Лицей вторая школа. Вступительный по математике 2017 года

Суббота, 29 апреля, 2017

Ученики в классе готовятся к экзамену по математикеВ данной статье представлен разбор варианта вступительного письменного экзамена по математике в лицей №2 (лицей «Вторая школа») для поступающих в 9 класс, который проходил в 2017 года. Стоит отметить, что сложность предлагаемых заданий оказалась в этом году в целом несколько выше, нежели в предыдущие годы. По-видимому, абитуриентов с каждым годом становится всё больше, а потому требования к знаниям потенциальных учеников лицея выдвигаются всё более высокие. Попробуйте решить эти задачи самостоятельно. Если у вас получится, то вы готовы к поступлению в этот лицей. Если нет — не расстраивайтесь. Всему можно научиться. Например, на занятиях с профессиональным репетитором для поступления в лицей «Вторая школа».

1. Найдите наименьшее общее кратное трёх чисел: 2235, 2334; 3253.

Так как все числа уже разложены на простые сомножители, то для нахождения наименьшего общего кратного необходимо выбрать каждый из этих сомножителей в максимальной степени среди тех, что представлены в данных числах. В результате получится следующее число: 233553 = 243000.

2. Сократите дробь:

    \[ \frac{\left(12x^2\right)^4}{4^2\left(18x^3\right)^3}. \]

Используя стандартные правила умножения и деления степеней, а также возведения степени в степень, получаем следующий результат:

    \[ \frac{\left(2^2\cdot 3x^2\right)^4}{\left(2^2\right)^2\left(3^2\cdot 2x^3\right)^3}=\frac{2^8\cdot 3^4\cdot x^8}{2^4\cdot 3^6\cdot 2^3\cdot x^9}=\frac{2}{9x}. \]

3. Разложите на два сомножителя: c^2+2c6b-9b^2.

Используя известные формулы сокращённого умножения, можно преобразовать исходное выражение к требуемому виду следующим образом:

    \[ c^2+2c6b-9b^2 = 5c^2-4c^2+2\cdot 2c\cdot 3b-9b^2 = \]

    \[ =5c^2-(4c^2-2\cdot 2c\cdot 3b+9b^2) = 5c^2-(2c-3b)^2 = \]

    \[ =(\sqrt{5}c-2c+3b)(\sqrt{5}c+2c-3b). \]

4. Дано \frac{a}{b}=\frac{4}{3}. Найдите \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}.

Подобные задания часто встречаются в вариантах вступительных по математике в лицей лицей «Вторая школа». Для того, чтобы его решить, вынесем в числителе и знаменателе за скобки b^2. В результате получаем:

    \[ \frac{b^2\left(\frac{a^2}{b^2}-1\right)}{b^2\left(\frac{a^2}{b^2}+1\right)} = \frac{\left(\frac{a}{b}\right)^2-1}{\left(\frac{a}{b}\right)^2+1} = \frac{\left(\frac{4}{3}\right)^2-1}{\left(\frac{4}{3}\right)^2+1} = \frac{7}{9}\cdot\frac{9}{25}=\frac{7}{25}. \]

5. Решите уравнение:

    \[ (x-1)x(x+1)(x+2)=x^4-1. \]

Конечно же вариант письменного экзамена по математике в лицей №2 не мог не содержать задания, в котором требуется решить уравнение. Для решения данного уравнения разложим правую часть на множители, используя формулу разность квадратов:

    \[ (x-1)x(x+1)(x+2) = (x^2-1)(x^2+1). \]

Применим эту формулу ещё раз для выражения, стоящего в первых скобках справа от знака равенства:

    \[ (x-1)x(x+1)(x+2) = (x-1)(x+1)(x^2+1). \]

Перенесём всё в левую сторону равенства, изменив при этом знак на противоположный:

    \[ (x-1)x(x+1)(x+2) - (x-1)(x+1)(x^2+1) = 0. \]

Теперь вынесем общие множители за скобки:

    \[ (x-1)(x+1)(x(x+2)-(x^2+1))=0. \]

После упрощения получаем окончательно:

    \[ (x-1)(x+1)(2x-1)=0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. То есть получаем три корня x_1=1, x_2=-1 и x_3=\frac{1}{2}.

6. Найдите все значения x и y, удовлетворяющие уравнению:

    \[ x^2+8xy+25y^2=6y-1. \]

Данное уравнение содержит два неизвестных: x и y. Общего алгоритма для решения всех таких уравнений, к сожалению, не существует. Однако, иногда удаётся использовать какие-то частные приёмы, которые позволяют такие задания решать. Как репетитор по математике, на своих занятиях я как раз и занимаюсь тем, что обучаю своих учеников этим приёмам.

Вот что мы сделаем с данным уравнением. Перенесем все слагаемые в одну сторону и представим исходное уравнение в следующем виде:

    \[ x^2+8yx+25y^2-6y+1=0. \]

Данное уравнение можно рассматривать как квадратное относительно переменной x. Тогда соответствующие коэффициенты равны a=1, b=8y и c=25y^2-6y+1. Дискриминант такого уравнения равен:

    \[ D = b^2-4ac = 64y^2-4(25y^2-6y+1) = \]

    \[ -36y^2+24y-4 = -4(9y^2-6y+1) = -4(3y-1)^2. \]

Если посмотреть на полученное выражение, то оно всегда неположительно. При всех отрицательных значениях у исходного уравнения корней не будет. Корень будет единственным при D=0, то есть при -4(3y-1)^2=0. Из последнего уравнения получаем, что y=\frac{1}{3}.

Теперь можно найти сам корень:

    \[ x=-\frac{b}{2a} = -\frac{8y}{2} = -\frac{8\cdot \frac{1}{3}}{2} = -\frac{4}{3}. \]

То есть получилась одна единственная пара чисел, удовлетворяющая этому уравнению: \left(-\frac{4}{3};\frac{1}{3}\left).

7. Плотность сплава 8 г/см3. Каков объём тонны сплава?

Используем то, что 1 т = 1000 кг, 1 г = 10-3 кг, 1 см3 = 10-6 м3. Тогда плотность равна: 8 г/см3 = 8×10-3 кг/см3 = 8×10-3×106 = 8000 кг/м3. Тогда объём тонны сплава равен: 1000 (кг) / 8000 (кг/м3) = 0.125 м3.

8. Из 10 кг молока, содержащего 4% жира, сделали 1 кг сливок, содержащих 22% жира. Сколько процентов жира содержит оставшееся (обезжиренное) молоко?

Содержание жира в 10 кг 4-процентного молока составляло 10×0,04 = 0,4 кг. Содержание жира в 1 кг 22-процентных сливок составляет 1×0,22 = 0,22 кг. Следовательно, из молока было изъято 0,18 кг жира. Поскольку масса полученных сливок составила 1 кг, то масса оставшегося обезжиренного молока равна 9 кг. Для ответа на вопрос осталось определить сколько процентов от 9 кг обезжиренного молока составляет 0,18 кг сливок: \frac{0,18}{9}\cdot 100\% = 2\%.

9. Решите уравнение:

    \[ |x+2|+|x-2|=4 \]

Рассмотрим три случая:

1) При x<-2 оба выражения, стоящие под знаком модуля, отрицательным. Поэтому в этом случае оба модуля нужно раскрывать со знаком минус. В результате получается следующее уравнение:

    \[ -(x+2)-(x-2)=4\Leftrightarrow -2x=4\Leftrightarrow x=-2. \]

Однако этот корень не подходит, так как он не удовлетворяет условию x<-2.

2) При -2\leqslant x\leqslant 2 выражение x+2 положительно или равно нулю, а выражение x-2 отрицательно или равно нулю. Поэтому первый модуль раскрывается со знаком плюс, а второй — со знаком минус. В результате получается следующее уравнение:

    \[ (x+2)-(x-2)=4\Leftrightarrow 4=4\Leftrightarrow x\in R. \]

Как видно, полученное равенство верно при любом значении x. Однако, мы берём только -2\leqslant x\leqslant 2.

3) При x>2 оба выражения, стоящие под знаком модуля, положительны. Поэтому оба модуля раскрываются со знаком плюс. В результате приходим к следующему выражению:

    \[ (x+2)+(x-2)=4\Leftrightarrow 2x=4\Leftrightarrow x=2. \]

Однако этот корень не подходит, так как он не удовлетворяет условию x>2.

Итак, окончательный ответ к заданию: x\in[-2;2].

Примечание. На самом деле этот ответ можно было бы получить, используя геометрический смысл модуля, который состоит в том, что выражение типа |a-b| представляет собой длину отрезка числовой прямой между точками a и b. Тогда задание можно переформулировать. Требуется найти такую точку x на числовой прямой, сумма расстояний от которой до точек 2 и -2 равна 4. Очевидно, что это любая точка между точками 2 и -2, а также сами эти точки.

Однако, практика показывает, что такое решение понимается школьниками хуже, чем то, что приведено выше. Тем не менее, как репетитор для подготовки в лицей «Вторая школа» к вступительному по математике, на своих занятиях я предлагаю различные варианты решения задач. После этого в беседе с учеником мы определяем, какое решение для него является более простым и понятным.

10. Пешеход вышел из пункта  A в 12.00 и пришел в пункт Б в 13.00. Велосипедист выехал из пункта  A в 12.10 и приехал в пункт Б в 12.45. Сколько было времени, когда велосипедист обогнал пешехода?

Пусть расстояние между пунктами A и B равно S м, скорость пешехода равна x м/мин, а скорость велосипедиста равна y м/мин. Поскольку пешеход дошёл из пункта A в пункт B (прошёл расстояние S) за 1 час (60 минут), двигаясь со скоростью x м/мин, то имеет место равенство: S = 60x. Отсюда получаем, что x = \frac{S}{60} Поскольку велосипедист преодолел расстояние из пункта A в пункт B (проехал расстояние S) за 35 минут, двигаясь со скоростью y м/мин, то имеет место равенство: S = 35y. Отсюда получаем, что y=\frac{S}{35}.

Через t минут после начала движения пешехода, когда велосипедист его догнал, оба преодолели одинаковое расстояние. При этом велосипедист двигался на 10 минут меньше, чем пешеход, то есть t-10 минут. То есть имеет место равенство: xt=y(t-10). С учётом полученных ранее формул получаем следующее уравнение:

    \[ t\frac{S}{60}=(t-10)\frac{S}{35}\Rightarrow \frac{t}{60} = \frac{t-10}{35}. \]

Используем правило пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних). В результате получаем следующее выражение:

    \[ 35t=60(t-10)\Rightarrow 25t=600\Rightarrow t= 24. \]

Итак, через 24 минуты после начала движения пешехода, велосипедист его догнал. На часах в этот момент было 12:24.

11. Запишите уравнение прямой, график которой проходит через точку А(100;45) и параллелен прямой = 0,4x+50.

За наклон прямой, как известно, отвечает коэффициент при переменной x. Поскольку искомая прямая параллельна прямой = 0,4x+50, то её уравнение может быть записано в виде = 0,4x+b. Осталось найти, чему равен коэффициент b. Поскольку искомая прямая проходит через точку A, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению этой прямой. Поэтому умеет место равенство:

    \[ 0,4\cdot 100 + b = 45\Rightarrow b = 5. \]

Итак, искомое уравнение прямой имеет вид = 0,4x+5.

12. Какие значения может принимать y, если y=\frac{1-6x}{5-2x}, где x — любое число, кроме 5 и 2,5?

Чтобы понять, как решается эта задача, нужно сперва понять, что за функция перед нами, и как выглядит её график. И на самом деле, если присмотреться, то можно увидеть, что перед нами типичная обратная пропорциональность. Графиком этой функции является гипербола, просто она смещена относительно нуля координат.

Чтобы это понять, поработаем с представленным выражением:

    \[ y=\frac{1-6x}{5-2x} = \frac{15-6x-14}{5-2x} = \frac{3(5-2x)-14}{5-2x} = \]

    \[ =3-\frac{14}{5-2x} = 3+\frac{14}{2\left(x-\frac{5}{2}\right)} = 3+\frac{7}{x-\frac{5}{2}} . \]

Вот теперь как раз видно, что график данной функции получается из графика функции y=\frac{7}{x} путём его переноса на 3 единичных отрезка вверх и \frac{5}{2} единичных отрезков вправо. У него будет горизонтальная асимптота y=3 и вертикальная асимптота x=\frac{5}{2}. Точка x=\frac{5}{2} по условию функции не принадлежит. Также по условию мы также должны исключить из этого графика точку с абсциссой 5. Ордината этой точки будет равна \frac{29}{5}. То есть вот как выгладит этот график:

Сдвинута гипербола из задания 12 вступительного экзамена в лицей вторая школа за 2017 год

Теперь видно, что область значений нашего исходного выражения задаётся следующим множеством:

x\in(-\mathcal{1};3)\cup\left(3;\frac{29}{5}\right)\cup\left(\frac{29}{5};+\mathcal{1}\rihgt).

13. При каком значении x значение выражения (x-5,1)(x-3,3) будет наименьшим?

Если рассмотреть квадратичную функцию y=(x-5,1)(x-3,3), то её графиком будет парабола, ветви которой направлены вверх. При этом эта парабола пересекает ось OX в двух точках: x1=5,1 и x2=3,3.  В силу симметрии параболы абсцисса её вершины находится ровно посередине между этими точками, то есть xв = (5,1+3,3)/2 = 4,2. Значение функции в этой точке будет являться наименьшим значением выражения (x — 5,1)(x — 3,3).

Ради интереса найдём это значение. После подстановки получаем:

(4,2 - 5,1)(4,2 - 3,3) = -0,81.

14. При каких значениях x имеет смысл выражение \sqrt{5x-6-x^2}?

Вспоминаем, что под знаком арифметического квадратного корня не могут находиться отрицательные числа. Стало быть область допустимых значений записанного выражения определяется неравенством:

    \[ 5x-6-x^2 \geqslant 0. \]

Это стандартное квадратное неравенство. Решим его. Для этого находим сперва корни соответствующего квадратного уравнения:

    \[ 5x-6-x^2 = 0\Rightarrow x^2-5x+6=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x_1 = 2 \\ x_2 = 3. \end{array} \]

Отмечаем полученные точки на координатной прямой и определяем знаки выражения, которое приравнивали к нулю, на полученных промежутках. С учётом того, что ветви соответствующей параболы направлены вниз, знаки получаются следующие:

Знаки квадратичной функции на промежутках, образованных её корнями
Обе отмеченные точки являются закрашенными, поскольку исходное неравенство является нестрогим. Нас интересует промежуток, в котором функция положительна. Поэтому ответ к данному заданию: x\in[2;3].

15. Решите неравенство:

    \[ \frac{1}{2x+1}\geqslant 3. \]

Сперва преобразуем данное неравенство:

    \[ \frac{1}{2x+1}-3\geqslant 0\Rightarrow \frac{1-3(2x+1)}{2x+1}\geqslant 0 \]

    \[ \frac{-6x-2}{2x+1}\geqslant 0\Rightarrow \frac{-2(3x+1)}{2x+1}\geqslant 0. \]

Для удобства разделим обе части неравенства на -2. При этом знак неравенства нужно поменять с «больше или равно» на «меньше или равно»:

    \[ \frac{3x+1}{2x+1}\leqslant 0. \]

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Выражение, стоящее слева от знака неравенства, равно нулю, когда числитель равен нулю, то есть при x=-\frac{1}{3}, а знаменатель не равен нулю, то есть при x\ne -\frac{1}{2}. Отмечаем эти точки на числовой прямой. Первая точка будет закрашенной, потому что это нестрогое неравенство. Вторая — выколотой, потому что она не входит в область допустимых значений выражения. Далее определяем знаки выражения на полученных промежутках. Для этого подставляем какие-нибудь значения из каждого промежутка в выражение, которое приравнивали к нулю. В результате получаем следующие знаки:

Решение дробно-рационального неравенства методом интервалов

Нас интересует промежуток, на котором наше выражение принимается неположительные значения. То есть ответ к заданию: x\in\left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{3}\right].

16. Докажите, что

    \[ \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leqslant \frac{a^2+b^2}{2}. \]

Перенесём правую часть неравенства в левую, поменяв при этом знак:

    \[ \frac{(a+b)^2}{4}-\frac{a^2+b^2}{2}\leqslant 0. \]

Приведём дроби к общему знаменателю и раскроем скобки в числителе первой дроби:

    \[ \frac{a^2+2ab+b^2-2(a^2+b^2)}{4}\leqslant 0. \]

Вновь раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые. В результате приходим к следующему выражению:

    \[ \frac{-a^2+2ab-b^2}{4}\leqslant 0. \]

Вынесем в числителе минус за скобки:

    \[ \frac{-(a^2-2ab+b^2)}{4}\leqslant 0. \]

Выражение в скобках можно представить как квадрат разности, используя известную формулу сокращенного умножения:

    \[ \frac{-(a-b)^2}{4}\leqslant 0\Rightarrow -(a-b)^2\leqslant 0. \]

Ну и теперь видно, что данное неравенство выполняется при любых значениях a и b. Действительно, (a-b)^2\geqslant 0 при любых значениях a и b, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным. Поэтому -(a-b)^2\leqslant 0, так как при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число -1 нужно поменять знак с \geqslant на \leqslant. Что и требовалось доказать.

17. В квадрате ABCD сторона равна 1. Точки E и F – середины сторон BC и CD. M и N – точки пересечения отрезков AE и AF с диагональю BD. Найдите длину отрезка MN.

Единичный квадрат из последнего задания вступительного экзамена в лицей "Вторая школа" в 2017 году

1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABD находим диагональ квадрата BD:

    \[ BD=\sqrt{AB^2+AD^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}. \]

2. FE — средняя линия треугольника DCB, поэтому длина FE равна половине основания BD в этом треугольнике. Следовательно, FE = \frac{\sqrt{2}}{2}.

3. Треугольник DFN подобен треугольнику ANB по двум углам (угол ANB равен углу DNF, так как они вертикальные, а угол DFN равен углу NAB так как они накрест лежащие при параллельных прямых DC, AB и секущей AF).

4. Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению DF:AB. При этом AB = DC, так как у квадрата все стороны равны. То есть коэффициент подобия равен DF:DC = 0,5. Из этого следует, что AN:NF = 2:1. То есть AN:AF = 2:3.

5. Аналогично, из подобия треугольников EMB и AMD следует, что AM:AE = 2:3.

6. Треугольник ANM подобен треугольнику AFE по углу FAE, который является общим для обоих треугольников, и сходственным сторонам: AN:AFAM:AE = 2:3. Следовательно имеет место соотношение:

    \[ MN = \frac{2}{3}FE = \frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{3}. \]

Это ответ. Безусловно, возможны и другие варианты решения этого задания. Если у вас есть более интересные решения, пишите их в комментариях.

В этой статье мы разобрали один из вариантов, предлагавшихся абитуриентам лицея «Вторая школа» в качестве вступительного по математике в 2017 году. Если вы без проблем смогли решить все задания самостоятельно без ошибок с первого раза, то вы вполне готовы к поступлению в этот лицей. Если же эти задания вызвали серьёзные затруднения, то вы всегда можете обратиться к помощи профессионального репетитора, который поможет вам разобраться в хитросплетениях математики и подготовиться к вступительному в лицей №2. Удачи!

Добавить комментарий