

График второй функции представляет собой прямую, параллельную оси OX и перемещающуюся вверх или вниз в зависимости от значения параметра a. При этом существует положение этой прямой, при котором она имеет ровно три общие точки с графиком. Уравнение соответствующей прямой имеет вид: y=2.25. При перемещении этой прямой «вниз» вплоть до y = 0 она будет иметь ровно четыре точки пересечения с построенным графиком:

Комплексный тест по математике в 10 класс лицея НИУ ВШЭ (задание 5 часть 2)

Значит, искомое множество значений параметра a задаётся двойным неравенством: 0<-3a<2\dfrac{1}{4}, то есть a\in\left(-\dfrac{3}{4};0\right).

Ответ: a\in\left(-\dfrac{3}{4};0\right)

Подготовка к тесту в лицей ВШЭ

Если вам требуется подготовка к тесту в лицей ВШЭ по математике, вы можете обратиться за помощью к репетитору в Москве, который занимается такого рода подготовкой на профессиональном уровне и имеет огромный опыт. Контакты репетитора вы найдёте на этой странице. Также вы можете воспользоваться сайтом онлайн-школы CleverFox.info, на котором выложены варианты комплексных тестов, составленные по мотивам экзаменов прошлых лет, а также ответы и подробные решения к каждому заданию теста. Успехов Вам в подготовке к поступлению в лицей НИУ ВШЭ!

Материал подготовил профессиональный репетитор по математике и физике в Москве, Сергей Валерьевич

Добавить комментарий