Вступительное испытание по математике в МГИМО

Среда, Август 16, 2017

Задний фасад здания МГИМО

В статье представлен разбор демонстрационного варианта вступительного испытания по математике в МГИМО для лиц, имеющих право сдавать экзамены в традиционной форме (не в формате ЕГЭ).  Все решения выполнены профессиональным репетитором по математике и физике, который занимается подготовкой абитуриентов к вступительному экзамену по математике в МГИМО МИД России.

Разбор первой части вступительного испытания по математике в МГИМО

1. Шариковая ручка стоит 30 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 500 рублей после повышения цены на 20%?

После повышения цены на 20% ручка станет стоить 30×1,2 = 36 рублей. При делении 500 на 36 получаем неполное частное 13 и остаток 32. Значит, наибольшее количество ручек, которое можно будет купить после повышения цены, равно 13.

2. Упростите выражение

    \[ \frac{ab}{a+b}\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right) \]

и найдите его значение при a=\sqrt{3}-1, b=\sqrt{3}+1.

Для a\ne 0, b\ne 0 и a+b\ne 0 упрощаем выражение, используя стандартные приёмы преобразования выражений:

    \[ \frac{ab}{a+b}\cdot\frac{a^2-b^2}{ab} = \frac{(a+b)(a-b)}{a+b} = a-b. \]

При a=\sqrt{3}-1 и b=\sqrt{3}+1 значение полученного выражения равно -2.

3. Какова вероятность того, что при трёх подбрасываниях симметричной монеты герб выпадет ровно два раза?

Число всевозможных исходов равно 2^3 = 8.

Действительно, пусть Г — «герб», Р — «решка». Тогда всевозможные исходы таковы:

ГГГ РГГ ГРГ ГГР РРГ РГР ГРР РРР

Число благоприятных исходов равно 3.

Действительно, благоприятные исходы таковы:

ГГР ГРГ РГГ

Значит, искомая вероятность равна \frac{3}{8}=0.375.

4. Найдите значение выражения

    \[ \log_{5\sqrt[3]{5}}{25\sqrt{5}}. \]

Преобразуем данный логарифм, используя стандартные приёмы преобразования логарифмических выражений:

    \[ \log_{5^{\frac{4}{3}}}{5^{\frac{5}{2}}} = \frac{5}{2}\cdot\frac{3}{4}\log_5{5} = \frac{15}{8}. \]

5. В треугольнике ABC угол C равен 90°, \sin A = \frac{3}{8}, AC = 2\sqrt{55}. Найдите AB.

Отметим сразу, что углы A и B — острые, так как прямоугольный треугольник не может быть тупоугольным. Тогда, используя основное тригонометрическое тожество, можно найти \cos A = \frac{\sqrt{55}}{8}. С другой стороны, \cos A = \frac{AC}{AB}. Из последнего получаем AB = 16.

6. Найдите корень уравнения

    \[ \left(\frac{1}{3}\right)^{x-8}=\frac{1}{9}. \]

Перепишем исходное уравнение в виде:

    \[ \left(\frac{1}{3}\right)^{x-8}=\left(\frac{1}{3}\right)^2. \]

Теперь видно, что исходное уравнение равносильно уравнению x-8=2, откуда получаем, что x = 10.

7. Дана арифметическая прогрессия: -2,9; -2,6; … Укажите наименьший по абсолютной величине член арифметической прогрессии.

Если все члены расположить на числовой прямой, то наименьший по абсолютной величине (по модулю) член арифметической прогрессии будет находиться ближе остальных к нулю или совпадать с ним. Ищем порядковый номер этого члена. С учётом того, что первый член a_1=-2.9, а разность этой прогрессии d=0.3, записываем выражение для n-ого члена данной прогрессии и приравниваем его к нулю:

    \[ a_n=-2.9+0.3(n-1) = \]

    \[ =-3.2+0.3n = 0\Leftrightarrow n = 10\frac{2}{3}. \]

Поскольку n — целое число, округляем полученный результат до ближайшего целого, то есть до 11. Соответствующий член прогрессии a_{11}=-2.9+0.3\cdot (11-1)=0.1.

8. На рисунке изображён график функции y = f(x).

Криволинейная трапеция, образованная дугой параболы и осью абсцисс

Функция

    \[ F(x) = -\frac{1}{15}x^3+\frac{6}{5}x^2-\frac{27}{5}x-\frac{1}{10} \]

является одной из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь закрашенной фигуры определяется по формуле:

    \[ S=\int_{3}^{9}f(x)dx = F(9)-F(3) = \]

    \[ =-\frac{1}{15}\cdot 9^3+\frac{6}{5}\cdot 9^2-\frac{27}{5}\cdot 9-\frac{1}{10} - \]

    \[ -\left(-\frac{1}{15}\cdot 3^3+\frac{6}{5}\cdot 3^2-\frac{27}{5}\cdot 3-\frac{1}{10}\right) = \frac{36}{5}. \]

Решение заданий второй части вступительного испытания по математике в МГИМО

1. Дано: \cos\beta=0.8 и \frac{3\pi}{2}<\beta<2\pi. Найдите \sin\beta.

Используя основное тригонометрическое тождество, находим, что

    \[ \sin^2\beta=1-\sin^2\beta = 0.36. \]

Так как по условию угол \beta принадлежит четвёртой координатной четверти, то его синус отрицателен. То есть \sin\beta=-0.6.

2. От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним со скоростью на 1 км/ч большей отправился второй. Расстояние между пристанями равно 182 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость первого теплохода x км/ч. Тогда скорость второго теплохода составляет x+1 км/ч. Тогда время движения первого теплохода равно \frac{182}{x} ч, а второго — \frac{182}{x+1} ч. Поскольку оба теплохода прибыли в пункт B одновременно, то время движения второго теплохода на 1 ч меньше, чем у второго. То есть имеет место следующее равенство:

    \[ \frac{182}{x}-\frac{182}{x+1}=1. \]

Так как 182 = 14×13, то первая дробь равна 14, а вторая, соответственно, 13. Это значит, что скорость первого теплохода x=13 км/ч.

3. Найдите наибольшее значение функции y=\frac{2014}{\pi}x+4 на отрезке \leff[-\frac{5\pi}{6};0].

Данная линейная функция является возрастающей, так как \frac{2014}{\pi}>0, поэтому она принимает наибольшее значение па правой границе указанного отрезка. Итак, наибольшее значение этой функции на отрезке равно:

    \[ y_{max}=y(0)=4. \]

4. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h=5t^2, где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,4 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

Расстояние до воды до дождя составляло h_1=5\cdot 1.4^2=9.8 м. После дождя время полета камешка уменьшится до 1.2 с, поэтому расстояние до воды станет равно h_2=5\cdot 1.2^2=7.2 м. То есть уровень воды должен подняться на \Delta h=h_1-h_2=2.6 м.

5. Решить неравенство

    \[ \log_{\frac{a^2+2015}{a^2+2016}}(3x-5)\geqslant\log_{\frac{a^2+2015}{a^2+2016}}(x+8). \]

Обращаем сразу внимание, что

    \[ 0<\frac{a^2+2015}{a^2+2016}<1, \]

так как числитель и знаменатель этой дроби положительны, при этом числитель всегда меньше знаменателя. Учитывая это, исходное неравенство можно заменить следующей эквивалентной системой неравенств:

    \[ \begin{cases} 3x-5>0 \\ 3x-5\leqslant x+8. \end{cases} \]

Первое неравенство в системе задаёт область допустимых значений первого логарифма. При этом избыточно записывать также неравенство, задающее область допустимых значений второго логарифма, ибо оно выполняется автоматически из-за второго неравенства. Второе же неравенство получается в силу того, что основания логарифмов одинаковы и находятся в интервале от 0 до 1.

Решение системы дает ответ x\in\left(\frac{5}{3};\frac{13}{2}\right].

6. Решите уравнение

    \[ \left(2\sin^2x-7\sin x+3\right)\log_{14}(-\cos x)=0. \]

Область допустимых значений данного уравнения задаётся неравенством -\cos x>0.

То есть подходят только x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\, n\in Z.

В области допустимых значений это уравнение эквивалентно следующим двум уравнениям:

1. Во-первых, когда нулю равен логарифм:

    \[ -\cos x = 1\Leftrightarrow x=\pi+2\pi n,\, n\in Z. \]

2. Во-вторых, когда нулю равно выражение, стоящее в первых скобках:

    \[ 2\sin^2x-7\sin x+3 = 0. \]

Это уравнение решается подстановкой \sin x = t. Тогда уравнение 2t^2-7t+3=0 имеет корни t_1=\frac{1}{2} и t_2 = 3. Второй корень сразу отбрасываем, поскольку синус не может принимать значений, которые больше единицы. Итак, справедливо равенство:

    \[ \sin x = \frac{1}{2}\Leftrightarrow x = (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\, n\in Z. \]

Однако, в область допустимых значений входят только значения x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\, n\in Z.

Окончательный ответ: \pi+2\pi n,\, \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\, n\in Z.

7. Сколько целых чисел содержится в множестве значений функции

    \[ y=2\cos^2 x+\cos x-2. \]

Введём замену \cos x =t, при этом -1\leqslant t\leqslant 1. Тогда функция принимает вид y=2t^2+t-2. Выделим в этой функции полный квадрат:

    \[ y= 2\left(t^2+\frac{1}{2}t-1\right)=2\left(t^2+\frac{1}{2}t+\frac{1}{16}-\frac{17}{16}\right)= \]

    \[ =2\left(\left(t+\frac{1}{4}\right)^2-\frac{17}{16}\right)=2\left(t+\frac{1}{4}\right)^2-\frac{17}{8}. \]

Теперь видно, что поскольку -1\leqslant t\leqslant 1, то y\left(-\frac{1}{4}\right)\leqslant y\leqslant y(1), то есть -\frac{17}{8}\leqslant y\leqslant 1. В этот промежуток входит 4 целых числа: -2; -1; 0; 1.

8. При каких значениях параметра a уравнение

    \[ 25^{x+0.5}-(5a+2)\cdot 10^x+a\cdot 4^{x+0.5}=0 \]

имеет ровно два различных корня?

Упростим данное уравнение, представив его в следующем виде:

    \[ 5\cdot 5^{2x}-(5a+2)\cdot 2^x\cdot 5^x+2a\cdot 2^{2x}=0. \]

Разделим обе части этого уравнения на 2^{2x}\ne 0:

    \[ 5\cdot \left(\frac{5}{2}\right)^{2x}-(5a+2)\cdot \left(\frac{5}{2}\right)^x+2a=0. \]

Теперь введём замену t=\left(\frac{5}{2}\right)^{x}>0. Тогда уравнение принимает вид:

    \[ 5t^2-(5a+2)t+2a=0. \]

Это квадратное уравнение относительно переменной t. Рассмотрим все возможные случаи, когда данное уравнение имеет равно два различных положительных корня. В силу того, что функция y=\left(\frac{5}{2}\right)^{x} является возрастающей и принимает только положительные значения, рассматриваемое условие будет эквивалентно тому, что исходное уравнение будет иметь при этом ровно два различных корня.

Итак, соответствующая парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при t^2 положителен), должна пересекать ось абсцисс в двух точках, находящихся правее нуля. То есть у уравнения должно быть два корня (его дискриминант положителен), точка пересечения этой параболы с осью ординат должна лежать выше начала координат (свободный член положителен), и абсцисса вершины должна быть положительна. Данные условия задаются следующей системой неравенств:

    \[ \begin{cases} (5a+2)^2-40a>0 \\ 2a>0 \\ \frac{5a+2}{10}>0. \end{cases} \]

Решением данной системы является следующий промежуток:

x\in\left(0;\frac{2}{5}\right)\cup\left(\frac{2}{5};+\mathcal{1}\right).

Подготовка к вступительному испытанию по математике в МГИМО

Если у вас остались вопросы по представленным решениям, вы можете задать их в комментариях. Если же вам требуется подготовка к вступительному испытанию по математике в МГИМО, обращайтесь к профессиональному репетитору в Москве Сергею Валерьевичу, занимающемуся подготовкой абитуриентов к сдаче этого экзамена. Возможны очные или дистанционные занятия (через интернет).

Добавить комментарий