Главная | Цены | Статьи | Контакты
Меню
Категории
Мой канал на Youtube
Простой способ решения задач B11
27.03.2013 Методическая копилка

Простой способ решения задач B11

Довольно часто среди заданий B11 встречаются такие, где требуется определить, к примеру, во сколько раз изменится объем или площадь боковой поверхности какой-нибудь объемной фигуры при изменении ее линейных размеров в известное число раз. Если такая задача попадётся вам на ЕГЭ по математике — радуйтесь, дорогие старшеклассники, вам повезло! Эти задачи решаются устно, буквально в одно действие. В данной статье описан простой способ решения подобных задач B11. Ключом к решению станет для вас одно очень простое правило.

При увеличении (уменьшении) всех линейных размеров тела (например, всех ребер тетраэдра) в N раз, площадь его боковой поверхности увеличивается (уменьшается) в N^2 раз, а объем увеличивается (уменьшается) в N^3 раз.

Профессор

То есть, если, к примеру, в условии задачи сказано, что все ребра тетраэдра увеличили в 2 раза, осведомленный старшеклассник без труда сообразит, что площадь поверхности такого тетраэдра увеличится в 2^2 = 4 раза, а объем — в 2^3 = 8 раз.

Используя это элементарное правило, вы без труда сможете решить даже такие на первый взгляд сложные задачи, в которых говорится о каких-нибудь непонятных икосаэдрах, октаэдрах и других «сложных» геометрических фигурах. Например, не стоит паниковать, если на ЕГЭ по математике вас попросят посчитать, во сколько раз уменьшился объем октаэдра, если все его ребра уменьшили в два раза. Для нас вообще не важно с какой фигурой мы имеем дело. Если все ее линейные размеры уменьшили в 2 раза, то ее объем уменьшился в 2^3 = 8 раз.

А что, если мы имеем дело с обратной ситуацией? Что, если нам требуется найти, в сколько раз изменились все линейные размеры тела, при этом известно, во сколько раз изменился объем или площадь боковой поверхности.

Переформулируем наше правило в несколько более причудливой, но удобной для этого случая форме:

При увеличении (уменьшении) всех линейных размеров тела (например, всех ребер тетраэдра) в \sqrt[3]{N} раз, площадь его боковой поверхности увеличивается (уменьшается) в \sqrt[3]{N^2} раз, а объем увеличивается (уменьшается) в N раз.

Думаю, вы согласитесь, что поменялись лишь обозначения, суть правила при этом не изменилась. Уясним смысл этого правила на примере следующей задачи.

Известно, что при изменении всех линейных размеров додекаэдра, его объем увеличился в 27 раз. Во сколько раз были изменены все линейные размеры додекаэдра, и во сколько раз изменилась площадь его боковой поверхности? Поскольку объем увеличился в 27 раз, то в наших обозначениях N=27. Получается, что все линейные размеры были увеличены в \sqrt[3]{N}=\sqrt[3]{27} = 3 раза, а площадь его боковой поверхности была увеличена в \sqrt[3]{N^2} = \sqrt[3]{27^2} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2=9 раз.

Ну и последний самый каверзный случай, когда требуется найти во сколько раз изменились все линейные размеры тела, если известно во сколько раз при этом изменилась площадь его поверхности. В этом случае правило будет иметь следующий вид:

При увеличении (уменьшении) всех линейных размеров тела (например, всех ребер тетраэдра) в \sqrt{N} раз, площадь его боковой поверхности увеличивается (уменьшается) в N раз, а объем увеличивается (уменьшается) в \sqrt{N^3} раз.

К примеру, требуется найти, во сколько раз были изменены все линейные размеры икосаэдра, если известно, что площадь его боковой поверхности при этом уменьшилась в 16 раз. В данном случае, в соответствии с описанным выше правилом, N = 16. Значит все линейные размеры тела были уменьшены в \sqrt{N} = \sqrt{16} = 4 раза. Объем при этом уменьшился в \sqrt{N^3}=\sqrt{16^3} = \left(\sqrt{16}\right)^3 = 64 раза.

Профессор

Вот так очень просто решаются некоторые на первый взгляд непонятные задачи B11. Запомните этот простой способ! Он существенно облегчит вам решение некоторых задач B11 из ЕГЭ по математике.

Сергей Валерьевич
Репетитор математики

Добавить комментарий


Можно не заполнять

Можно не заполнять

*