Решение задач из контрольной работы по общей физике

Четверг, 15 марта, 2012

Решение контрольной работы по физике и математике

Многие ученики задаются вопросом, насколько то, что они изучают по физике в школе проще, чем то, что изучается по физике в вузе. Является ли школьный курс «детским лепетом» по сравнению с настоящей физикой как наукой. Многим школьникам, в том числе отличникам, физика дается не просто. Оно и понятно, ведь это объективно наиболее трудный для понимания предмет из изучаемых в школе.

Мне посчастливилось преподавать физику и в школе, и в вузе, а потому об отличиях одного от другого я знаю не понаслышке. Та физика, которую ученики постигают в школе, называется «элементарной», но это вовсе не делает ее простой! Без преувеличения будет сказано, что основной целью изучения физики в школе является подготовка учащихся к жизни в современном мире, формирование их общего мировоззрения, а также своеобразного базиса, без которого невозможно изучение физики в вузе. Вспомните свои школьные годы, и вам станет ясно, насколько это сложная задача для учителя, решить ее может далеко не каждый. Всякий педагог должен с пониманием относиться к тем трудностям, с которыми сталкиваются школьники при изучении физики в их возрасте.

Для того, чтобы наглядно продемонстрировать разницу в образовательных программах и уровне преподавания физики в школе и вузе, предлагаю вашему вниманию разбор контрольной работы по общей физике для первого курса университета МИИТ. Ознакомьтесь, возможно, это окажется для вас полезным.

Задача 1. Фотон с длинной волны \lambda_1 = 15 пм рассеялся на свободном электроне. Длина волны рассеянного фотона \lambda_2 = 16 нм. Определить угол \theta рассеяния.

Решение.

Эффект Комптона

Иллюстрация к эффекту Комптона

Изменение длины волны фотона происходит вследствие эффекта Комптона: \lambda_2-\lambda_1 = \lambda_K (1-\cos\theta), где \lambda_2 — длина волны излучения после рассеяния, \lambda_1 — длина волны излучения до рассеяния, \theta — угол рассеяния, \lambda_K = \frac{h}{m_e c} = 2,4\cdot 10^{-12} м — комптоновская длина волны электрона.

Выражая угол рассеяния \teta, получаем:

    \[ \theta = \operatorname{arccos}\left(1-\frac{\lambda_2-\lambda_1}{\lambda_K}\right) = \]

    \[ =\operatorname{arccos}\left(1-\frac{16\cdot 10^{-12}-15\cdot 10^{-12}}{2,4\cdot 10^{-12}}\right) = 54^0. \]

Задача 2. Вычислить длину волны де Бройля в пучке протонов, имеющих скорость 10^3 м/с. Надо ли учитывать волновые свойства, если диаметр пучка 1 мм?

Решение.

Длина волны де Бройля вычисляется по формуле: \lambda = \frac{h}{p}, где h=6,63\cdot 10^{-34} Дж·с — постоянная Планка, p — импульс протона. Импульс при движении частицы со скоростью, много меньшей скорости света, определяется по формуле: p = m\upsilon, где m=1,67\cdot 10^{-27} кг — масса протона, \upsilon — скорость движения протона.

Подставляя все в исходную формулу, получаем:

    \[ \lambda = \frac{h}{m\upsilon} = \frac{6,63\cdot 10^{-34}}{1,67\cdot 10^{-27}\cdot 10^3} = 4\cdot 10^{-10} \operatorname{M}. \]

По сравнению с диаметром пучка в 1 мм, данным в условии в качестве характерного размера, эта величина чрезвычайно мала. Волновые свойства в данном случае учитывать не нужно.

Задача 3. В сосуде находится m_1=14 г азота и m_2=9 г водорода при температуре t^0=10^0C и давлении P = 1 МПа. Найдите молярную массу \mu смеси и объем V сосуда.

Решение. 

Считаем газы идеальными, то есть каждый из них занимает весь объем сосуда V, и общее давление смеси равно сумме парциальных давлений каждого из газов (закон Дальтона): p = p_1+p_2. Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для каждого из газов и для всей смеси в целом:

    \[ \begin{cases}p_1V = \frac{m_1}{\mu_1}RT, \\ p_2V = \frac{m_2}{\mu_2}RT, \\ pV = \frac{m_1+m_2}{\mu}RT\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} p_1 = \frac{m_1}{\mu_1V}RT, \\ p_2 = \frac{m_2}{\mu_2V}RT, \\ p = \frac{m_1+m_2}{\muV}RT \end{cases}\Leftrightarrow \]

    \[ p = p_1+p_2 = \frac{m_1+m_2}{\mu V}RT = \frac{m_1}{\mu_1V}RT + \frac{m_2}{\mu_2V}RT\Leftrightarrow \]

    \[ \frac{m_1+m_2}{\mu} = \frac{m_1\mu_2+m_2\mu_1}{\mu_1\mu_2}\Leftrightarrow \mu = \frac{\mu_1\mu_2(m_1+m_2)}{m_1\mu_2+m_2\mu_1}. \]

Здесь \mu_1 = 28\cdot 10^{-3} кг/моль — молярная масса азота, \mu_2 = 2\cdot 10^{-3} кг/моль — молярная масса водорода. Считаем, по структуре формулы видно, что вычисления можно проводить в граммах и граммах на моль:

    \[ \mu = \frac{28\cdot 2\cdot(14+9)}{14\cdot 2+9\cdot 28} = 4,6 \operatorname{g/mol}. \]

Из третьего уравнения исходной системы выражаем объем, получаем:

    \[ V = \frac{m_1+m_2}{\mu}\frac{RT}{p} = \frac{14\cdot 10^{-3}+9\cdot 10^{-3}}{4,6\cdot 10^{-3}}\cdot\frac{8,31\cdot 283}{10^6} = \]

    \[ =12\cdot 10^{-3} \operatorname{M}^3. \]

Задача 4. При нормальных условиях динамическая вязкость азота \eta = 17 мкПа·с. Найдите среднюю длину \bar{l} свободного пробега молекул газа. Молярная масса азота \mu = 28\cdot 10^{-3} кг/моль.

Решение.

Коэффициент динамической вязкости в кинетической теории газов определяется соотношением: \eta = \frac{1}{3}\bar{u}\bar{l}\rho, где \bar{u} — средняя скорость теплового движения молекул, \bar{l} — средняя длина свободного пробега молекул газа, \rho — плотность газа.

Плотность азота при нормальных условиях можно определить из уравнения Менделеева-Клапейрона:

    \[ p = \frac{\rho}{\mu}RT\Leftrightarrow \rho = \frac{p\mu}{RT}. \]

Среднюю тепловую скорость движения молекул азота при нормальных условиях определяется по формуле:

    \[ \bar{u}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi\mu}}. \]

Подставляя все в исходную формулу, получаем:

    \[ \eta = \frac{1}{3}\frac{p\mu}{RT}\sqrt{\frac{8RT}{\pi\mu}}\cdot\bar{l}\Leftrightarrow\bar{l} = \frac{3\eta}{p}\sqrt{\frac{\pi RT}{8\mu}}, \]

здесь T=273 К — температура газа при нормальных условиях, p=10^5 Па — давление газа при нормальных условиях. Вычисляем:

    \[ \bar{l} = \frac{3\cdot 17\cdot 10^{-6}}{10^5}\sqrt{\frac{3,14\cdot 8,3\cdot 273}{8\cdot 28\cdot 10^{-3}}} = 9\cdot 10^{-8}\operatorname{M}. \]

Задача 5. 1 кмоль азота, находящегося при нормальных условиях, расширяется адиабатически от объема V_1 до объема V_2 = 5V_1. Найдите изменение внутренней энергии газа и работу, совершенную при расширении.

Решение.

Поскольку процесс адиабатический, для начального и конечно состояния газа верно равенство: \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}, здесь \gamma — показатель адиабаты. Азот — двуатомный газ, поэтому для него \gamma = 1.4. Тогда получаем, что \frac{T_2}{T_1} = 5^{1-1.4} = 0,53, то есть T_2 = 0,53 T_1.

Изменение внутренней энергии вычисляется по формуле: \Delta U = \frac{i}{2}\nu R \Delta T, где i — число степеней свободы молекулы газа, для двуатомного газа i=5, R = 8,31 Дж / (моль·К) — универсальная газовая постоянная.

Получаем: \Delta U = \frac{5}{2}\nu R (0,53T_1 - T_1) = -1,18\nu R T_1. Газ находится при нормальных условиях, поэтому T_1= 273 К. Вычисляя, получаем: \Delta U = - 2,7 МДж (знак минус говорит о том, что внутренняя энергия уменьшилась).

Адиабатический процесс идет без теплообмена, поэтому Первый закон термодинамики для него записывается в виде: A = -\Delta U, где A — работа, совершаемая газом в процессе. Значит искомая работа равна A = 2,7 МДж.

Задача 6. Количество вещества кислорода равно \nu = 0,5 моль. Определите внутреннюю энергию кислорода, а также среднюю кинетическую энергию молекулы этого газа при температуре T = 300 К.

Решение.

Внутренняя энергия газа определяется по формуле: U = \frac{i}{2}\nu R T, где i — число степеней свободы молекулы газа, кислород — двуатомный газ, для него i=5, R = 8,31 Дж / (моль·К) — универсальная газовая постоянная. Считаем: U = \frac{5}{2}\cdot 0,5\cdot 8,31\cdot 300 = 3,1 кДж.

Средняя кинетическая энергия молекулы газа по Больцману определяется следующим образом: \overline{E_K} = \frac{i}{2}kT, где k=1,38\cdot 10^{-23} Дж/К — постоянная Больцмана.

Считаем: \overline{E_K} = \frac{5}{2}\cdot 1,38\cdot 10^{-23}\cdot 300 = 10^{-20} Дж.

Задача 7. Какого цвета будет звезда, если температура ее поверхности T = 4000 К? Какую энергию излучает звезда за 1 секунду с единицы поверхности?

Решение.

Для ответа на первый вопрос, используя закон смещения Вина. Определим какой длине волны соответствует максимум излучения нагретого тела при температуре 4000 К: \lambda_m = \frac{b}{T}, здесь b = 2,9\cdot 10^{-3} м·К — постоянная Вина. Считаем: \lambda_m = \frac{2,9\cdot 10^{-3}}{4000} = 725 нм. Это длина волны красного цвета.

Энергия, излучаемая с единицы поверхности за одну секунду, есть энергетическая светимость. Для того, чтобы ее найти, воспользуемся законом Стефана-Больцмана: R=\sigma T^4, где \sigma = 5,67\cdot 10^{-8} Вт/(м2·К4) — постоянная Стефана-Больцмана. Считаем: R = 5,67\cdot 10^{-8}\cdot 4000^4 = 1,45\cdot 10^7 Вт/м2.

Задача 8. Ядро урана _{92}^{238}U испуская α-частицу с энергией 4,2 МэВ, превращается в ядро тория _{90}^{234}Th. Определите массу атома _{90}^{234}Th, если масса атома _{92}^{238}U равна 238,1251 а.е.м.

Решение.

Уравнение данной реакции имеет вид: _{92}^{238}U \rightarrow _{90}^{234}Th + _2^4He. Масса протона равна m_p = 1,007276 а.е.м.,  масса нейтрона m_n = 1,008665 а.е.м.

Ищем дефект масс для ядра урана:

    \[ 92m_p+(238-92)m_n - 238,1251 = \]

    \[ =92\cdot 1,007276 + 146\cdot 1,008665 - 238,1251 = \]

    \[ =1,809382\operatorname{a.e.m.} = \frac{1,809382}{931,5} = 1685,4\operatorname{MeB}. \]

Здесь мы использовали, что c^2 = 931,5 МэВ/а.е.м. Непосредственно α-частице из этого достанется 4,2 МэВ энергии, остальные 1685,4-4,2=1681,2 МэВ или \Delta m = \frac{1681,2}{931,5}=1,804873 а.е.м. придутся на дефект масс ядра тория. Зная это, вычисляем массу атома тория:

    \[ 90m_p + (234-90)m_n-\Delta m = \]

    \[ 90\cdot 1,007276 + (234-90)\cdot 1,008665 - 1,804873 = \]

    \[ = 234,097727\operatorname{a.e.m.} \]

Задача 9. Два параллельных световых пучка, отстоящих друг от друга на расстоянии d=5 см, падают на кварцевую призму (n=1,49) с преломляющим угол \alpha = 25^0. Определите оптическую разность хода \Delta этих пучков на выходе их из призмы.
Два параллельных луча преломляются в призме

Геометрический ход лучей в задаче

Решение.

Из геометрии рисунка определяем, что l_1=d_1\operatorname{tg}\alpha, а l_2 = d_2\operatorname{tg}\alpha. Вычитанием первого уравнения из второго получаем, что l_2-l_1 = (d_2-d_1)\operatorname{tg}\alpha=d\operatorname{tg}\alpha.

l_2-l_1 — геометрическая разность хода лучей, она связана с искомой оптической разностью хода \Delta соотношением \Delta = n(l_2-l_1), где n — показатель преломления среды, в которой распространяется свет (в данном случае кварца). После подстановок и вычислений получаем: \Delta = nd\operatorname{tg}\alpha = 1,46\cdot 2\cdot\operatorname{tg}25^0 = 1,36 см.

Задача 10. Угол падения i_1 луча на поверхность стекла равен 60^0. При этом отраженный луч оказался максимально поляризованным. Определите угол r преломления луча.
Закон Брюстера

Иллюстрация к задаче

Решение.

Поскольку отраженный от стекла (диэлектрика) луч максимально поляризован, то луч падает на поверхность стекла под углом Брюстера. В такой ситуации в соответствии со следствием из закона Брюстера угол между отраженным и преломленным лучами равен 90^0. Известно также, что угол падения равен углу отражения. Тогда из геометрии рисунка искомый угол равен:

    \[ r=180^0-i_1-90^0 = 90^0-60^0 = 30^0. \]

Репетитор по физике
Сергей Валерьевич

Важно не количество знаний, а качество их. Можно знать очень многое, не зная самого нужного.
© Лев Николаевич Толстой

Добавить комментарий