Главная | Цены | Статьи | Контакты
Меню
Категории
Вступительный по математике в МФТИ
08.10.2017 Методическая копилка

В данной статье разобран пример вступительного экзамена по математике в МФТИ (бакалавриат). Если вас интересует разбор вступительного экзамена по физике, вы можете найти его на этой странице. Все решения выполнены профессиональным репетитором по математике и физике, осуществляющим подготовку абитуриентов к вступительным экзаменам в МФТИ (ФизТех).

Разбор вступительного экзамена по математике в МФТИ

1. Решите уравнение:

    \[ 4\sin x+\sqrt{3}\sin 2x=2\cos 2x\sin x. \]

Используем формулу «синус двойного угла»:

    \[ 4\sin x+2\sqrt{3}\sin x\cos x=2\cos 2x\sin x. \]

Переносим слагаемые, находящиеся справа от знака равенства, в левую сторону, меняя при этом их знак на противоположный, и выносим \sin x за скобки:

    \[ \sin x(4+2\sqrt{3}\cos x-2\cos 2x)=0. \]

Преобразуем теперь выражение, стоящее в скобках, используя формулу «косинус двойного угла»:

    \[ \sin x(4+2\sqrt{3}\cos x-2(2\cos^2x-1))=0 \]

    \[ \sin x(6+2\sqrt{3}\cos x-4\cos^2x)=0. \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. То есть возможны два случая:

1) \sin x = 0\Leftrightarrow x = \pi n,\, n\in Z.

2) 6+2\sqrt{3}\cos x-4\cos^2x=0.

Умножим обе части последнего уравнения на -1 и введём замену t=\cos x:

    \[ 4t^2-2\sqrt{3}t-6=0\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l} t_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ t_2=\sqrt{3}. \end{array} \]

Примечание. Последнее уравнение является квадратным и решается по стандартному алгоритму с помощью дискриминанта.

Возвращаемся к исходной переменной. Получаем, что либо \cos x = \sqrt{3} (это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как \sqrt{3}>1), либо \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}. Из последнего уравнения получаем x = \pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\, n\in Z.

Ответ: x=\pi n,\,x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\, n\in Z.

2. Решите систему уравнений:

    \[ \begin{cases} x^3+y^3=19 \\ (xy+8)(x+y)=2. \end{cases} \]

Преобразуем выражение с суммой кубов:

    \[ x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2). \]

В скобках заменим член -xy на разность 2xy-3xy. От этого равенство не нарушится. В результате получим:

    \[ (x+y)(x^2+2xy+y^2-3xy) = \]

    \[ =(x+y)((x+y)^2-3xy). \]

Итак, исходную систему можно представить в следующем виде:

    \[ \begin{cases} (x+y)((x+y)^2-3xy)=19 \\ (xy+8)(x+y)=2. \end{cases} \]

Теперь используем замену: a=x+y и b = xy. Тогда система принимает вид:

    \[ \begin{cases} a(a^2-3b)=19 \\ a(b+8)=2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a^3-3ab = 19 \\ 3ab+24a=6. \end{cases} \]

Теперь складываем почленно оба уравнения и приходим к следующему уравнению:

    \[ a^3+24a-25=0. \]

Корень этого уравнения угадывается автоматически: a=1. Других корней не будет, так как справа стоит возрастающая функция, поскольку она является суммой возрастающих функций, поэтому нулевое значение она может принимать только при каком-то одном значении a.

Итак, a=1, значит b = -6. Возвращаясь к исходным переменным, получаем следующую систему:

    \[ \begin{cases} x+y = 1 \\ xy=-6. \end{cases} \]

В результате приходим к окончательному ответу: (-2;3) и (3;-2).

3. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (1;3), касающейся графика функции y=8\sqrt{x}-7 и пересекающей в двух различных точках график функции y=x^2+4x-1.

В общем виде уравнение прямой может быть записано следующим образом: y=kx+b. Известно, что эта прямая проходит через точку (1;3), то есть имеет место равенство:

(1)   \begin{equation*} 3=k+b. \end{equation*}

Кроме того, прямая касается графика функции y=8\sqrt{x}-7. Значит уравнение

    \[ 8\sqrt{x}-7 = kx+b \]

должно иметь ровно один корень. Введём замену t=\sqrt{x}\geqslant 0. Тогда последнее условие эквивалентно тому, что дискриминант квадратного уравнения

(2)   \begin{equation*} kt^2-8t+7+b =0 \end{equation*}

равен нулю, и корень t при этом неотрицателен. То есть получаем:

    \[ D=64-4k(7+b) = 0\Leftrightarrow 16-7k-kb=0. \]

Таким образом с учётом уравнения (1) приходим к следующей системе:

    \[ \begin{cases} k+b = 3 \\ 16-7k-kb=0. \end{cases} \]

Решая эту систему методом подстановки, получаем следующие результаты: (k=2 и b=1) или (k=8 и b=-5). При k=2 и b=1 уравнение (2) имеет один неотрицательный корень x=2. При k=8 и b=-5 уравнение (2) имеет один неотрицательный корень x=\frac{1}{2}.

То есть из двух прямых y=2x+1 и y=8x-5 нужно выбрать такую, которая пересекает график функции y=x^2+4x-1 в двух различных точках.

  • Решаем сперва уравнение:

    \[ 2x+1 = x^2+4x-1\Leftrightarrow -x^2-2x+2=0. \]

Дискриминант последнего уравнения положителен. Значит, оно имеет два различных корня. Этот случай нам подходит.

  • Решаем теперь уравнение:

    \[ 8x-5 = x^2+4x-1\Leftrightarrow -x^2+4x-4 = 0. \]

Дискриминант этого уравнения равен нулю. Значит, решение в этом случае будет одно. Этот случай нам не подходит.

Ответ: y=2x+1.

Примечание. Для наглядности изобразим ситуацию на графике, хотя делать это необязательно, поскольку в задании этого не требуют:

Парабола, прямая и график квадратного корня на едином координатном поле

4. Хорда окружности, удалённая от центра на расстояние 15, разбивает окружность на два сегмента, в каждый из которых вписан квадрат. Найдите разность сторон этих квадратов.

Квадраты, вписанные в сегменты круга, из геометрической задачи вступительного экзамена по математике в МФТИ

Пусть радиус окружности равен R. Рассмотрим прямоугольные треугольники OMR и ODP. С учётом введённых на рисунке обозначений распишем теорему Пифагора для этих треугольников:

    \[ \begin{cases} x^2 = R^2-(2x+15)^2 \\ y^2 = R^2 - (2y-15)^2. \end{cases} \]

Вычтем почленно второе уравнение из первого:

    \[ y^2-x^2 = (2x+15)^2-(2y-15)^2. \]

Преобразуем полученное выражение, используя формулу «разность квадратов»:

    \[ (y-x)(y+x) = 4(x-y+15)(x+y). \]

Поделим обе части этого уравнения на x+y\ne 0 и обозначит разность y-x за t. В результате приходим к следующему уравнению:

    \[ t = 4(15-t)\Leftrightarrow t=12. \]

Искомая разность сторон квадратов в наших обозначениях будет равна 2t=24.

Ответ: 24.

5. Решите неравенство

    \[ \log_4\left(5-3^x\right)\cdot\log_2\left(\frac{5-3^x}{8}\right)\geqslant -1. \]

Введём замену: t=5-3^x>0. Тогда неравенство принимает вид:

    \[ \log_{2^2} t\cdot\log_2\left(\frac{t}{8}\right)\geqslant -1. \]

Теперь, используя стандартные свойства логарифмов, представим логарифмическое выражение слева от знака неравенства следующим образом:

    \[ \frac{1}{2}\log_2 t\left(\log_2 t - 3\right)\geqslant -1. \]

Введём ещё одну замену: z=\log_2 t. Тогда после умножения обеих частей неравенства на положительное число 2 неравенство принимает вид:

    \[ z^2-3z+2\geqslant 0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} z\leqslant 1\\ z\geqslant 2. \end{array} \]

Последовательно возвращаемся к исходной переменной x:

    \[ \left[ \begin{array}{l} \log_2 t\leqslant 1\\ \log_2 t\geqslant 2. \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0< t\leqslant 2\\ t\geqslant 4. \end{array}\Leftrightarrow \]

    \[ \left[ \begin{array}{l} 0< 5-3^x\leqslant 2\\ 5-3^x\geqslant 4. \end{array}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3\leqslant 3^x < 5\\ 3^x\leqslant 1. \end{array} \]

Окончательно получаем следующий ответ: x\in(-\mathcal{1};0]\cup[1;\log_3 5).

6. В две бочки были налиты растворы соли, причём в первую бочку было налито 16 кг, а во вторую — 25 кг. Оба раствора разбавили водой так, что процентное содержание соли уменьшилось в k раз в первой бочке и в m раз во второй. О числах k и m известно, что km = k+m+3. Найдите наименьшее количество воды, которое могло быть долито в обе бочки вместе.


Пусть в первую бочку долили x кг воды, а во вторую — y кг. Пусть в первой бочке находится a кг, а во второй b кг соли.

Тогда изначально в первой бочке процентное содержание соли составляло:

    \[ \frac{a}{16}\times 100\%, \]

а после доливания воды оно стало равно:

    \[ \frac{a}{x+16}\times 100\%. \]

Аналогично, во второй бочке изначально процентное содержание соли составляло:

    \[ \frac{b}{25}\times 100\%, \]

а после доливания воды оно стало равно:

    \[ \frac{b}{y+25}\times 100\%. \]

Тогда справедливы равенства:

(3)   \begin{equation*} \frac{a}{16}:\frac{a}{x+16}=\frac{x+16}{16}=1+\frac{x}{16} = k \end{equation*}

(4)   \begin{equation*} \frac{b}{25}:\frac{b}{y+25}=\frac{y+25}{25} = 1+\frac{y}{25} = m. \end{equation*}

Из уравнения (3) выражаем x=16(k-1), из уравнения (4) выражаем y=25(m-1), а из уравнения km = k+m+3 выражаем k=\frac{m+3}{m-1}. Мы ищем минимальное значение суммы x+y. Проще всего найти его, используя неравенство Коши:

    \[ x+y\geqslant 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{16(k-1)\cdot 25(m-1)} = \]

    \[ =40\sqrt{\left(\frac{m+3}{m-1}-1\right)(m-1)}= \]

    \[ = 40\sqrt{m+3-m+1} = 80. \]

Итак, наименьшее количество воды, которое могло быть долито в обе бочки вместе равно 80 кг.

Этот случай реализуется при 16(k-1) = 25(m-1), когда неравенство Коши преобразуется в равенство. То есть при k = \dfrac{25}{16}m-\dfrac{9}{16}. Подставляя это в выражение km = k+m+3, получаем после преобразований, что m = \dfrac{13}{5}. Отрицательный корень мы в расчёт не берём.

Ответ: 80 кг.

7. Вершина прямого угла C прямоугольного треугольника ABC расположена на диаметре окружности, параллельном хорде AB. Найдите площадь треугольника ABC, если ∠BAC = 75°, а радиус окружности равен 10.

Рисунок к задаче с треугольником из вступительного экзамена по математике в ФизТех

Выполним следующие дополнительные построения:

  • проведём высоту OD к хорде AB. Тогда D — середина AB, так как OD — высота и медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника AOB;
  • проведём отрезок CD. Он является медианой прямоугольного треугольника ACB, проведённой из вершины прямого угла. Значит, CD = AD = BD.

Переходим к решению:

  • сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Значит, ∠CBA = 15°;
  • так как CD = BD, то треугольник CDB — равнобедренный и ∠CBD = ∠DCB = 15°;
  • CBD = ∠BCO = 15°, поскольку они являются накрест лежащими при параллельных прямых и секущей. Значит, ∠DСO = 30°;
  • значит, в прямоугольном треугольнике COD против угла в 30° лежит катет OD, который равен половине гипотенузы CD. Пусть DO = x, а CD = AD = DB = 2x;
  • из теоремы Пифагора для треугольника ODB получаем, что x^2+4x^2 = 100, то есть x = 2\sqrt{5};
  • тогда искомая площадь треугольника ABC равна половине произведения его высоты, проведённой к стороне AB, которая по длине равна x, на основание AB, которое по длине равно 4x. То есть искомая площадь равна S = 2x^2 = 40.

Ответ: 40.

8. Найдите все значения параметра a, для каждого из которых неравенство

    \[ 2a-4+a(3-\sin^2x)^2+\cos^2x<0 \]

выполняется для всех значений x.

Преобразуем данное неравенство, раскрыв в нём скобки и использовав основное тригонометрическое тождество. В результате после всех преобразований получаем следующее неравенство:

    \[ a\sin^4 x-(6a+1)\sin^2x+11a-3<0. \]

Ведём замену \sin^2 x = t, причём 0\leqslant t\leqslant 1. Тогда получим следующее неравенство:

    \[ a\sin^4 x-(6a+1)\sin^2x+11a-3<0. \]

Задача свелась к тому, чтобы найти все значения параметра a, при котором последнее неравенство выполняется при всех t\in[0;1].

Для решения этой задачи представим последнее неравенство в виде:

    \[ a(t^2-6t+11) <t+3. \]

Легко видеть, что t^2-6t+11>0 при любых значениях t, так как дискриминант соответствующего квадратного уравнения отрицателен, и ветви соответствующей параболы направлены вверх. Поэтому мы можем разделить обе части последнего неравенства на положительное выражение t^2-6t+11, при этом знак неравенства не поменяется:

(5)   \begin{equation*} a <\frac{t+3}{t^2-6t+11}. \end{equation*}

Исследуем функцию y=\dfrac{t+3}{t^2-6t+11} на возрастание. Для этого определим при каких значениях t её производная положительна:

    \[ y'=-\frac{t^2+6t-29}{(t^2-6t+11)^2}>0\Leftrightarrow \]

    \[ \Leftrightarrow -3-\sqrt{38}<x<-3+\sqrt{38}. \]

Так как -3-\sqrt{38}<0, а -3+\sqrt{38}>1, то на промежутке t\in [0;1] данная функция возрастает. Поэтому неравенство (5) будет выполняться при любом t\in [0;1] при условии, что a<y(0), то есть a<\dfrac{3}{11}.

Ответ: a\in\left(-\mathcal{1};\dfrac{3}{11}\right).

Подготовка к вступительному экзамену по математике в МФТИ

Если вам требуется подготовка к вступительному экзамену по математике в МФТИ, обращайтесь к опытному профессиональному репетитору в Москве Сергею Валерьевичу. Возможны как очные, так и удаленный занятия через интернет с использованием интерактивной доски. Как показывает практика, в условиях ограниченности во времени именно занятия с репетитором обеспечивают наиболее эффективную подготовку к вступительным экзаменам. Подробную информацию о занятиях с репетитором вы можете найти на этой странице. Успехов вам в подготовке к экзаменам!

8 комментариев
  1. Скажите, а в 5-м задании нельзя было log2(5-3^x) принять за t?

    • Сергей

      Да, если преобразовать соответствующим образом неравенство. Но не уверен, что это было бы проще.

  2. Екатерина

    Задача с параметром гораздо сложнее, вы пропустили a перед скобкой

    • Сергей

      Спасибо за это замечание. Действительно, упустил этот момент. Но задача и в этом случае не особенно сложна. Переписал решение.

  3. 8 задание.Объясните как из 6asin^2x+cos^2x получилось sin^2x(6a+1)+1?

    • Сергей Валерьевич

      Там нигде такого не написано. То, что вы написали, не верно.

  4. Алексей

    Здравствуйте. Можете объяснить почему в 7 задании CD = AD = BD.

  5. Андрей

    по 4 задаче вопрос. Что будет если длина хорды будет меньше чем длина стороны квадрата вписанного в окружность такого радиуса? Квадрат внизу получится вписанным в окружность и длина его стороны при будет постоянной относительно радиуса (r/2корень(2)), а длина стороны верхнего будет различной в относительно от радиуса окр. т.к. зависит от длины хорды.
    тогда разность из при разных радиусах будет разной

Добавить комментарий для Антон

Нажмите, чтобы отменить ответ.


Можно не заполнять

Можно не заполнять

*