Статья посвящена разбору примеров решения неравенств методом интервалов. При том, что этот метод решения неравенств достаточно универсален, важно помнить, что не всегда применение данного метода оправдано с точки зрения объема вычислений. Иногда бывает удобнее воспользоваться некоторыми другими методами решения неравенств. Все рассмотренные в статье неравенства взяты из реальных вариантов ЕГЭ по математике разных лет. Присутствует подробный видеоразбор одного из заданий.
Пусть заданное неравенство имеет вид: Для решения этого неравенства используется так называемый метод интервалов (метод промежутков), который состоит в следующем.
Во-первых, на числовую ось наносят точки разбивающие ее на промежутки, в которых выражение определено и сохраняет знак («плюс» или «минус»). Такими точками могут быть корни уравнений и Соответствующие этим корням точки отмечают на числовой оси: закрашенными кружками — точки, удовлетворяющие заданному неравенству, а светлыми кружками — не удовлетворяющие ему.
Во-вторых, определяют и отмечают на числовой оси знак выражения для значении , принадлежащих каждому из полученных промежутков. Если функции и являются многочленами и не содержат множителей вида где то достаточно определить знак функции в любом таком промежутке, а в остальных промежутках знаки «плюс» и «минус» будут чередоваться.
Если же в числителе или знаменателе дроби имеется множитель вида где то непосредственной проверкой выясняют, удовлетворяет ли значение заданному неравенству.
Изменение знаков удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (кривой знаков), проведенной через отмеченные точки и лежащей выше или ниже числовой оси в соответствии со знаком дроби в рассматриваемом промежутке. Промежутки, которые содержат точки, удовлетворяющие данному неравенству, иногда покрывают штрихами. На ту же ось помещают и точки, соответствующие Заштрихованная область в совокупности с полученными точками будет являться ответом к неравенству.
Решение. Упрощаем неравенство путем равносильных преобразований:
Выражения, стоящие в числителе и знаменателе, можно разложить на множители, тогда неравенство примет вид:
Далее по алгоритму решения неравенств методом интервалов находим корни уравнений и . Из первого получаем Из второго получаем Наносим на числовую прямую получившиеся точки, причем точки и обозначаем закрашенными кружочками (для них неравенство выполняется), а точки и — светлыми (для них неравенство не выполняется, при этих значениях, выражение, стоящее слева от знака неравенства, вообще не имеет смысла):
Определяем теперь знаки выражения на полученных промежутках (подставляем любое значение из каждого полученного промежутка в данное выражение), изображаем кривую знаков, заштриховываем те промежутки, на которых исходное неравенство выполняется:
Итак, исходному неравенству удовлетворяют следующие значения:
Ответ:
Задача для самостоятельного решения №1. Решите неравенство:
Показать ответ
Решение. Подкоренное выражение, как известно, не может принимать отрицательных значений, также не допускается нахождение в знаменателе дроби нуля. Следовательно, область допустимых значений данного неравенства определяется неравенством и тем условием, что Решаем уравнения и Из первого уравнения получаем, что Из второго уравнения получаем, что Наносим область допустимых значений неравенства и полученные точки на числовую прямую, причем эти точки будет светлыми, поскольку ни одно из значений и не удовлетворяет неравенству. Сразу определяем знаки выражения в каждом из полученных промежутков и рисуем кривую знаков:
Верхней стрелкой на рисунке обозначена область допустимых значений неравенства. Ответом к неравенству будет являться промежуток, соответствующий на рисунке заштрихованной области.
Ответ:
Задача для самостоятельного решения №2. Решите неравенство:
Показать ответ
Решение. Подкоренное выражение не может принимать отрицательных значений, а в знаменателе дроби не должно быть нуля. Следовательно, область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:
Решаем уравнение и Из первого получаем, что и Из второго получаем, что Наносим полученные точки на числовую прямую, не забывая о том, какие из них следует закрасить, а какие осветлить. Изображаем также на ней область допустимых значений и изображаем кривую знаков:
Пунктирные лини на рисунке ограничивают область допустимых значений неравенства. Заштрихованная область соответствует решению неравенства.
Ответ:
Задача для самостоятельного решения №3. Решите неравенство:
Показать ответ
Метод интервалов — универсальный, но не единственный метод решения неравенств. Уметь использовать этот метод, конечно, необходимо, но не достаточно для успешного решения задач по математики. Как репетитор по математике советую вам освоить и другие более частные методы решения неравенств. Успехов вам!
Сергей Валерьевич
Преподаватель математики и физики
как тут понять если у меня не нуль
Можно написать решения подробней? Плохо понятно,особенно как в третьем получили 1/3:-)
как решить неравенство общего вида?
В третьем примере -1/sqrt(8) тоже должно входить в ответ.
А почему простого линейного уравнения нету? Можете написать пример линейного уравнения, пожалуйста?
Как определить знаки кривого знаков?
x+4/3+6x<0 ответ (-0.5; 4) ? или я не права?
Пример1.
Как числитель (и знаменатель) разложить на множители?
в первом примере ,куда мы дели двойку в знаменателе,должны же были умножить эту двойку на скобку
Тут неправильно. Знаменатель не может равняться нулю, а значит сразу нужно приравнивать знаменать к нулю, а то, что вы нашли — это неправильно. Посторонние корни
ага
Спасибо!!! Очень помогли))
подскажите пож, если в неравенстве в числит и знаменателе квадр. уравнения, в числит имеет реш, а в знаменателе дискрем отриц, получается просто наносим корни числителя и выбираем промежутки?
Можете написать как решить неравенство: (х+1-√3)^2 × (х+2-√6) больше 0. Методом интервалов
запишите неравенство, решением которого является объединение числового промежутка и точки. Можете объяснить о чем речь?
Что делать, если в числителе кв. уравнение не имеет корней?
А не подскажите, если в числителе x^3+2x^2+x, то он будет равен 1?
Здравствуйте
Помогите срочно пожалуйста 4х-х-3= >0
Почему нет кв. неравенства вида
(3x + 2)(x — 5)(4x — 1) > 0
Сколько промежутков :
(х-1)(х-2)(х-3)(х-4)(х-55)=0