Вступительный экзамен в лицей «Вторая школа»

Воскресенье, 5 июня, 2016

Физико-математический лицей «Вторая школа» — это достаточно сильное образовательное учреждение г. Москвы. Поток желающих обучаться в этом лицее традиционно очень высок. Но поступить в него удаётся далеко не каждому абитуриенту, поскольку для этого требуется сдать вступительные экзамены. На сайте учебного заведения приведены примеры заданий вступительного экзамена по математике для 10 класса (устной и письменной части). В данной статье предлагаю вашему вниманию разбор предложенных заданий. Оцените их сложность, чтобы узнать, насколько вы готовы к сдаче вступительного экзамена в Московскую физико-математическую школу №2 (Государственный лицей «Вторая школа»).

Задания письменной части вступительного экзамена в лицей «Вторая школа»

1. Упростите выражение:

$\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2}-\frac{a-4\sqrt{a}+2}{3\sqrt{a}-a-2}\right)\cdot \frac{1-a}{2-\sqrt{16a}}.$

Введём замену $x = \sqrt{a}$ и представим выражение в виде:

$\left(\frac{x}{x-2}+\frac{x^2-4x+2}{(x-2)(x-1)}\right)\cdot\frac{(1-x)(1+x)}{2(1-2x)}.$

Далее, используя стандартные правила преобразования выражений, получаем:

$\frac{(x-2)(2x-1)}{(x-2)(x-3)}\cdot\frac{(x-1)(1+x)}{2(2x-1)} = \frac{1+x}{2}.$

Итак, окончательный ответ: $\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{a}\right)$ .

2. Решите неравенство:

$(2-x)(2x^2-7x+24)>(2-x)(x^2+4x-6).$

a) Заметим сразу, что для $x=2$ неравенство не выполняется.

б) Для $x<2$ оно равносильно следующему:

$2x^2-7x+24>x^2+4x-6\Leftrightarrow$

$x^2-11x+30>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 6 \\ x < 5. \end{array}$

То есть с учётом условия $x<2$ в данном случае получаем: $x\in(-\mathcal{1};2)$ .

в) Для $x>2$ неравенство равносильно следующему:

$2x^2-7x+24<x^2+4x-6\Leftrightarrow$

$x^2-11x+30>0\Leftrightarrow 5<x<6.$

То есть с учётом условия $x>2$ получаем в этом случае: $x\in(5;6)$ .

Итак, окончательно получаем: $x\in(-\mathcal{1};2)\cup(5;6)$ .

3. Решить уравнение:

$\frac{3x^2-|2x+3|+2}{3|x|-1} = 0.$

Область допустимых решений уравнения составляют все действительные числа, кроме тех, что удовлетворяют уравнению:

$3|x|-1 = 0\Leftrightarrow x = \pm\frac{1}{3}.$

В области допустимых значений данное уравнение равносильно следующему:

$3x^2-|2x+3|+2 = 0.$

а) Для $x\geqslant -\frac{3}{2}$ получаем:

$3x^2-2x-1 = 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -\frac{1}{3} \\ x = 1 \end{array}$

Оба значения входят в указанный промежуток. Однако, корень $x = -\frac{1}{3}$ не входит в область допустимых значений исходного уравнения.

б) Для $x<-\frac{3}{2}$ получаем:

$3x^2+2x+5 = 0.$

У последнего уравнения решений нет, поскольку его дискриминант отрицателен.

Итак, $x = 1$ .

4. Решить графически систему уравнений:

$\begin{cases} xy = 4 \\ y^2 = x+2. \end{cases}$

Геометрическим местом точек, удовлетворяющих условию $xy = 4$ , является гипербола. Геометрическим местом точек, удовлетворяющих условию $y^2=x+2$ , — парабола с вершиной в точке $(-2;0)$ и ветвями, направленными вправо. Изобразим их на одном координатном поле:

Видно, что решением предложенной системы уравнений является пара $(2;2)$ .

5. Найдите $\cos\left(\frac{\pi}{4}-2\alpha\right)\cos\left(\frac{5\pi}{4}+2\alpha\right)$ , если $\cos2\alpha\sin\left(\frac{3\pi}{2}-2\alpha\right) = a$ .

а) Упростим первое выражение, воспользовавшись формулой преобразования произведения косинусов в сумму:

$\cos\left(\frac{\pi}{4}-2\alpha\right)\cos\left(\frac{5\pi}{4}+2\alpha\right) =$

$= \frac{1}{2}\left(\cos\frac{3\pi}{2}+\cos(\pi+4\alpha)\right) = -\frac{1}{2}\cos 4\alpha.$

б) Второе выражение преобразуем, используя формулы приведения и понижения степени:

$-\cos^22\alpha - \frac{-1-\cos 4\alpha}{2} = a\Leftrightarrow \cos 4\alpha = -2a-1.$

в) Итак, окончательно получаем: $-\frac{1}{2}(-2a-1)=a+\frac{1}{2}$ .

6. В геометрической прогрессии первый, третий и пятый члены равны соответственно первому, четвёртому и шестнадцатому члену некоторой арифметической прогрессии. Найти пятый член арифметической прогрессии, если первый её член равен 5.

Пусть разность арифметической прогрессии равна $d$ , а знаменатель геометрической прогрессии равен $q$ . Тогда первый, третий и пятый члены геометрической прогрессии, а также первый, четвёртый и шестнадцатый члены арифметической прогрессии будут равны соответственно:

$\begin{array}{l} 5,\, 5q^2,\, 5q^4 \\ 5,\, 5+3d,\, 5+15d \end{array}$

Тогда имеет место следующая система уравнений:

$\begin{cases} 5q^2 = 5+3d \\ 5q^4 = 5+15 d \end{cases}\Rightarrow q^4-5q^2+4=0\Leftrightarrow$

$\left[ \begin{array}{l} \begin{cases} d = 0 \\ q^2 = 1 \end{cases}\\ \begin{cases} d = 5 \\ q^2 = 4 \end{cases} \end{array}$

В первом тривиальном случае пятый член арифметической прогрессии равен её первому члену, то есть 5. Во втором случае пятый член арифметической прогрессии равен 25.

7. Из точки C окружности проведены две хорды CA и CB так, что $\angle ACB=105^{\circ}$ , а дуга CB, не содержащая точки A, в четыре раза длиннее, чем дуга AC, не содержащая точки B. Найти площадь фигуры, ограниченной этими хордами и дугой AB, не содержащей точки C, если радиус круга равен R.

Rendered by QuickLaTeX.com

Искомая фигура состоит из трёх частей: треугольника ABC, треугольника ABO и сектора с вершиной O и дугой AB, не содержащей точки C. Найдём последовательно площади всех трёх фигур и сложим их, чтобы получить ответ.

а) Ищем площадь сектора. Вписанный угол ACB опирается на дугу AB, не содержащую точку C, градусная мера которой равна, соответственно, $2\angle ACB = 210^{\circ}$ . Центральный угол AOB, опирающийся на эту дугу также равен $210^{\circ}$ . Тогда искомая площадь сектора равна:

$S_1 = \pi R^2\cdot {\frac{210^{\circ}}{360^{\circ}}} = \frac{7}{12}\pi R^2.$

б) Ищем площадь треугольника AOB. Меньший угол AOB равен $150^{\circ}$ . Треугольник равнобедренный с боковым сторонами, которые равны радиусу окружности. Следовательно, его площадь равна:

$S_2 = \frac{1}{2}R^2\sin 150^{\circ} = \frac{1}{4}R^2.$

в) Ищем площадь треугольника ACB. По условию дуга CB, не содержащая точки A, в четыре раза длиннее, чем дуга AC, не содержащая точки B. Градусная мера полной окружности равна $360^{\circ}$ . Поэтому имеет место уравнение:

$x+4x+210 = 360\Leftrightarrow x = 30.$

Отсюда градусные меры малых дуг AC, CB и AB равны $30^{\circ}$ , $120^{\circ}$ и $150^{\circ}$ соответственно.

Ищем неизвестные углы треугольника ABC. Вписанный угол CAB опирается на дугу BC и равен половине её градусной меры, то есть $60^{\circ}$ . Аналогично, угол CBA равен $15^{\circ}$ .

Сторону AB находим из треугольника AOB по теореме косинусов:

$AB = \sqrt{2R^2-2R^2\cos 150^{\circ}} = R\sqrt{2+\sqrt{3}}.$

С помощью формулы понижения степени можно показать также, что:

$\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2},\, \cos 15^{\circ} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}.$

Тогда из теоремы синусов для треугольника ABC получаем:

$\frac{AB}{\sin 105^{\circ}} = \frac{AC}{\sin 15^{\circ}}\Leftrightarrow AC = AB\cdot\frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 15^{\circ}}.$

В последнем преобразовании воспользовались формулой приведения:

$\sin 105^{\circ} = \sin(90^{\circ}+15^{\circ}) = \cos 15^{\circ}.$

То есть получаем:

$AC = R\sqrt{2+\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}} = = R\sqrt{2-\sqrt{3}}.$

То есть площадь треугольника ABC равна:

$S_3 = \frac{1}{2} AC\cdot AB\sin 60^{\circ} =$

$=\frac{\sqrt{3}}{4}R^2\sqrt{2-\sqrt{3}}\sqrt{2+\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{3}}{4}R^2.$

Тогда искомая площадь равна:

$S = S_1+S_2+S_3 = \frac{(3+3\sqrt{3}+7\pi)R^2}{12}.$

Примечание. Есть способ чуть более короткий и изящный, основанный на использовании формулы площади треугольника через радиус описанной окружности: $S = \frac{abc}{4R}$ . Однако, здесь я сознательно его не использовал, поскольку далеко не все школьные учителя знакомят учеников на своих уроках с этой формулой.

Решение некоторых заданий устной части вступительного экзамена в лицей «Вторая школа»

1. Какое из чисел больше: $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ или $\pi$ .

Из школьного курса математики известно, что $\frac{22}{7}>\pi$ . Поэтому сравним сперва $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ и $\frac{22}{7}$ .

Возводим обе части в квадрат и получаем: $5+2\sqrt{6}$ и $\frac{484}{49}$ . Сравниваем тогда $\sqrt{6}$ и $\frac{1}{2}\left(\frac{484}{49}-5\right) = \frac{239}{98}$ .

Вновь возводим обе части в квадрат и получаем: $6$ и $\frac{57121}{9604} = 5\frac{9101}{9604}$ . То есть $\sqrt{2}+\sqrt{3}>\frac{22}{7}$ , а значит и $\sqrt{2}+\sqrt{3}>\pi$ .

2. Найдите последнюю цифру числа: $2^{1996}$ .

Ищем закономерность:

$2^1 = 2$ , $2^2 = 4$ , $2^3 = 8$ , $2^4 = 16$ , $2^5 = 32$ , $2^6 = 64$ , $2^7 = 128$ , $2^8 = 256$ , $2^9 = 512$ , $2^{10} = 1024$ и т. д.

Закономерность такова: идут группы по 4 числа, в конце которых в указанном порядке стоят цифры: $2$ , $4$ , $8$ и $6$ . Замечаем, что $1996:4 = 499$ .

Следовательно, будет $499$ таких групп чисел. Поэтому последняя цифра последнего числа будет равна $6$ .

3. Доказать, что для всех чётных натуральных чисел n число $n^3+20n$ делится на 48.

Поскольку n — четное натуральное число, его можно представить в виде $n=2k$ , где k — натуральное число. Тогда представленное выражение принимает вид: $8k^3+40k$ . Оно делится на 8. Следовательно, осталось доказать, что выражение $k^3+5k$ делится на 6. Для этого нужно доказать, что оно делится на 2 и на 3.

а) Доказываем делимость на 2. Если k — чётное, то выражение делится на 2. Если k — нечётное, то его можно представить в виде $k = 2l+1$ , где $l = 0,\,1,\,2\dots$ Тогда выражение для k принимает вид: $4l^2+4l+6$ . Это выражение также делится на 2.

б) Докажем делимость на 3. Если k делится на 3, то выражение делится на 3. Если k не делится на 3, то его можно представить в виде $k = 3m+1$ или $k = 3m+2$ , где $m = 0,\,1,\,2\dots$ В первом случае выражение для k принимает вид: $27m^3+27m^2+24m+6$ . Последнее выражение делится на 3. Во втором случае выражение для k принимает вид: $27m^3+54m^2+51m+18$ . Последнее выражение также делится на 3.

4. Найдите максимальное и минимальное значение выражения:

$\frac{2x+1}{x^2+x+1}.$

Задача легко решается с помощью такого мощного понятия, как производная функции. Однако, поступающие в 10 класс школьники с этим понятием, к сожалению, не знакомы. Поэтому придётся «изобретать» другое решение.

Заметим сразу, что выражение, стоящее в знаменателе всегда положительно, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен, а дискриминант соответствующего квадратного уравнения отрицателен. Заметим также, что выражение принимает отрицательные значения при $x<-\frac{1}{2}$ и положительные значения при $x>-\frac{1}{2}$ . То есть минимальное значение будет отрицательным, а максимальное значение будет положительным.

а) Ищем максимальное значение. Рассмотрим следующее неравенство с параметром $a>0$ :

$\frac{2x+1}{x^2+x+1}\leqslant a.$

Будем искать минимальное значение a, при котором это неравенство выполняется для любых x. Это значение и будет являться максимальным значением данного выражения. Поскольку $x^2+x+1>0$ , то неравенство можно представить в виде:

$ax^2+(a-2)x+a-1 \geqslant 0.$

При $a>0$ последнее неравенство будет выполняться для всех x в том случае, если дискриминант соответствующего квадратного уравнения будет меньше или равен нулю. То есть при $4-3a^2\leqslant 0$ . Наименьшее из возможных значений значений a, которое удовлетворяет всем требуемым условиям, является число $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ . Это значение достигается в вершине соответствующей квадратичной функции, то есть при $x = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$ .