В статье представлен разбор заданий из первой и второй части демонстрационного варианта вступительного комплексного теста по математике в лицей ВШЭ. Решения всех заданий составлены профессиональным репетитором по математике и физике, который занимается подготовкой школьников к поступлению в лицей ВШЭ по математике и физике.
1. Вычислите:
|
Правильный ответ: 2.
2. Пятиметровое бревно нужно распилить на метровые поленья. Распиловка бревна поперёк отнимает каждый раз полторы минуты. Сколько минут потребуется, чтобы распилить всё бревно?
|
Потребуется 4 распила. Поскольку каждый распил длится 1,5 минуты, то общее время, которое потребуется, равно 6 минутам.
Правильный ответ: 2.
3. На сколько процентов надо повысить цену, чтобы после 20% скидки товар стоил столько же, сколько и первоначально?
|
Пусть изначально товар стоил . Тогда после 20% скидки он стал стоить
. Чтобы стоимость товара стала равна исходной, цену вновь нужно поднять на
. Это составляет
от текущей стоимости. Итак, цену нужно повысить на 25%.
Правильный ответ: 1.
4. Найдите наименьшее целое решение неравенства ![]()
|
Разделим обе части неравенства на отрицательное число , знак неравенства при этом изменится:
Упростим выражение, стоящее справа. Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое со знаменателем. В результате получаем следующее выражение:
Итак, окончательно неравенство принимает вид:
Легко убедиться, что
Учитывая это, получаем
То есть нужно найти ближайшее целое число, которое больше -17,92. Это число -17. Оно и будет являться наименьшим целым решением исходного неравенства.
Правильный ответ: 1.
5. Набор матрёшек, состоящий из восьми штук, поставили в ряд по высоте от меньшей к большей. Известно, что высота третьей матрёшки равна шести сантиметрам. Каждая следующая матрёшка на две целых и три десятых сантиметра больше предыдущей. Какой высоты будет восьмая матрёшка?
|
Перед нами арифметическая прогрессия. Пусть высота первой матрёшки равна , тогда известно, что
. Кроме того, известна разность этой прогрессии
. Тогда, используя формулу n-ого члена арифметической прогрессии, находим
:
Теперь находим :
Правильный ответ: 4.
6. Трёх людей по подозрению в контрабанде ловят таможенники и устраивают допрос. Первый и второй задержанные говорят: «Я не виноват!». Третий задержанный говорит: «Второй — контрабандист!» Известно, что правду говорит только один из них. Кто из задержанных контрабандист?
|
Предположим, что правду говорит третий. Тогда второй — контрабандист. Но тогда правду говорит и первый, который говорит, что он не виноват. А это противоречит условию, что правду говорит только один человек.
Предположим теперь, что правду говорит первый. Тогда при этом третий врёт, что второй — контрабандист. Значит, контрабандист — третий. Но тогда второй, говоря, что он не виноват, говорит правду. А это вновь противоречит условию, что правду говорит только один человек из трёх.
Осталось предположить, что правду говорит второй. При этом первый врёт, что он не контрабандист. Значит, он как раз и есть контрабандист. При этом врёт и третий, говоря, что контрабандист — второй. Это единственная ситуация, возникающая без противоречия условию.
Итак, контрабандист — первый.
Правильный ответ: 1.
7. В прямоугольном треугольнике катеты равны 5 и 12. Чему равен синус большего острого угла треугольника?
|
Пусть и
— катеты данного прямоугольника, а
— его гипотенуза. Сперва по теореме Пифагора находим гипотенузу этого прямоугольного треугольника:
Больший острый угол лежит в этом треугольнике против большего катета. То есть синус большего острого угла равен отношению большего катета
к гипотенузе
:
Правильный ответ: 2.
8. Если первое (1) и второе (2) высказывания являются верными, то верно ли третье (3) высказывание или четвёртое (4) высказывание?
(1) Если у меня в корзинке лежит овощ овальной формы, то он зелёный. (2) Если у меня в корзинке лежит огурец, то он зелёный. (3) Если у меня в корзинке лежит овощ овальной формы, то он огурец. (4) Если овощ зелёный, то он овальный.
|
Третье неверно, так как из (1) и (2) не следует, что не может быть других зелёных овощей овальной формы, кроме огурцов. Четвёртое также неверное, так как из (1) не следует, что нет зелёных овощей не овальной формы.
Правильный ответ: 3.
9. Когда автомобиль проехал 10 км и ещё 3/4 оставшегося пути, ему осталось проехать 1/6 всего пути и ещё 10 км. Какова длина пути?
|
Пусть длина пути равна км, тогда в соответствии с условием имеет место следующее уравнение:
Из этого уравнения находим км.
Правильный ответ: 3.
10. Решите уравнение
|
Переносим все члены уравнения в левую сторону от знака равенства и приводим всё к общему знаменателю:
После всех преобразований в числителе уравнение принимает вид:
Для уравнение равносильно уравнению
. Решая последнее уравнение, получаем
.
Правильный ответ: 1.
1. Найдите все значения ![]() |
Множество всех значений , для каждого из которых имеет смысл записанное выражение, задаётся системой неравенств:
Решаем первое неравенство с помощью метода интервалов. Для этого разложим на множители вторую скобку:
Решением неравенства
является множество всех .
Из второго неравенства получаем. что . Это число нужно исключить из окончательного ответа. В результате получаем ответ:
2. Найдите все значения ![]() имеет единственное решение. Решить графически систему при одном из возможных значений |
Во втором уравнении выражаем через
:
Подставляем теперь в первое уравнение системы:
Методом группировки раскладываем выражение слева от знака равенства на множители и получаем в результате:
Возможны два варианта:
1) При уравнение имеет бесконечное количество корней, так как
может быть любым числом. При этом исходная система также имеет бесконечное количество решений, удовлетворяющих условию
.
2) При уравнение имеет единственное решение
. Значит, исходная система уравнений при этом также имеет единственное решение
.
Итак, при система имеет единственное решение.
Для примера возьмём . Графическое решение системы в этом случае представлено на рисунке:
Видно, что система имеет в этом случае единственное решение .
3. Настя, Катя, Ира и Оля учредили компанию с уставным капиталом 300 000 рублей. Настя внесла 17% уставного капитала, Катя — 48 000 рублей, Ира — 0,14 уставного капитала, а остальную часть уставного капитала внесла Оля. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесённому в уставной капитал вкладу. Сколько рублей от прибыли в 500 000 рублей причитается Оле? |
1. Ира и Настя вместе внесли 31% уставного капитала, то есть:
300 000×0,31 = 93 000 рублей.
2. Так как Катя внесла 48 000 рублей, то Оля внесла оставшуюся часть в 159 000 рублей. Это составляет:
159 000÷300 000×100% = 53% от уставного капитала.
3. На этот же процент от прибыли может рассчитывать Оля. В рублях это составляет:
500 000×0,53 = 265 000.
4. Около окружности радиуса 1 описана равнобедренная трапеция. Площадь трапеции равна 5. Найдите площадь четырёхугольника, вершинами которого служат точки касания окружности и трапеции. |
Задача несложная, но доказательств много. Хотя все они довольно очевидны, для полноты решения их нужно расписать. Далее всё будет расписано максимальное подробно для удобства читателя.
5. Найдите все значения параметра ![]() ![]() |
При это уравнение является биквадратным. Оно может иметь от 0 до 4 различных корней. Причём задача сформулирована таким образом, что мы ищем значения
такие, что уравнение имеет два различных корня. Не «ровно два», а «просто два» различных корня. То есть, допустим, если уравнение имеет 4 корня, и все они различны, то этот случай нам тоже подойдет, потому что среди них есть два различных.
Преобразуем уравнение. Введём замену . Тогда уравнение принимает вид:
. Или для
:
(1)
Ищем сперва все значения параметра, при которых у исходного уравнения будет ровна два различных корня.
Эта ситуация реализуется в следующих случаях:
1) когда , так как в этом случае исходное биквадратное уравнение превращается в квадратное
, у которого два различных корня
.
2) когда у уравнения (1) есть лишь один положительный корень. Это возможно тогда, когда его дискриминант равен нулю:
Из последнего уравнения получаем и
.
Для соответствующий корень уравнения будет равен:
Этот случай подходит.
Для соответствующий корень уравнения будет равен:
Этот случай не подходит.
3) когда уравнение (1) имеет корни разных знаков. Эта ситуация реализуется тогда, когда свободный член уравнения (1) отрицателен (соответствующая парабола пересекает ось OY в точке, лежащей ниже оси OX):
Это неравенство решается методом интервалов. Решение задаётся промежутком .
Итак, объединяя все полученные решения в этом пункте, мы находим все значения параметра , при каждом из которых исходное уравнение имеет ровна два различных корня:
. Если бы в условии была соответствующая оговорка, мы бы закончили решение и радовались жизни. Но поскольку этой оговорки нет, мы продолжаем.
Ищем теперь все значения параметра, при каждом из которых исходное уравнение имеет ровно три различных корня.
Это возможно только в том случае, если уравнение (1) имеет один положительный корень и один нулевой корень. То есть свободный член уравнения (1) должен быть равен нулю, а вершина параболы должна находиться правее оси OY. То есть имеет место неравенство:
Однако, не существует ни одного значения параметра , которое бы удовлетворяло данной системе. То есть трёх корней у исходного уравнения не будет ни при каких значениях параметра
.
И, наконец, ищем все значения параметра, при которых у исходного уравнения будет четыре различных корня.
Здесь уже не обязательно уточнять, используя формулировку «ровно четыре корня», так как биквадратное уравнение имеет не более четырёх корней. Четыре корня у исходного уравнения будет в том случае, если уравнение (1) имеет два различных положительных корня. То есть, когда свободный член положителен (соответствующая парабола пересекает ось OY выше нуля), вершина параболы находится правее оси OY, и дискриминант положителен. То есть имеет место следующая система неравенств:
Решением этой системы является промежуток .
Итак, объединяя все решения полученные в каждом из пунктов, получаем ответ к заданию: .
Примечание. Ещё раз повторюсь, что если бы в условии было чётко указано, что мы ищем все значения параметра , при которых у исходного уравнения ровно два различных корня, то ответ был бы следующим:
.
Разбор заданий демонстрационного варианта комплексного теста в лицей ВШЭ подставлен профессиональным репетитором по математике в Москве, имеющим обширный опыт подготовки школьников к поступлению в лицей ВШЭ и другие лицей и гимназии Москвы. Если у вас остались какие-либо вопросы, задавайте их в комментариях или обращайтесь напрямую к репетитору. Контактную информацию вы можете найти на этой странице. Также вы можете воспользоваться сайтом cleverfox.info, на котором выложены типовые варианты комплексных тестов по математике в лицей ВШЭ с подробными решениями всех заданий.
Понравилась статья? Возможно, вам будет интересна также следующая:
пример 3: правильны ответ при неправильном подходе
Сергей, сделаете ли Вы разбор заданий второй части вступительного теста по математике за 2019 год?