Касательная к параболе

Иногда в заданиях ЕГЭ и даже ОГЭ по математике, особенно в заданиях с параметром, возникают ситуации, когда нужно установить, при каком условии некоторая прямая касается параболы. Составить уравнение касательной к функции можно с помощью производной, и старшеклассникам обычно рассказывают в школе, как это делать. Но в случае с параболой можно обойтись без этих премудростей. Достаточно уметь решать квадратные уравнения, а этому учат уже в основой школе. В данной статье профессиональный репетитор по математике рассказывает о том, как получить уравнение касательной к параболе в некоторой точке без использования производной.

Уравнение касательной к параболе

Давайте изобразим координатную плоскость и нарисуем в ней параболу, которая проходит через начало координат. Так бывает, конечно, не всегда. Но эту проблему можно легко устранить. Достаточно просто перенести начало координат в вершину параболы, и мы получим нужную нам ситуацию. Поэтому целесообразно рассматривать именно случай, когда парабола проходит через начало координат. В этом случае уравнение такой параболы имеет вид :

Мы для определённости взяли положительный коэффициент , поэтому ветви данной параболы направлены вверх. Но на самом деле все дальнейшие рассуждения будут справедливы и для отрицательных .

Отметим некоторую точку A, которая принадлежит нашей параболе. Пусть она имеет координаты . Проведём касательную к параболе в этой точке. Касательная – это прямая. А в общем виде уравнение прямой записывается как . То есть ситуация получается следующая:

Ну и давайте зададимся целью найти неизвестные коэффициенты и через известные значения и . Так у нас и получится касательная к параболе, а точнее её уравнение в точке . Но давайте сразу договоримся, что делать мы это будем без помощи производной, чтобы этот материал был понятен не только старшеклассникам.

Итак, что же у нас есть? У нас есть парабола , причём . Иначе это была бы не парабола, а просто прямая линия, которая совпадает с осью OX. Также у нас есть касательная . Но важно то, что эта касательная и парабола имеют общую точку с координатами .

А это значит, что координаты этой точки должны удовлетворять и уравнению параболы, и уравнению касательной. Значит, если мы подставим координаты этой точки в уравнение параболы и в уравнение касательной, то мы должны при этом получить верные равенства. Итак, имеет место следующая система уравнений:

   

Именно её нам и нужно решить. Но как это сделать? Ну, во-первых, обратим сразу внимание, что у этих уравнений одинаковые левые части. А значит, равны и правые. То есть получается вот такое уравнение:

   

Это квадратное уравнение, которое может иметь от нуля до двух решений, в зависимости от дискриминанта. Вот здесь и возникает самая главная идея! Поскольку прямая касается параболы (ведь это касательная к параболе), то у них есть только одна общая точка. А это означает, что данное уравнение должно иметь единственное решение. Ну а единственное решение оно имеет только в том случае, если дискриминант равен нулю. Осталось его посчитать:

(1)  

Ну а сам корень уравнения при нулевом дискриминанте равен:

(2)  

Ну а дальше подставляем выражение (2) в уравнение (1) и получаем следующее уравнение:

   

   

(3)  

Ну и получилось, что мы смогли выразить коэффициент и коэффициент через и (уравнения (2) и (3), соответственно), как и было нужно. Подставляя их в уравнение прямой, получаем искомое уравнение касательной к параболе:

Уравнение касательной к параболе в общем виде

В общем виде парабола задаётся формулой: . Как уже отмечалось выше, такую параболу можно всегда свести к параболе путём простого переноса начала системы координат в вершину исходной параболы. Но зададимся вопросом, как будет выглядеть уравнение касательной к такой параболе, если мы не будем осуществлять такой перенос.

Касательная к параболе — это прямая, поэтому в общем виде уравнение этой прямой записывается по аналогии с предыдущим пунктом: . Только здесь мы используем букву , поскольку буква уже занята:

И вновь мы ссылаемся на тот факт, что данная касательная и парабола будут иметь общую точку . Значит, координаты этой точки должны удовлетворять следующей системе уравнений:

   

У записанных уравнений равны левые части, значит, равны и правые. То есть имеет место следующее квадратное уравнение:

   

   

Ну и поскольку у касательной с параболой есть только одна общая точка, то последнее уравнение должно иметь единственное решение. Такое возможно только в том случае, если его дискриминант равен нулю. То есть имеет место равенство:

(4)  

При этом сам корень уравнения должен быть равен:

(5)  

Подставляем выражение (5) в выражение (4) и получаем:

   

   

   

(6)  

Итак, мы получили искомые коэффициенты. Значит, уравнение касательной к параболе в общем виде будет выглядеть так:

При этом легко убедиться, что в частном случае при (то есть когда парабола проходит через начало координат) мы получаем то же самое уравнение, которое уже было нами получено в предыдущем пункте.

Материал подготовил репетитор по математике и физике в Москве, Сергей Валерьевич