Главная | Цены | Статьи | Контакты
Меню
Категории
Мой канал на Youtube
Приём в школу 179: ошибки организаторов
31.03.2021 Методическая копилка

Приёмная кампания 2021 года в школу 179 идёт полным ходом. Не так давно в онлайн-формате прошло вступительное испытание по математике для учеников, поступающих в 7 класс. Хорошо известно, что школа 179 — это очень сильное учебное заведение в плане преподавания математики, а потому задания на вступительных экзаменах дают довольно сложные. Многие абитуриенты совершают ошибки. Но, как оказывается, не только абитуриенты, но и сами организаторы.

Давайте посмотрим на условие одной из предлагавшихся на экзамене задач.

Нам даны десять чисел, каждое меньше 91. Требуется доказать, что среди них найдутся два числа a и b, такие что 2/3 ≤ a/b ≤ 3/2.

Ну и юмор в том, что доказать это утверждение невозможно, поскольку оно ошибочное! И чтобы это понять, достаточно рассмотреть простой пример. Давайте возьмём следующий набор чисел. Начнём с отрицательного числа -10, а каждое следующее будем получать умножением предыдущего на 10. Так у нас получится следующая последовательность чисел:

-10; -100; -1000; -10000; -100000; -1000000; -10000000; -100000000; -1000000000; -10000000000.

Каждое из этих чисел меньше 91. Это условие выполнено. Но какие бы два из них мы ни взяли, их отношение не находится в промежутке от 2/3 до 3/2. Это отношение больше или равно 10, если мы делим число с большим количеством нулей на число с меньшим их количеством, и меньше или равно 1/10, если наоборот.

Так что налицо некорректность формулировки. И чтобы понять, что на самом деле имели в виду авторы задания (они же организаторы вступительного испытания в школу 179), приходится включить интуицию. Судя по всему, организаторы просто пропустили в условии одно, но очень важное слово. А именно, слово «натуральные».

Числа, о которых идёт речь в задаче, натуральные! И вот тогда задание приобретает смысл. Тогда уже утверждение, которое требуется доказать, оказывается верным. Итак, решаем следующую задачу:

Как же её решить? Ну очень просто! Действуем по методу от противного. Пусть мы смогли подобрать 10 таких натуральных чисел, что среди них не существует ни одной такой пары, что отношение одного числа в этой паре к другому находится в указанном диапазоне.

Давайте расставим эти числа в ряд в порядке возрастания. Каким должно быть наименьшее из этих чисел? Поскольку каждое последующее число получается умножением предыдущего на некоторое число, но при этом все числа мы хотим вместить в достаточно узкий диапазон (не более 91), то лучше начинать с наименьшего натурального числа, то есть с 1.

Следующее число будет больше, причём более чем в 3/2 раза. Но если умножить 1 на 3/2, то получится 1,5. Ближайшее за ним натуральное число – это число 2. Его и берём. Дальше умножаем 2 на 3/2 и получаем 3. Но 3 не подходит, поскольку тогда появится пара чисел 3 и 2, отношение которых в точности равно 3/2, а нам нужно, чтобы было больше чем 3/2. То есть берём 4. И продолжаем, используя ту же логику. В результате получаем следующую последовательность из 10 чисел:

1; 2; 4; 7; 11; 17; 26; 40; 61; 92.

И что же у нас получилось? Мы начали с самого маленького числа, брали каждый раз ближайшее возможное следующие число, а в результате десятое число оказалось больше 91. То есть мы получили противоречие. Значит, наше предположение о существовании нужного набора ошибочно. То есть для любого набора обязательно найдутся два числа, отношение которых находится в промежутке от 2/3 до 3/2 включительно. Что и требовалось доказать!

Вот такое решение. Но мы решали задачу с исправленным (корректным) условием. А как же быть бедным школьникам, которые сдают вступительный экзамен с ошибками в условиях задач?

Что делать?

Надо сказать, что подобные ошибки случаются на вступительном экзамене в школу 179 не в первый раз. На моей памяти был по крайней мере ещё один случай, когда решение задачи было неоднозначным, а форма для указания ответа предполагала единственное решение. В тот раз составители признали свою ошибку и пересчитали баллы с её учётом.

Так что в подобной ситуации я рекомендую обращаться к организаторам за разъяснениями по контактам, указанным на сайте школы. Шанс получить свои баллы всё-таки есть, поэтому не оставляйте эти вещи без внимания. Это будет способствовать повышению качества проводимых экзаменов, что в конечном итоге будет выгодно всем: и организаторам, и поступающим.

Если вам требуется подготовка к вступительным испытаниям в школе 179, обращайтесь ко мне. У меня в этом деле большой и успешный опыт. Мои контакты вы можете найти на этой странице. Успехов!

Добавить комментарий


Можно не заполнять

Можно не заполнять

*