Главная | Цены | Статьи | Контакты
Меню
Категории
Мой канал на Youtube
Решение задания 13 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
09.07.2016 Методическая копилка

В задании 13 ЕГЭ по математике профильного уровня требуется решить уравнение и осуществить отбор его корней, удовлетворяющих некоторому условию. В данной статье представлен разбор такого задания из профильного уровня ЕГЭ по математике, предложенного в 2016 году. Доступен видеоразбор решения от репетитора по математике.

а) Решите уравнение:

    \[ 2\log_2^2\left(2\sin x\right) - 7\log_2\left(2\sin x\right) +3 = 0. \]

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[\frac{\pi}{2};2\pi\right].

Видеоразбор задания доступен здесь:

а) Используем замену \log_2\left(2\sin x\right) = t. Тогда уравнение принимает вид:

    \[ 2t^2-7t+3 = 0. \]

Дискриминант данного уравнения равен:

    \[ D = b^2 -4ac = 7^2-4\cdot 2\cdot 3 = 25. \]

Тогда корни уравнения равны:

    \[ t_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} = \left[ \begin{array}{l} t_1 = \frac{-(-7)-\sqrt{25}}{2\cdot 2} \\ t_2 = \frac{-(-7)+\sqrt{25}}{2\cdot 2}. \end{array} = \left[ \begin{array}{l} t_1 = \frac{1}{2} \\ t_2 = 3. \end{array} \]

Обратная подстановка приводит к следующему результату:

    \[ \left[\begin{array}{l} \log_2\left(2\sin x\right) = \frac{1}{2} \\ \log_2\left(2\sin x\right) = 3 \end{array}\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2\sin x = 2^{\frac{1}{2}} \\ 2\sin x = 2^3 \end{array}\Leftrightarrow \]

    \[ \left[\begin{array}{l} 2\sin x = \sqrt{2} \\ 2\sin x = 8 \end{array}\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin x = 4. \end{array} \]

Второе уравнение не имеет корней, поскольку 0\leqslant|\sin x|\leqslant 1. Решением второго уравнения является серия:

    \[ x = (-1)^n\cdot\textrm{arcsin}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\pi n,\, n\in Z. \]

Получаем следующую серию:

    \[ x = (-1)^n\cdot\left(\frac{\pi}{4}\right)+\pi n,\, n\in Z. \]

Эту серию можно записать иначе:

    \[ \left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{4}+2\pi n,\, n\in Z \\ x = \frac{3\pi}{4}+2\pi k,\, k\in Z. \end{array} \]

б) Осуществляем отбор решений с помощью единичной окружности. На рисунке множество \left[\frac{\pi}{2};2\pi\right] выделено красным цветом:

Единичная окружность для выбора решений из задания ЕГЭ по математике 2016

Из рисунка видно, что подходит только один корень: x = \frac{3\pi}{4}.

Ответ: а) x = (-1)^n\left(\frac{\pi}{4}\right)+\pi n,\, n\in Z,

б) \frac{3\pi}{4}.

Репетитор по математике в Москве, Сергей Валерьевич

13 комментариев
  1. ТУПОЙ ПОЛЬЗОВАТЕЛЬ

    АААА СЛООЖНАААА!!!!!!

  2. УМНЫЙ ПОЛЬЗОВАТЕЛЬ

    ЛЕГКО

  3. Вообще тупой пользователь

    нет

  4. Аноним

    красиво!

  5. Аноним

    это пример того как НЕЛЬЗЯ оформлять задание. нет ОДЗ, на рис не указаны промежутки.

    • Сергей

      Здесь нет ни одного неравносильного преобразования, поэтому указывать здесь ОДЗ не имеет ни малейшего смысла. Промежуток выделен на рисунке красным цветом.

  6. Аноним

    дауны, это изи

  7. Пользователь-гумманитарий

    Зачем все это? ЗАЧЕМ???

Добавить комментарий


Можно не заполнять

Можно не заполнять

*