Как легко составить уравнение параболы по графику

Среда, 3 августа, 2016

В данной статье репетитор по математике рассказывает о простом и эффективном способе составления уравнения параболы по её графику, которому вас не научат в школе. Дочитайте эту статью до конца или посмотрите видео с подробным объяснением, потому что эта информация может вам пригодиться на экзамене.


Задача состоит в том, чтобы по графику параболы (см. рисунок) определить коэффициенты a, b и c соответствующей квадратичной функции y = ax^2+bx+c:

График параболы, уравнение которой требуется составить

Существует стандартный и крайне неэффективный способ решения этой задачи. Он заключается в том, чтобы через координату x_B вершины параболы связать коэффициенты a и b, используя формулу x_B = -\frac{b}{2a}. Затем взять координаты двух точек, которые принадлежат параболе, составить систему уравнений и решить её относительно искомых коэффициентов. Считать придётся долго и муторно.

Мы не пойдём этим путём. Предлагаемый в данной статье способ намного более прост и изящен. Введём новую систему координат X_1OY_1 с центром в вершине параболы и осями, сонаправленными с исходной системой координат. В данной системе координат уравнение нашей параболы будет иметь вид: y_1 = ax_1^2, где a\ne 0. Изобразим в новой системе координат график квадратичной функции y_1 = x_1^2 (синяя пунктирная линия на рисунке):

Парабола, уравнение которой требуется найти, в новой системе координат

Абсциссы точек C и B в новой системе координат равны. Ордината точки C в 2 раза больше ординаты точки B. Значит график исходной параболы в новой системе координат получен умножением на \frac{1}{2} всех ординат точек графика функции y_1= x_1^2. Откуда получаем, что a=\frac{1}{2}. Значит исходная парабола может быть представлена в виде следующего выражения в новой системе координат: y_1 = \frac{1}{2}x_1^2.

Осталось перейти в исходную систему координат. Поскольку новая система координат получена путём параллельного переноса исходной системы координат на 4 единичных отрезка вправо и 2 единичных отрезка вверх, то в исходной системе координат наша парабола может быть представлена в виде следующего выражения:

    \[ y = \frac{1}{2}(x-4)^2+2 = \frac{1}{2}x^2-4x+10. \]

Как видите, данный способ требует минимум вычислений и фактически является полуустным. Запомните этот способ, он может пригодиться вам при решений задач из ЕГЭ, ОГЭ или вступительных экзаменов в вузы и школы с углубленным изучением математики.

Статья написана репетитором по математике в Москве, Сергеем Валерьевичем

Комментарии

  1. Григорий:

    Почему Вы говорите, что этому способу не научат в школе? Нас вот учили.

    1. Сергей:

      А Вы в какой школе учились?

      1. Григорий:

        Класс был с физико-математическим профилем, но школа обычная, общеобразовательная.

        1. Сергей:

          Ну я про все школы говорить не могу, но это всё же положительное исключение, а не правило. Вам, видимо, повезло с школой:-)

  2. Го:

    А вот мне нет

    1. Сергей:

      Что именно не понятно?

  3. Гф:

    Можете рассказать как посторить график функции и определить при каких значениях прямая имеет с графиком одну общую точку?

    1. Сергей:

      Так обычно формулируются задачи с параметрами. Про них на сайте есть отдельная статья.

  4. Галина:

    А если вершина параболы не в целочисленных координатах, тогда как быть?

    1. Сергей:

      Поскольку задание формулируется так, что нужно найти уравнение параболы из графика, то предполагается, что все необходимые координаты можно найти из этого графика. Например, в этом случае график может быть нарисован на миллиметровой бумаге. Ну а сам алгоритм решения будет абсолютно аналогичным.

  5. Константин:

    Сергей, спасибо. 15 минут бился над плавным приближением к географическому объекту на карте с большой высоты. Нужны были коэффициенты для формулы изменения масштаба. Глянул на Ваш рисунок, и всё прояснилось.

    1. Сергей:

      Вот этого не ожидал, если честно:) Чтобы мои статьи помогли кому-то в решении таких сложных задач). Рад, что статья оказалась для Вас полезной.

      1. Константин:

        Хотел выложить видео, чтобы не быть голословным и показать, что всё это может пригодиться не только в школе, но защита от спама не пропускает.

        1. Сергей:

          Можете прислать видео или ссылку на него на seliverstov@yourtutor.info? Я прикреплю её к Вашему комментарию.

  6. Тимур:

    А если ветви функции направлены вниз? то нахождение А и B C не правильно ? по сдвигу ? Просто у меня не получается найти A. При A больше нуля все совпадает но при ее переворачивании функция уходит в другие значения.

    1. Сергей:

      Если ветви направлены вниз, алгоритм не меняется. Всё то же самое. Коэффициент A будет получаться отрицательным.

  7. Наталия:

    Сергей, здравствуйте. И все-таки в сборнике 3000 задач для подготовке к ОГЭ (ГИА) за 2015 год , например, 1460 , для определения а приведен график, где непонятно даже положение вершины, то ли посередине, то ли нет, и таких задач несколько Как быть? Заранее спасибо.

  8. Виктор:

    Так и хочется как-нибудь применить этот способ для составления уравнения параболы по трем заданным точкам.

  9. Вова:

    Скажи как найти y вершини(с=0)

  10. Аист:

    Здравствуйте, вы не могли бы помочь. Год назад я каким-то образом формулу графика параболы ax2+bx+c переделывал в формулу m(x+n)2+v
    (Переменные во втором выражении я поставил наугад)
    Сейчас не могу вспомнить. В интернете не нашёл. Помогите, буду благодарен

    1. Аист:

      2 это квадрат

Добавить комментарий