Разбор задания 15 из ЕГЭ по математике | Репетитор по математике и физике

в результатах поиска

Меню

Категории

Разбор задания 15 из ЕГЭ по математике

15.07.2016 Сергей Валерьевич Методическая копилка

В статье представлен разбор задания 15 из ЕГЭ по математике профильного уровня. Для вашего удобства представлен также видеоразбор решения этого задания с подробными комментариями от репетитора по математике.

Решите неравенство:

$\frac{49^x-6\cdot 7^x+3}{7^x-5}+\frac{6\cdot 7^x-39}{7^x-7}\leqslant 7^x+5.$

Заметим, что $49^x = \left(7^x\right)^2$ . Введём замену $t=7^x>0$ . Тогда неравенство примет вид:

$\frac{t^2-6t+3}{t-5}+\frac{6t-39}{t-7}\leqslant t+5.$

Переносим всё члены в левую сторону относительно знака неравенства, приводим всё к общему знаменателю, раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые. В результате чего получаем следующее неравенство:

$\frac{t-1}{(t-5)(t-7)}\leqslant 0.$

Решаем его с помощью метода интервалов:

Определяем область допустимых значений (ОДЗ) выражения, стоящего слева от знака неравенства. В эту область входят все числа, но $t\ne 5$ и $t\ne 7$ , поскольку при данных значениях t знаменатель обращается в нуль.
Определяем значения t, при которых выражение равно нулю. Дробь равна нулю, когда нулю равен её числитель, а знаменатель не равен нулю. То есть это одно единственное значение: $t=1$ .
Наносим полученные значения, а также значения, которые не входят в ОДЗ, на числовую прямую. После этого определяем знаки выражения в каждом из полученных промежутков на числовой прямой и выбираем те, на которых выражение меньше или равно нулю:

$\left[ \begin{array}{l} 0 < t\leqslant 1 \\ 5 < t < 7. \end{array}$

Далее переходим к обратной подстановке:

$\left[ \begin{array}{l} 0 < 7^x\leqslant 1 \\ 5< 7^x < 7. \end{array}$

Разбираемся сперва с первым двойным неравенством данной совокупности. Условие $7^x>0$ выполняется при любых значениях x, так как показательная функция $y=7^x$ всегда положительна (её график изображён на рисунке снизу). Кроме того, эта функция является возрастающей (большие значения x соответствуют большим значениям y) и равна 1 при $x=0$ . То есть при меньших значениях x функция будет меньше 1. Итак, решением первого двойного неравенства совокупности является промежуток: $x\in (-\mathcal{1};0]$ .

Для решения второго двойного неравенства совокупности также используем свойство возрастания функции $y=7^x$ . В силу возрастания этой функции, чтобы узнать, при каких значениях её аргумента значения функции находятся в промежутке $(5;7)$ , достаточно узнать, при каких значениях аргумента $x_1$ и $x_2$ значения функции равны 5 и 7. Тогда решение двойного неравенства будет иметь вид: $(x_1;x_2)$ . Итак, $7^{x_1}=5$ , откуда $x_1=\log_7 5$ , и $7^{x_2}=7$ , откуда $x_2=1$ . То есть решение данного двойного неравенства имеет вид: $(\log_7 5;1)$ .

Окончательный ответ: $x\in(-\mathcal{1};0]\cup(\log_7 5;1)$ .

Материал подготовлен репетитором по математике в Москве, Сергеем Валерьевичем

видеоуроки репетитораподготовка к ЕГЭ по математике с репетиторомрешение заданий ЕГЭ по математике

2 комментария

⇓

Герман
06.08.2016 к 19:49

«…раскрываем скобки и подобные слагаемые». Слово «приводим» пропущено, очевидно.

Ответить
- Сергей
  06.08.2016 к 19:50
  
  Да, спасибо, исправил.
  
  Ответить

Добавить комментарий

топ