Остаток от деления отрицательных чисел

Пятница, Октябрь 28, 2016

В этой статье я расскажу о том, как правильно находить остаток от деления отрицательных чисел. Этой теме, к сожалению, уделяется очень мало внимания в школе, хотя для понимания учеником базовых основ математики она чрезвычайно важна. Именно поэтому, как репетитор по математике, на своих занятиях я разбираю это материал с учениками во всех подробностях. Это значительно упрощает дальнейшую подготовку к ЕГЭ, ОГЭ, вступительным экзаменам и олимпиадам по математике.

Итак, приступим. Чтобы разделить друг на друга два целых числа с остатком, нужно воспользоваться следующей теоремой:

Для любых целых чисел a и b, причём b\ne 0, найдётся единственная пара целых чисел q и r, таких что a = q\cdot b + r, где 0\leqslant r<|b|.

Здесь a — делимое, b — делитель, q — неполное частное, r — остаток. Сразу обращаем внимание, что остаток r — это неотрицательное число. Понятно, что условие b\ne 0 возникает потому, что деление на нуль невозможно.

Звучит довольно сложно, но на самом деле в этой теореме нет ничего сложного. Чтобы во всём разобраться, перейдём к примерам.

Примеры нахождения остатка от деления отрицательных чисел

Пример 1. Деление с остатком положительного целого числа на положительное целое число.

Допустим, что требуется разделить с остатком 27 на 4. Вопрос состоит в том, сколько раз число 4 содержится в числе 27? Но мы знаем, что нет такого целого числа, на которое можно умножить 4, чтобы получить 27. Поэтому вопрос нужно переформулировать. На какое число нужно умножить 4, чтобы получить число, максимально близкое к 27, но не превзойти его? Очевидно, что это число 6. Если 4 умножить на 6, то получится 24. До исходного делимого 27 не хватает 3. Следовательно, остаток от деления 27 на 4 составляет 3:

27 : 4 = 6 ост. 3.

Пример 2. Деление с остатком отрицательного целого числа на положительное целое число.

Что если требуется найти остаток от деления отрицательного целого числа -15 на положительное целое число 4? Начнём с того, что неполное частное должно получиться отрицательным, поскольку при делении отрицательного числа на положительное, результат получается отрицательным. Кто-нибудь может предположить, что неполное частное в данном случае должно быть равно -3. Но в этом случае, умножив -3 на 4, мы получим -12. И чтобы получить исходное делимое -15, нужно к результату -12 прибавить число -3, которое не может быть остатком, потому что остаток не может быть отрицательным!

Поэтому в данном случае неполное частное равно -4. В этом случае, умножая -4 на делитель 4, мы получаем -16. И теперь, чтобы получить исходное делимое -15, нужно к этому результату прибавить число 1. Оно неотрицательно и меньше модуля делителя (то есть 4). То есть оно и является остатком:

-15 : 4 = -4 ост. 1.

Пример 3. Деление положительного целого числа на отрицательное целое число.

Рассмотрим теперь пример деления с остатком положительного целого числа 113 на отрицательное целое число -3. Неполное частное, как и в предыдущем примере, должно быть отрицательным, потому что при делении положительного числа на отрицательное, результат отрицателен. Давайте думать, чему конкретно равно неполное частное. Очевидно, что оно равно -37. Действительно, при умножении -37 на -3 получается 111. Теперь, чтобы получить исходное делимое, нужно прибавить к этому результату число 2, которое неотрицательно и меньше модуля делителя (то есть модуля -3, что равно 3). Итак, наш ответ:

113 : (-3) = -37 ост. 2.

Пример 4. Деление с остатком отрицательного целого числа на отрицательное целое число.

Ну и последний пример. Отрицательное целое число -15 требуется поделить с остатком на отрицательное целое число -7. Неполное частное должно быть положительно по знаку, потому что при делении отрицательных чисел результат получается положительным. И оно равно 3. Действительно, умножая 3 на -7, получаем -21. Теперь к этому числу нужно прибавить положительное и меньшее модуля -7 (то есть 7) число 6, чтобы получить наше исходное делимое -15. Следовательно, остаток от деления отрицательных чисел -15 на -7 равен:

-15 : (-7) = 3 ост. 6.

Проверьте, насколько хорошо вы поняли этот урок. Найдите самостоятельно остаток от деления отрицательных чисел:

а) -16 на 7;

б) 8 на -9;

в) -114 на -4.

Свои ответы пишите в комментариях, я их проверю.

Материал подготовил репетитор по математике и физике по скайпу, Сергей Валерьевич

Комментарии

  1. Умка:

    а) -16 : 7 = -3 ост. 5;
    б) 8 : (-9) = 0 ост. 8;
    в) -114 : (-4) = 29 ост. 2.

    1. Сергей:

      Всё верно!

  2. Саша:

    Пример 3. Опечатка ?
    Написано «минус 37». В примере число положительное

    1. Сергей:

      Да, спасибо, исправил.

  3. Игорь:

    Спасибо за урок!

  4. Илья:

    Разве знак остатка не зависит от знака делителя? Есть ощущение, что статья неверна.

    1. Илья:

      Можно это проверить в банальном Python

      1. Илья:

        Прошу прощения, все верно, это я перекодил в ночной час.

        1. Сергей:

          Хорошо. Я сам только начинаю изучать Python, но уже успело сложиться ощущение, что ему вполне можно доверять)

          1. Амир:

            почему -3 / 5 = -1 ост.2

          2. Сергей:

            Потому что -3 = 5*(-1)+2

      2. Александр:

        в пайтон с отрицательным на отрицательное работает немного не так
        -15 // -7 = 2
        -15 % -7 = -1

        1. Сергей:

          Да, спасибо. Мы это уже выяснили (см. комментарии ниже). Это особенность языка, связанная с некоторыми удобствами для разработчика. Но с точки зрения математики остаток — это всегда неотрицательное число.

  5. Алексеев Денис:

    Ответ на задачу в видео:
    1) Подберём частное (например, 1) и выявим делимое:
    A=1*12+5=17
    2) Найдём остаток при делении числа 17 на 4:
    17:4=4 (ост. 1)
    3) Подтвердим ответ (1), подберём другое частное (например, 7):
    A=7*12+5=89
    89:4=22 (ост. 1)
    Остатки одинаковы, ответ подтверждён!
    Ответ: остаток равен 1.

    1. Сергей:

      Да, это верно. Только доказательство не является полным, если оно проведено для конкретных примеров. Нужно доказать в общем виде. Взять не конкретные числа, а число 12n+5, где n — целое, и найти остаток от деления этого числа на 4.

      1. Damocle:

        Кажется, я доказал методом индукции (или чем-то вроде него). Есть ли ещё какие-нибудь методы?
        Доказательство:
        Известно, что у/12=х(ост.5), где х и у — целые. Нужно найти остаток для у/4. Найдем его для х=1:
        у=(12*1+5)=17 17/4=4(ост.1)
        Предположим, что остаток от деления у на 4 всегда равен 1. Подставим в х число k+1, где k — целое.
        (12*(k+1)+5)/4 = (12k+17)/4 = 3k + 4 + 1/4.
        Значит, при любом целом k в числе у будет присутствовать дробь 1/4, которая в остатке дает единицу, и при делении у на 4 в остатке всегда будет 1.

  6. Наталья:

    Про Python (3). В нем отрицательный остаток от деления положительного числа на отрицательное:
    >>> 15%-4
    -1
    Что противоречит пункту теоремы r>=0.
    Долго не могла понять что не так, пока не узнала, что языки программирования могут по-разному «отвечать» на деление с остатком. Так что проверка на Python может быть не всегда корректна с точки зрения математики.

    1. Сергей:

      Спасибо за комментарий! Действительно, сейчас прочитал об этом)) На каком-то форуме даже есть некоторое объяснение, почему создатели Python решили сделать именно так. Но это, видимо, исключительно для удобства разработчиков. Математически правильным является определение, которое представлено в статье.

    2. Ismoil:

      privet.neprotiv li vi nauchit menya (mod) kanyeshna yesli mozhete?

  7. Murat iz Uzbekistana:

    v kakom klasse provesti urok v takom poryadke naprimer na 5 om klasse tolko naturalniye chisla

  8. Аноним:

    Кто-то допустил ошибку в теореме и теперь в нее долбится стадо баранов не способное осознать что в реальности согласно этой теореме получается полный бред. Возьмите и разделите банковский долг -15 на 4 члена семьи в которой вы состоите, долг ваш, но вы договорились что долг подлете на четверых целыми числами, а остаток заплатит тот чья кредитка. Согласно это глупой теореме и этому глупому репетитору вы бы заплатили банку по 4 рубля, а тот чья кредитка заплатил бы 3. Можно ли сказать что вы поделили это ровными долями и остаток заплатил владелец кредитки? Нет нельзя. Отсюда вывод, это теорема не отвечает запросам реальности, кто-то допустил ошибку в ее формулировке установив ограничение что остаток не может быть отрицательным, а вы теперь как стадо баранов и попугаев это повторяете!

    1. Сергей:

      Вам там, видимо, ближе с Ваших интеллектуальных высот. Сообщите мировому научному сообществу, что ошиблись их седовласые учёные мужи.

    2. Rod:

      Здравствуйте, уважаемый аноним.

      Если Я должен деньги банку и делю долг на 4 человека по-ровну целыми числами и остаток отдаю сам, тогда это 15%4=3 и остаток 3 (один платит 6, остальные по 3)
      Если Я банк, и мне должны 15 рублей и платят по той же схеме (поровну), но считаю при этом Я — банк
      тогда -15%4=по 4 платит каждый, и 1 я возвращаю кому-то из них.
      зависит от того, у кого эти деньги (у банка -15, у меня +15). Теорема вроде как подтверждается, поправьте, если ошибаюсь

  9. Ismoil:

    ya zhivu v gorode Kulyabe-Tadzhikistan.

Добавить комментарий