Вступительный по математике в МФТИ

Воскресенье, Октябрь 8, 2017

В данной статье разобран пример вступительного экзамена по математике в МФТИ (бакалавриат). Если вас интересует разбор вступительного экзамена по физике, вы можете найти его на этой странице. Все решения выполнены профессиональным репетитором по математике и физике, осуществляющим подготовку абитуриентов к вступительным экзаменам в МФТИ (ФизТех).

Разбор вступительного экзамена по математике в МФТИ

1. Решите уравнение:

    \[ 4\sin x+\sqrt{3}\sin 2x=2\cos 2x\sin x. \]

Используем формулу «синус двойного угла»:

    \[ 4\sin x+2\sqrt{3}\sin x\cos x=2\cos 2x\sin x. \]

Переносим слагаемые, находящиеся справа от знака равенства, в левую сторону, меняя при этом их знак на противоположный, и выносим \sin x за скобки:

    \[ \sin x(4+2\sqrt{3}\cos x-2\cos 2x)=0. \]

Преобразуем теперь выражение, стоящее в скобках, используя формулу «косинус двойного угла»:

    \[ \sin x(4+2\sqrt{3}\cos x-2(2\cos^2x-1))=0 \]

    \[ \sin x(6+2\sqrt{3}\cos x-4\cos^2x)=0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. То есть возможны два случая:

1) \sin x = 0\Leftrightarrow x = \pi n,\, n\in Z.

2) 6+2\sqrt{3}\cos x-4\cos^2x=0.

Умножим обе части последнего уравнения на -1 и введём замену t=\cos x:

    \[ 4t^2-2\sqrt{3}t-6=0\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} t_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ t_2=\sqrt{3}. \end{array} \]

Примечание. Последнее уравнение является квадратным и решается по стандартному алгоритму с помощью дискриминанта.

Возвращаемся к исходной переменной. Получаем, что либо \cos x = \sqrt{3} (это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как \sqrt{3}>1), либо \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}. Из последнего уравнения получаем x = \pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\, n\in Z.

Ответ: x=\pi n,\,x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\, n\in Z.

2. Решите систему уравнений:

    \[ \begin{cases} x^3+y^3=19 \\ (xy+8)(x+y)=2. \end{cases} \]

Преобразуем выражение с суммой кубов:

    \[ x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2). \]

В скобках заменим член -xy на разность 2xy-3xy. От этого равенство не нарушится. В результате получим:

    \[ (x+y)(x^2+2xy+y^2-3xy) = \]

    \[ =(x+y)((x+y)^2-3xy). \]

Итак, исходную систему можно представить в следующем виде:

    \[ \begin{cases} (x+y)((x+y)^2-3xy)=19 \\ (xy+8)(x+y)=2. \end{cases} \]

Теперь используем замену: a=x+y и b = xy. Тогда система принимает вид:

    \[ \begin{cases} a(a^2-3b)=19 \\ a(b+8)=2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a^3-3ab = 19 \\ 3ab+24a=6. \end{cases} \]

Теперь складываем почленно оба уравнения и приходим к следующему уравнению:

    \[ a^3+24a-25=0. \]

Корень этого уравнения угадывается автоматически: a=1. Других корней не будет, так как справа стоит возрастающая функция, поскольку она является суммой возрастающих функций, поэтому нулевое значение она может принимать только при каком-то одном значении a.

Итак, a=1, значит b = -6. Возвращаясь к исходным переменным, получаем следующую систему:

    \[ \begin{cases} x+y = 1 \\ xy=-6. \end{cases} \]

В результате приходим к окончательному ответу: (-2;3) и (3;-2).

3. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (1;3), касающейся графика функции y=8\sqrt{x}-7 и пересекающей в двух различных точках график функции y=x^2+4x-1.

В общем виде уравнение прямой может быть записано следующим образом: y=kx+b. Известно, что эта прямая проходит через точку (1;3), то есть имеет место равенство:

(1)   \begin{equation*} 3=k+b. \end{equation*}

Кроме того, прямая касается графика функции y=8\sqrt{x}-7. Значит уравнение

    \[ 8\sqrt{x}-7 = kx+b \]

должно иметь ровно один корень. Введём замену t=\sqrt{x}\geqslant 0. Тогда последнее условие эквивалентно тому, что дискриминант квадратного уравнения

(2)   \begin{equation*} kt^2-8t+7+b =0 \end{equation*}

равен нулю, и корень t при этом неотрицателен. То есть получаем:

    \[ D=64-4k(7+b) = 0\Leftrightarrow 16-7k-kb=0. \]

Таким образом с учётом уравнения (1) приходим к следующей системе:

    \[ \begin{cases} k+b = 3 \\ 16-7k-kb=0. \end{cases} \]

Решая эту систему методом подстановки, получаем следующие результаты: (k=2 и b=1) или (k=8 и b=-5). При k=2 и b=1 уравнение (2) имеет один неотрицательный корень x=2. При k=8 и b=-5 уравнение (2) имеет один неотрицательный корень x=\frac{1}{2}.

То есть из двух прямых y=2x+1 и y=8x-5 нужно выбрать такую, которая пересекает график функции y=x^2+4x-1 в двух различных точках.

  • Решаем сперва уравнение:

    \[ 2x+1 = x^2+4x-1\Leftrightarrow -x^2-2x+2=0. \]

Дискриминант последнего уравнения положителен. Значит, оно имеет два различных корня. Этот случай нам подходит.

  • Решаем теперь уравнение:

    \[ 8x-5 = x^2+4x-1\Leftrightarrow -x^2+4x-4 = 0. \]

Дискриминант этого уравнения равен нулю. Значит, решение в этом случае будет одно. Этот случай нам не подходит.

Ответ: y=2x+1.

Примечание. Для наглядности изобразим ситуацию на графике, хотя делать это необязательно, поскольку в задании этого не требуют:

Парабола, прямая и график квадратного корня на едином координатном поле

4. Хорда окружности, удалённая от центра на расстояние 15, разбивает окружность на два сегмента, в каждый из которых вписан квадрат. Найдите разность сторон этих квадратов.

Квадраты, вписанные в сегменты круга, из геометрической задачи вступительного экзамена по математике в МФТИ

Пусть радиус окружности равен R. Рассмотрим прямоугольные треугольники OMR и ODP. С учётом введённых на рисунке обозначений распишем теорему Пифагора для этих треугольников:

    \[ \begin{cases} x^2 = R^2-(2x+15)^2 \\ y^2 = R^2 - (2y-15)^2. \end{cases} \]

Вычтем почленно второе уравнение из первого:

    \[ y^2-x^2 = (2x+15)^2-(2y-15)^2. \]

Преобразуем полученное выражение, используя формулу «разность квадратов»:

    \[ (y-x)(y+x) = 4(x-y+15)(x+y). \]

Поделим обе части этого уравнения на x+y\ne 0 и обозначит разность y-x за t. В результате приходим к следующему уравнению:

    \[ t = 4(15-t)\Leftrightarrow t=12. \]

Искомая разность сторон квадратов в наших обозначениях будет равна 2t=24.

Ответ: 24.

5. Решите неравенство

    \[ \log_4\left(5-3^x\right)\cdot\log_2\left(\frac{5-3^x}{8}\right)\geqslant -1. \]

Введём замену: t=5-3^x>0. Тогда неравенство принимает вид:

    \[ \log_{2^2} t\cdot\log_2\left(\frac{t}{8}\right)\geqslant -1. \]

Теперь, используя стандартные свойства логарифмов, представим логарифмическое выражение слева от знака неравенства следующим образом:

    \[ \frac{1}{2}\log_2 t\left(\log_2 t - 3\right)\geqslant -1. \]

Введём ещё одну замену: z=\log_2 t. Тогда после умножения обеих частей неравенства на положительное число 2 неравенство принимает вид:

    \[ z^2-3z+2\geqslant 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z\leqslant 1\\ z\geqslant 2. \end{array} \]

Последовательно возвращаемся к исходной переменной x:

    \[ \left[ \begin{array}{l} \log_2 t\leqslant 1\\ \log_2 t\geqslant 2. \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0< t\leqslant 2\\ t\geqslant 4. \end{array}\Leftrightarrow \]

    \[ \left[ \begin{array}{l} 0< 5-3^x\leqslant 2\\ 5-3^x\geqslant 4. \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3\leqslant 3^x < 5\\ 3^x\leqslant 1. \end{array} \]

Окончательно получаем следующий ответ: x\in(-\mathcal{1};0]\cup[1;\log_3 5).

6. В две бочки были налиты растворы соли, причём в первую бочку было налито 16 кг, а во вторую — 25 кг. Оба раствора разбавили водой так, что процентное содержание соли уменьшилось в k раз в первой бочке и в m раз во второй. О числах k и m известно, что km = k+m+3. Найдите наименьшее количество воды, которое могло быть долито в обе бочки вместе.


Пусть в первую бочку долили x кг воды, а во вторую — y кг. Пусть в первой бочке находится a кг, а во второй b кг соли.

Тогда изначально в первой бочке процентное содержание соли составляло:

    \[ \frac{a}{16}\times 100\%, \]

а после доливания воды оно стало равно:

    \[ \frac{a}{x+16}\times 100\%. \]

Аналогично, во второй бочке изначально процентное содержание соли составляло:

    \[ \frac{b}{25}\times 100\%, \]

а после доливания воды оно стало равно:

    \[ \frac{b}{y+25}\times 100\%. \]

Тогда справедливы равенства:

(3)   \begin{equation*} \frac{a}{16}:\frac{a}{x+16}=\frac{x+16}{16}=1+\frac{x}{16} = k \end{equation*}

(4)   \begin{equation*} \frac{b}{25}:\frac{b}{y+25}=\frac{y+25}{25} = 1+\frac{y}{25} = m. \end{equation*}

Из уравнения (3) выражаем x=16(k-1), из уравнения (4) выражаем y=25(m-1), а из уравнения km = k+m+3 выражаем k=\frac{m+3}{m-1}. Мы ищем минимальное значение суммы x+y. Проще всего найти его, используя неравенство Коши:

    \[ x+y\geqslant 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{16(k-1)\cdot 25(m-1)} = \]

    \[ =40\sqrt{\left(\frac{m+3}{m-1}-1\right)(m-1)}= \]

    \[ = 40\sqrt{m+3-m+1} = 80. \]

Итак, наименьшее количество воды, которое могло быть долито в обе бочки вместе равно 80 кг.

Ответ: 80 кг.

7. Вершина прямого угла C прямоугольного треугольника ABC расположена на диаметре окружности, параллельном хорде AB. Найдите площадь треугольника ABC, если ∠BAC = 75°, а радиус окружности равен 10.

Рисунок к задаче с треугольником из вступительного экзамена по математике в ФизТех

Выполним следующие дополнительные построения:

  • проведём высоту OD к хорде AB. Тогда D — середина AB, так как OD — высота и медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника AOB;
  • проведём отрезок CD. Он является медианой прямоугольного треугольника ACB, проведённой из вершины прямого угла. Значит, CD = AD = BD.

Переходим к решению:

  • сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Значит, ∠CBA = 15°;
  • так как CD = BD, то треугольник CDB — равнобедренный и ∠CBD = ∠DCB = 15°;
  • CBD = ∠BCO = 15°, поскольку они являются накрест лежащими при параллельных прямых и секущей. Значит, ∠DСO = 30°;
  • значит, в прямоугольном треугольнике COD против угла в 30° лежит катет OD, который равен половине гипотенузы CD. Пусть DO = x, а CD = AD = DB = 2x;
  • из теоремы Пифагора для треугольника ODB получаем, что x^2+4x^2 = 100, то есть x = 2\sqrt{5};
  • тогда искомая площадь треугольника ABC равна половине произведения его высоты, проведённой к стороне AB, которая по длине равна x, на основание AB, которое по длине равно 4x. То есть искомая площадь равна S = 2x^2 = 40.

Ответ: 40.

8. Найдите все значения параметра a, для каждого из которых неравенство

    \[ 2a-4+(3-\sin^2x)^2+\cos^2x<0 \]

выполняется для всех значений x.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством для того, чтобы представить неравенство в следующем виде:

    \[ 2a-4+(2+\cos^2x)^2+\cos^2x<0. \]

Введём замену t=\cos^2x. При этом 0\leqslant t\leqslant 1. Тогда неравенство принимает вид:

    \[ 2a-4+(2+t)^2+t<0\Leftrightarrow t^2+5t+2a<0. \]

Функция y=t^2+5t+2a возрастает на отрезке [0;1], так как ветви соответствующей параболы направлены вверх, а абсцисса вершины равна -\frac{5}{2}. Значит, достаточно задать условие, что значение этой функции на правой границе указанного отрезка меньше нуля:

    \[ 1^2+5\cdot 1+2a<0\Leftrightarrow a<-3. \]

Ответ: a\in(-\mathcal{1};-3).

Подготовка к вступительному экзамену по математике в МФТИ

Если вам требуется подготовка к вступительному экзамену по математике в МФТИ, обращайтесь к опытному профессиональному репетитору в Москве Сергею Валерьевичу. Возможны как очные, так и удаленный занятия через интернет с использованием интерактивной доски. Как показывает практика, в условиях ограниченности во времени именно занятия с репетитором обеспечивают наиболее эффективную подготовку к вступительным экзаменам. Подробную информацию о занятиях с репетитором вы можете найти на этой странице. Успехов вам в подготовке к экзаменам!

Добавить комментарий