Вступительный экзамен в лицей «Вторая школа»

Воскресенье, 5 июня, 2016

Вступительный экзамен в лицей "Вторая школа"Физико-математический лицей «Вторая школа» — это достаточно сильное образовательное учреждение г. Москвы. Поток желающих обучаться в этом лицее традиционно очень высок. Но поступить в него удаётся далеко не каждому абитуриенту, поскольку для этого требуется сдать вступительные экзамены. На сайте учебного заведения приведены примеры заданий вступительного экзамена по математике для 10 класса (устной и письменной части). В данной статье предлагаю вашему вниманию разбор предложенных заданий. Оцените их сложность, чтобы узнать, насколько вы готовы к сдаче вступительного экзамена в Московскую физико-математическую школу №2 (Государственный лицей «Вторая школа»).

Задания письменной части вступительного экзамена в лицей «Вторая школа»

1. Упростите выражение:

    \[ \left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2}-\frac{a-4\sqrt{a}+2}{3\sqrt{a}-a-2}\right)\cdot \frac{1-a}{2-\sqrt{16a}}. \]

Введём замену x = \sqrt{a} и представим выражение в виде:

    \[ \left(\frac{x}{x-2}+\frac{x^2-4x+2}{(x-2)(x-1)}\right)\cdot\frac{(1-x)(1+x)}{2(1-2x)}. \]

Далее, используя стандартные правила преобразования выражений, получаем:

    \[ \frac{(x-2)(2x-1)}{(x-2)(x-3)}\cdot\frac{(x-1)(1+x)}{2(2x-1)} = \frac{1+x}{2}. \]

Итак, окончательный ответ: \frac{1}{2}\left(1+\sqrt{a}\right).

2. Решите неравенство:

    \[ (2-x)(2x^2-7x+24)>(2-x)(x^2+4x-6). \]

a) Заметим сразу, что для x=2 неравенство не выполняется.

б) Для x<2 оно равносильно следующему:

    \[ 2x^2-7x+24>x^2+4x-6\Leftrightarrow \]

    \[ x^2-11x+30>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 6 \\ x < 5. \end{array} \]

То есть с учётом условия x<2 в данном случае получаем: x\in(-\mathcal{1};2).

в) Для x>2 неравенство равносильно следующему:

    \[ 2x^2-7x+24<x^2+4x-6\Leftrightarrow \]

    \[ x^2-11x+30>0\Leftrightarrow 5<x<6. \]

То есть с учётом условия x>2 получаем в этом случае: x\in(5;6).

Итак, окончательно получаем: x\in(-\mathcal{1};2)\cup(5;6).

3. Решить уравнение:

    \[ \frac{3x^2-|2x+3|+2}{3|x|-1} = 0. \]

Область допустимых решений уравнения составляют все действительные числа, кроме тех, что удовлетворяют уравнению:

    \[ 3|x|-1 = 0\Leftrightarrow x = \pm\frac{1}{3}. \]

В области допустимых значений данное уравнение равносильно следующему:

    \[ 3x^2-|2x+3|+2 = 0. \]

а) Для x\geqslant -\frac{3}{2} получаем:

    \[ 3x^2-2x-1 = 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -\frac{1}{3} \\ x = 1 \end{array} \]

Оба значения входят в указанный промежуток. Однако, корень x = -\frac{1}{3} не входит в область допустимых значений исходного уравнения.

б) Для x<-\frac{3}{2} получаем:

    \[ 3x^2+2x+5 = 0. \]

У последнего уравнения решений нет, поскольку его дискриминант отрицателен.

Итак, x = 1.

4. Решить графически систему уравнений:

    \[ \begin{cases} xy = 4 \\ y^2 = x+2. \end{cases} \]

Геометрическим местом точек, удовлетворяющих условию xy = 4, является гипербола. Геометрическим местом точек, удовлетворяющих условию y^2=x+2, — парабола с вершиной в точке (-2;0) и ветвями, направленными вправо. Изобразим их на одном координатном поле:

Графическое решение задачи из вступительного экзамена в лицей "Вторая школа"

Видно, что решением предложенной системы уравнений является пара (2;2).

5. Найдите \cos\left(\frac{\pi}{4}-2\alpha\right)\cos\left(\frac{5\pi}{4}+2\alpha\right), если \cos2\alpha\sin\left(\frac{3\pi}{2}-2\alpha\right) = a.

а) Упростим первое выражение, воспользовавшись формулой преобразования произведения косинусов в сумму:

    \[ \cos\left(\frac{\pi}{4}-2\alpha\right)\cos\left(\frac{5\pi}{4}+2\alpha\right) = \]

    \[ =  \frac{1}{2}\left(\cos\frac{3\pi}{2}+\cos(\pi+4\alpha)\right) = -\frac{1}{2}\cos 4\alpha. \]

б) Второе выражение преобразуем, используя формулы приведения и понижения степени:

    \[ -\cos^22\alpha - \frac{-1-\cos 4\alpha}{2} = a\Leftrightarrow \cos 4\alpha = -2a-1. \]

в) Итак, окончательно получаем: -\frac{1}{2}(-2a-1)=a+\frac{1}{2}.

6. В геометрической прогрессии первый, третий и пятый члены равны соответственно первому, четвёртому и шестнадцатому члену некоторой арифметической прогрессии. Найти пятый член арифметической прогрессии, если первый её член равен 5.

Пусть разность арифметической прогрессии равна d, а знаменатель геометрической прогрессии равен q. Тогда первый, третий и пятый члены геометрической прогрессии, а также первый, четвёртый и шестнадцатый члены арифметической прогрессии будут равны соответственно:

    \[ \begin{array}{l} 5,\, 5q^2,\, 5q^4 \\ 5,\, 5+3d,\, 5+15d \end{array} \]

Тогда имеет место следующая система уравнений:

    \[ \begin{cases} 5q^2 = 5+3d \\ 5q^4 = 5+15 d \end{cases}\Rightarrow q^4-5q^2+4=0\Leftrightarrow \]

    \[ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} d = 0 \\ q^2 = 1 \end{cases}\\ \begin{cases} d = 5 \\ q^2 = 4 \end{cases} \end{array} \]

В первом тривиальном случае пятый член арифметической прогрессии равен её первому члену, то есть 5. Во втором случае пятый член арифметической прогрессии равен 25.

7. Из точки C окружности проведены две хорды CA и CB так, что \angle ACB=105^{\circ}, а дуга CB, не содержащая точки A, в четыре раза длиннее, чем дуга AC, не содержащая точки B. Найти площадь фигуры, ограниченной этими хордами и дугой AB, не содержащей точки C, если радиус круга равен R.

Rendered by QuickLaTeX.com

Искомая фигура состоит из трёх частей: треугольника ABC, треугольника ABO и сектора с вершиной O и дугой AB, не содержащей точки C. Найдём последовательно площади всех трёх фигур и сложим их, чтобы получить ответ.

а) Ищем площадь сектора. Вписанный угол ACB опирается на дугу AB, не содержащую точку C, градусная мера которой равна, соответственно, 2\angle ACB = 210^{\circ}. Центральный угол AOB, опирающийся на эту дугу также равен  210^{\circ}. Тогда искомая площадь сектора равна:

    \[ S_1 = \pi R^2\cdot {\frac{210^{\circ}}{360^{\circ}}} = \frac{7}{12}\pi R^2. \]

б) Ищем площадь треугольника AOB. Меньший угол AOB равен 150^{\circ}. Треугольник равнобедренный с боковым сторонами, которые равны радиусу окружности. Следовательно, его площадь равна:

    \[ S_2 = \frac{1}{2}R^2\sin 150^{\circ} = \frac{1}{4}R^2. \]

в) Ищем площадь треугольника ACB. По условию дуга CB, не содержащая точки A, в четыре раза длиннее, чем дуга AC, не содержащая точки B. Градусная мера полной окружности равна 360^{\circ}. Поэтому имеет место уравнение:

    \[ x+4x+210 = 360\Leftrightarrow x = 30. \]

Отсюда градусные меры малых дуг AC, CB и AB равны 30^{\circ}, 120^{\circ} и 150^{\circ} соответственно.

Ищем неизвестные углы треугольника ABC. Вписанный угол CAB опирается на дугу BC и равен половине её градусной меры, то есть 60^{\circ}. Аналогично, угол CBA равен 15^{\circ}.

Сторону AB находим из треугольника AOB по теореме косинусов:

    \[ AB = \sqrt{2R^2-2R^2\cos 150^{\circ}} = R\sqrt{2+\sqrt{3}}. \]

С помощью формулы понижения степени можно показать также, что:

    \[ \sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2},\, \cos 15^{\circ} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}. \]

Тогда из теоремы синусов для треугольника ABC получаем:

    \[ \frac{AB}{\sin 105^{\circ}} = \frac{AC}{\sin 15^{\circ}}\Leftrightarrow AC = AB\cdot\frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 15^{\circ}}. \]

В последнем преобразовании воспользовались формулой приведения:

    \[ \sin 105^{\circ} = \sin(90^{\circ}+15^{\circ}) = \cos 15^{\circ}. \]

То есть получаем:

    \[ AC = R\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}} = = R\sqrt{2-\sqrt{3}}. \]

То есть площадь треугольника ABC равна:

    \[ S_3 = \frac{1}{2} AC\cdot AB\sin 60^{\circ} = \]

    \[ =\frac{\sqrt{3}}{4}R^2\sqrt{2-\sqrt{3}}\sqrt{2+\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{3}}{4}R^2. \]

Тогда искомая площадь равна:

    \[ S = S_1+S_2+S_3 = \frac{(3+3\sqrt{3}+7\pi)R^2}{12}. \]

Примечание. Есть способ чуть более короткий и изящный, основанный на использовании формулы площади треугольника через радиус описанной окружности: S = \frac{abc}{4R}. Однако, здесь я сознательно его не использовал, поскольку далеко не все школьные учителя знакомят учеников на своих уроках с этой формулой.

Решение некоторых заданий устной части вступительного экзамена в лицей «Вторая школа»

1. Какое из чисел больше: \sqrt{2}+\sqrt{3} или \pi.

Из школьного курса математики известно, что \frac{22}{7}>\pi. Поэтому сравним сперва \sqrt{2}+\sqrt{3} и \frac{22}{7}.

Возводим обе части в квадрат и получаем: 5+2\sqrt{6} и \frac{484}{49}. Сравниваем тогда \sqrt{6} и \frac{1}{2}\left(\frac{484}{49}-5\right) = \frac{239}{98}.

Вновь возводим обе части в квадрат и получаем: 6 и \frac{57121}{9604} = 5\frac{9101}{9604}. То есть \sqrt{2}+\sqrt{3}>\frac{22}{7}, а значит и \sqrt{2}+\sqrt{3}>\pi.

2. Найдите последнюю цифру числа: 2^{1996}.

Ищем закономерность:

2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8, 2^4 = 16, 2^5 = 32, 2^6 = 64, 2^7 = 128, 2^8 = 256, 2^9 = 512, 2^{10} = 1024 и т. д.

Закономерность такова: идут группы по 4 числа, в конце которых в указанном порядке стоят цифры: 2, 4, 8 и 6. Замечаем, что 1996:4 = 499.

Следовательно, будет 499 таких групп чисел. Поэтому последняя цифра последнего числа будет равна 6.

3. Доказать, что для всех чётных натуральных чисел n число n^3+20n делится на 48.

Поскольку n — четное натуральное число, его можно представить в виде n=2k, где k — натуральное число. Тогда представленное выражение принимает вид: 8k^3+40k. Оно делится на 8. Следовательно, осталось доказать, что выражение k^3+5k делится на 6. Для этого нужно доказать, что оно делится на 2 и на 3.

а) Доказываем делимость на 2. Если k — чётное, то выражение делится на 2. Если k — нечётное, то его можно представить в виде k = 2l+1, где l = 0,\,1,\,2\dots Тогда выражение для k принимает вид: 4l^2+4l+6. Это выражение также делится на 2.

б) Докажем делимость на 3. Если k делится на 3, то выражение делится на 3. Если k не делится на 3, то его можно представить в виде k = 3m+1 или k = 3m+2, где m = 0,\,1,\,2\dots В первом случае выражение для k принимает вид: 27m^3+27m^2+24m+6. Последнее выражение делится на 3. Во втором случае выражение для k принимает вид: 27m^3+54m^2+51m+18. Последнее выражение также делится на 3.

4. Найдите максимальное и минимальное значение выражения:

    \[ \frac{2x+1}{x^2+x+1}. \]

Задача легко решается с помощью такого мощного понятия, как производная функции. Однако, поступающие в 10 класс школьники с этим понятием, к сожалению, не знакомы. Поэтому придётся «изобретать» другое решение.

Заметим сразу, что выражение, стоящее в знаменателе всегда положительно, поскольку коэффициент при x^2 положителен, а дискриминант соответствующего квадратного уравнения отрицателен. Заметим также, что выражение принимает отрицательные значения при x<-\frac{1}{2} и положительные значения при x>-\frac{1}{2}. То есть минимальное значение будет отрицательным, а максимальное значение будет положительным.

а) Ищем максимальное значение. Рассмотрим следующее неравенство с параметром a>0:

    \[ \frac{2x+1}{x^2+x+1}\leqslant a. \]

Будем искать минимальное значение a, при котором это неравенство выполняется для любых x. Это значение и будет являться максимальным значением данного выражения. Поскольку x^2+x+1>0, то неравенство можно представить в виде:

    \[ ax^2+(a-2)x+a-1 \geqslant 0. \]

При a>0 последнее неравенство будет выполняться для всех x в том случае, если дискриминант соответствующего квадратного уравнения будет меньше или равен нулю. То есть при 4-3a^2\leqslant 0. Наименьшее из возможных значений значений a, которое удовлетворяет всем требуемым условиям, является число \frac{2}{\sqrt{3}}.

б) Рассуждая аналогично, находим, что наименьшее значение выражения равно -\frac{2}{\sqrt{3}}.

Разбор заданий вступительного экзамена по математике в лицей «Вторая школа» представлен репетитором по математике в Москве, Сергеем Валерьевичем.

Добавить комментарий