Вступительный по математике в МФТИ

Воскресенье, 8 октября, 2017

В данной статье разобран пример вступительного экзамена по математике в МФТИ (бакалавриат). Если вас интересует разбор вступительного экзамена по физике, вы можете найти его на этой странице. Все решения выполнены профессиональным репетитором по математике и физике, осуществляющим подготовку абитуриентов к вступительным экзаменам в МФТИ (ФизТех).

Разбор вступительного экзамена по математике в МФТИ

1. Решите уравнение:

$4\sin x+\sqrt{3}\sin 2x=2\cos 2x\sin x.$

Используем формулу «синус двойного угла»:

$4\sin x+2\sqrt{3}\sin x\cos x=2\cos 2x\sin x.$

Переносим слагаемые, находящиеся справа от знака равенства, в левую сторону, меняя при этом их знак на противоположный, и выносим $\sin x$ за скобки:

$\sin x(4+2\sqrt{3}\cos x-2\cos 2x)=0.$

Преобразуем теперь выражение, стоящее в скобках, используя формулу «косинус двойного угла»:

$\sin x(4+2\sqrt{3}\cos x-2(2\cos^2x-1))=0$

$\sin x(6+2\sqrt{3}\cos x-4\cos^2x)=0.$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. То есть возможны два случая:

1) $\sin x = 0\Leftrightarrow x = \pi n,\, n\in Z$ .

2) $6+2\sqrt{3}\cos x-4\cos^2x=0.$

Умножим обе части последнего уравнения на $-1$ и введём замену $t=\cos x$ :

$4t^2-2\sqrt{3}t-6=0\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} t_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ t_2=\sqrt{3}. \end{array}$

Примечание. Последнее уравнение является квадратным и решается по стандартному алгоритму с помощью дискриминанта.

Возвращаемся к исходной переменной. Получаем, что либо $\cos x = \sqrt{3}$ (это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как $\sqrt{3}>1$ ), либо $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Из последнего уравнения получаем $x = \pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\, n\in Z$ .

Ответ: $x=\pi n,\,x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\, n\in Z$ .

2. Решите систему уравнений:

$\begin{cases} x^3+y^3=19 \\ (xy+8)(x+y)=2. \end{cases}$

Преобразуем выражение с суммой кубов:

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2).$

В скобках заменим член $-xy$ на разность $2xy-3xy$ . От этого равенство не нарушится. В результате получим:

$(x+y)(x^2+2xy+y^2-3xy) =$

$=(x+y)((x+y)^2-3xy).$

Итак, исходную систему можно представить в следующем виде:

$\begin{cases} (x+y)((x+y)^2-3xy)=19 \\ (xy+8)(x+y)=2. \end{cases}$

Теперь используем замену: $a=x+y$ и $b = xy$ . Тогда система принимает вид:

$\begin{cases} a(a^2-3b)=19 \\ a(b+8)=2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a^3-3ab = 19 \\ 3ab+24a=6. \end{cases}$

Теперь складываем почленно оба уравнения и приходим к следующему уравнению:

$a^3+24a-25=0.$

Корень этого уравнения угадывается автоматически: $a=1$ . Других корней не будет, так как справа стоит возрастающая функция, поскольку она является суммой возрастающих функций, поэтому нулевое значение она может принимать только при каком-то одном значении $a$ .

Итак, $a=1$ , значит $b = -6$ . Возвращаясь к исходным переменным, получаем следующую систему:

$\begin{cases} x+y = 1 \\ xy=-6. \end{cases}$

В результате приходим к окончательному ответу: $(-2;3)$ и $(3;-2)$ .

3. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку с координатами $(1;3)$ , касающейся графика функции $y=8\sqrt{x}-7$ и пересекающей в двух различных точках график функции $y=x^2+4x-1$ .

В общем виде уравнение прямой может быть записано следующим образом: $y=kx+b$ . Известно, что эта прямая проходит через точку $(1;3)$ , то есть имеет место равенство:

(1) $\begin{equation*} 3=k+b. \end{equation*}$

Кроме того, прямая касается графика функции $y=8\sqrt{x}-7$ . Значит уравнение

$8\sqrt{x}-7 = kx+b$

должно иметь ровно один корень. Введём замену $t=\sqrt{x}\geqslant 0$ . Тогда последнее условие эквивалентно тому, что дискриминант квадратного уравнения

(2) $\begin{equation*} kt^2-8t+7+b =0 \end{equation*}$

равен нулю, и корень $t$ при этом неотрицателен. То есть получаем:

$D=64-4k(7+b) = 0\Leftrightarrow 16-7k-kb=0.$

Таким образом с учётом уравнения (1) приходим к следующей системе:

$\begin{cases} k+b = 3 \\ 16-7k-kb=0. \end{cases}$

Решая эту систему методом подстановки, получаем следующие результаты: ( $k=2$ и $b=1$ ) или ( $k=8$ и $b=-5$ ). При $k=2$ и $b=1$ уравнение (2) имеет один неотрицательный корень $x=2$ . При $k=8$ и $b=-5$ уравнение (2) имеет один неотрицательный корень $x=\frac{1}{2}$ .

То есть из двух прямых $y=2x+1$ и $y=8x-5$ нужно выбрать такую, которая пересекает график функции $y=x^2+4x-1$ в двух различных точках.

Решаем сперва уравнение:

$2x+1 = x^2+4x-1\Leftrightarrow -x^2-2x+2=0.$

Дискриминант последнего уравнения положителен. Значит, оно имеет два различных корня. Этот случай нам подходит.

Решаем теперь уравнение:

$8x-5 = x^2+4x-1\Leftrightarrow -x^2+4x-4 = 0.$

Дискриминант этого уравнения равен нулю. Значит, решение в этом случае будет одно. Этот случай нам не подходит.

Ответ: $y=2x+1$ .

Примечание. Для наглядности изобразим ситуацию на графике, хотя делать это необязательно, поскольку в задании этого не требуют:

4. Хорда окружности, удалённая от центра на расстояние 15, разбивает окружность на два сегмента, в каждый из которых вписан квадрат. Найдите разность сторон этих квадратов.

Пусть радиус окружности равен $R$ . Рассмотрим прямоугольные треугольники OMR и ODP. С учётом введённых на рисунке обозначений распишем теорему Пифагора для этих треугольников:

$\begin{cases} x^2 = R^2-(2x+15)^2 \\ y^2 = R^2 - (2y-15)^2. \end{cases}$

Вычтем почленно второе уравнение из первого:

$y^2-x^2 = (2x+15)^2-(2y-15)^2.$

Преобразуем полученное выражение, используя формулу «разность квадратов»:

$(y-x)(y+x) = 4(x-y+15)(x+y).$

Поделим обе части этого уравнения на $x+y\ne 0$ и обозначит разность $y-x$ за $t$ . В результате приходим к следующему уравнению:

$t = 4(15-t)\Leftrightarrow t=12.$

Искомая разность сторон квадратов в наших обозначениях будет равна $2t=24$ .

Ответ: 24.

5. Решите неравенство

$\log_4\left(5-3^x\right)\cdot\log_2\left(\frac{5-3^x}{8}\right)\geqslant -1.$

Введём замену: $t=5-3^x>0$ . Тогда неравенство принимает вид:

$\log_{2^2} t\cdot\log_2\left(\frac{t}{8}\right)\geqslant -1.$

Теперь, используя стандартные свойства логарифмов, представим логарифмическое выражение слева от знака неравенства следующим образом:

$\frac{1}{2}\log_2 t\left(\log_2 t - 3\right)\geqslant -1.$

Введём ещё одну замену: $z=\log_2 t$ . Тогда после умножения обеих частей неравенства на положительное число $2$ неравенство принимает вид:

$z^2-3z+2\geqslant 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z\leqslant 1\\ z\geqslant 2. \end{array}$

Последовательно возвращаемся к исходной переменной $x$ :

$\left[ \begin{array}{l} \log_2 t\leqslant 1\\ \log_2 t\geqslant 2. \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0< t\leqslant 2\\ t\geqslant 4. \end{array}\Leftrightarrow$

$\left[ \begin{array}{l} 0< 5-3^x\leqslant 2\\ 5-3^x\geqslant 4. \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3\leqslant 3^x < 5\\ 3^x\leqslant 1. \end{array}$

Окончательно получаем следующий ответ: $x\in(-\mathcal{1};0]\cup[1;\log_3 5).$

6. В две бочки были налиты растворы соли, причём в первую бочку было налито 16 кг, а во вторую — 25 кг. Оба раствора разбавили водой так, что процентное содержание соли уменьшилось в $k$ раз в первой бочке и в $m$ раз во второй. О числах $k$ и $m$ известно, что $km = k+m+3$ . Найдите наименьшее количество воды, которое могло быть долито в обе бочки вместе.

Пусть в первую бочку долили $x$ кг воды, а во вторую — $y$ кг. Пусть в первой бочке находится $a$ кг, а во второй $b$ кг соли.

Тогда изначально в первой бочке процентное содержание соли составляло:

$\frac{a}{16}\times 100\%,$

а после доливания воды оно стало равно:

$\frac{a}{x+16}\times 100\%.$

Аналогично, во второй бочке изначально процентное содержание соли составляло:

$\frac{b}{25}\times 100\%,$

а после доливания воды оно стало равно:

$\frac{b}{y+25}\times 100\%.$

Тогда справедливы равенства:

(3) $\begin{equation*} \frac{a}{16}:\frac{a}{x+16}=\frac{x+16}{16}=1+\frac{x}{16} = k \end{equation*}$

(4) $\begin{equation*} \frac{b}{25}:\frac{b}{y+25}=\frac{y+25}{25} = 1+\frac{y}{25} = m. \end{equation*}$

Из уравнения (3) выражаем $x=16(k-1)$ , из уравнения (4) выражаем $y=25(m-1)$ , а из уравнения $km = k+m+3$ выражаем $k=\frac{m+3}{m-1}$ . Мы ищем минимальное значение суммы $x+y$ . Проще всего найти его, используя неравенство Коши:

$x+y\geqslant 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{16(k-1)\cdot 25(m-1)} =$

$=40\sqrt{\left(\frac{m+3}{m-1}-1\right)(m-1)}=$

$= 40\sqrt{m+3-m+1} = 80.$

Итак, наименьшее количество воды, которое могло быть долито в обе бочки вместе равно 80 кг.

Этот случай реализуется при $16(k-1) = 25(m-1)$ , когда неравенство Коши преобразуется в равенство. То есть при $k = \dfrac{25}{16}m-\dfrac{9}{16}$ . Подставляя это в выражение $km = k+m+3$ , получаем после преобразований, что $m = \dfrac{13}{5}$ . Отрицательный корень мы в расчёт не берём.

Ответ: 80 кг.

7. Вершина прямого угла C прямоугольного треугольника ABC расположена на диаметре окружности, параллельном хорде AB. Найдите площадь треугольника ABC, если ∠BAC = 75°, а радиус окружности равен 10.

Выполним следующие дополнительные построения:

проведём высоту OD к хорде AB. Тогда D — середина AB, так как OD — высота и медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника AOB;
проведём отрезок CD. Он является медианой прямоугольного треугольника ACB, проведённой из вершины прямого угла. Значит, CD = AD = BD.

Переходим к решению:

сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Значит, ∠CBA = 15°;
так как CD = BD, то треугольник CDB — равнобедренный и ∠CBD = ∠DCB = 15°;
∠CBD = ∠BCO = 15°, поскольку они являются накрест лежащими при параллельных прямых и секущей. Значит, ∠DСO = 30°;
значит, в прямоугольном треугольнике COD против угла в 30° лежит катет OD, который равен половине гипотенузы CD. Пусть DO = x, а CD = AD = DB = 2x;
из теоремы Пифагора для треугольника ODB получаем, что $x^2+4x^2 = 100$ , то есть $x = 2\sqrt{5}$ ;
тогда искомая площадь треугольника ABC равна половине произведения его высоты, проведённой к стороне AB, которая по длине равна x, на основание AB, которое по длине равно 4x. То есть искомая площадь равна $S = 2x^2 = 40$ .

Ответ: 40.

8. Найдите все значения параметра $a$ , для каждого из которых неравенство

$2a-4+a(3-\sin^2x)^2+\cos^2x<0$

выполняется для всех значений $x$ .

Преобразуем данное неравенство, раскрыв в нём скобки и использовав основное тригонометрическое тождество. В результате после всех преобразований получаем следующее неравенство:

$a\sin^4 x-(6a+1)\sin^2x+11a-3<0.$

Ведём замену $\sin^2 x = t$ , причём $0\leqslant t\leqslant 1$ . Тогда получим следующее неравенство:

$a\sin^4 x-(6a+1)\sin^2x+11a-3<0.$

Задача свелась к тому, чтобы найти все значения параметра $a$ , при котором последнее неравенство выполняется при всех $t\in[0;1]$ .

Для решения этой задачи представим последнее неравенство в виде:

$a(t^2-6t+11) <t+3.$

Легко видеть, что $t^2-6t+11>0$ при любых значениях $t$ , так как дискриминант соответствующего квадратного уравнения отрицателен, и ветви соответствующей параболы направлены вверх. Поэтому мы можем разделить обе части последнего неравенства на положительное выражение $t^2-6t+11$ , при этом знак неравенства не поменяется:

(5) $\begin{equation*} a <\frac{t+3}{t^2-6t+11}. \end{equation*}$

Исследуем функцию $y=\dfrac{t+3}{t^2-6t+11}$ на возрастание. Для этого определим при каких значениях $t$ её производная положительна:

$y'=-\frac{t^2+6t-29}{(t^2-6t+11)^2}>0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow -3-\sqrt{38}<x<-3+\sqrt{38}.$

Так как $-3-\sqrt{38}<0$ , а $-3+\sqrt{38}>1$ , то на промежутке $t\in [0;1]$ данная функция возрастает. Поэтому неравенство (5) будет выполняться при любом $t\in [0;1]$ при условии, что $a<y(0)$ , то есть $a<\dfrac{3}{11}$ .

Ответ: $a\in\left(-\mathcal{1};\dfrac{3}{11}\right)$ .

Подготовка к вступительному экзамену по математике в МФТИ

Если вам требуется подготовка к вступительному экзамену по математике в МФТИ, обращайтесь к опытному профессиональному репетитору в Москве Сергею Валерьевичу. Возможны как очные, так и удаленный занятия через интернет с использованием интерактивной доски. Как показывает практика, в условиях ограниченности во времени именно занятия с репетитором обеспечивают наиболее эффективную подготовку к вступительным экзаменам. Подробную информацию о занятиях с репетитором вы можете найти на этой странице. Успехов вам в подготовке к экзаменам!

Метки: варианты вступительных экзаменов, МФТИ, подготовка к вступительным экзаменам с репетитором, решение задач по математике
Опубликовано в категории Методическая копилка | 8 комментариев »

Аня:

19.01.2018 в 19:42

Скажите, а в 5-м задании нельзя было log2(5-3^x) принять за t?
1. Сергей:
  
  20.01.2018 в 11:08
  
  Да, если преобразовать соответствующим образом неравенство. Но не уверен, что это было бы проще.
Екатерина:

16.07.2018 в 23:58

Задача с параметром гораздо сложнее, вы пропустили a перед скобкой
1. Сергей:
  
  17.07.2018 в 08:08
  
  Спасибо за это замечание. Действительно, упустил этот момент. Но задача и в этом случае не особенно сложна. Переписал решение.
Антон:

15.08.2019 в 19:57

8 задание.Объясните как из 6asin^2x+cos^2x получилось sin^2x(6a+1)+1?
1. Сергей Валерьевич:
  
  16.08.2019 в 08:23
  
  Там нигде такого не написано. То, что вы написали, не верно.
Алексей:

06.12.2020 в 20:18

Здравствуйте. Можете объяснить почему в 7 задании CD = AD = BD.
Андрей:

31.03.2021 в 11:31

по 4 задаче вопрос. Что будет если длина хорды будет меньше чем длина стороны квадрата вписанного в окружность такого радиуса? Квадрат внизу получится вписанным в окружность и длина его стороны при будет постоянной относительно радиуса (r/2корень(2)), а длина стороны верхнего будет различной в относительно от радиуса окр. т.к. зависит от длины хорды.
тогда разность из при разных радиусах будет разной

Вступительный по математике в МФТИ

Разбор вступительного экзамена по математике в МФТИ

Подготовка к вступительному экзамену по математике в МФТИ

Комментарии

Страницы

Понравился сайт?

Последние записи

Архив записей

Прочее