Чему равен косинус 36 градусов? | Репетитор по математике и физике

в результатах поиска

Меню

Категории

Чему равен косинус 36 градусов?

01.10.2016 Сергей Валерьевич Методическая копилка

Зададимся вопросом: «Чему равен косинус 36 градусов?» Конечно, можно взять калькулятор и посчитать. Приблизительное значение составит 0.809017… Но что если требуется найти точное значение? Дочитайте эту статью до конца, и вы узнаете, как быстро и просто решить эту задачу.

Заметим, что $36^{\circ}\cdot 5 = 180^{\circ}$ .

Также всем известна следующая формула приведения:

$\cos(180^{\circ}-\alpha) = -\cos\alpha.$

Используя это, получаем:

$\cos(3\cdot 36^{\circ}) = -\cos(2\cdot 36^{\circ}).$

Нам известна также формула косинуса двойного угла:

$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha-1$

и косинуса тройного угла:

$\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha.$

Используя эти формулы, получаем следующее уравнение:

$4\cos^3 36^{\circ}-3\cos 36^{\circ}=1-2\cos^2 36^{\circ}.$

Пусть $\cos 36^{\circ} = x$ . Понятно, что $0<x<1$ , поскольку угол в $36^{\circ}$ находится в первой четверти на единичной окружности, где косинус положителен. Ну и косинус никогда не превосходит $1$ . В крайнем случае он равен $1$ для угла в $90^{\circ}$ . Тогда с учётом этой замены получаем:

$4x^3-3x=1-2x^2\Leftrightarrow (x+1)(4x^2-2x-1) = 0.$

Если вам не понятно, как было получено последнее преобразование, прочитайте статью Сложные случаи разложения многочленов на множители. Там вы найдёте подробное объяснение.

Так как $0<x<1$ , можно поделить обе части уравнения на $x+1$ (значение этого выражения не равно нулю):

$4x^2-2x-1 = 0\Leftrightarrow x = \frac{\sqrt{5}+1}{4}.$

Вот такой ответ. Кстати, если посчитать значение полученного выражения на калькуляторе, то получатся те же 0.809017…

Материал подготовил репетитор по математике в Москве, Сергей Валерьевич

6 комментариев

⇓

Мак
27.02.2018 к 23:25

Ошибка! Формулы двойного и тройного сначало правильно записанны по отдельности. А когда приравнивание неправильно записанны с правой стороны.

Ответить
- Сергей
  28.02.2018 к 10:16
  
  Посмотрите пару формул назад. Там cos(2*36 градусов) с минусом берётся, так что всё правильно.
  
  Ответить
Мак
28.02.2018 к 13:51

Понял спасибо

Ответить
Аноним
31.01.2019 к 18:27

а как найти sin36

Ответить
- Сергей
  01.02.2019 к 09:13
  
  Зная cos36, можно для этого использовать основное тригонометрическое тождество.
  
  Ответить
Руслан
11.11.2021 к 16:00

» Ну и косинус никогда не превосходит 1. В крайнем случае он равен 1 для угла в 90 гр. »

cos(90)=0 а не 1. это синус.

Ответить

Добавить комментарий

топ