Чему равен косинус 36 градусов?

Суббота, Октябрь 1, 2016

Зададимся вопросом: «Чему равен косинус 36 градусов?» Конечно, можно взять калькулятор и посчитать. Приблизительное значение составит 0.809017… Но что если требуется найти точное значение? Дочитайте эту статью до конца, и вы узнаете, как быстро и просто решить эту задачу.



Заметим, что 36^{\circ}\cdot 5 = 180^{\circ}.

Также всем известна следующая формула приведения:

    \[ \cos(180^{\circ}-\alpha) = -\cos\alpha. \]

Используя это, получаем:

    \[ \cos(3\cdot 36^{\circ}) = -\cos(2\cdot 36^{\circ}). \]

Нам известна также формула косинуса двойного угла:

    \[ \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha-1 \]

и косинуса тройного угла:

    \[ \cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha. \]

Используя эти формулы, получаем следующее уравнение:

    \[ 4\cos^3 36^{\circ}-3\cos 36^{\circ}=1-2\cos^2 36^{\circ}. \]

Пусть \cos 36^{\circ} = x. Понятно, что 0<x<1, поскольку угол в 36^{\circ} находится в первой четверти на единичной окружности, где косинус положителен. Ну и косинус никогда не превосходит 1. В крайнем случае он равен 1 для угла в 90^{\circ}. Тогда с учётом этой замены получаем:

    \[ 4x^3-3x=1-2x^2\Leftrightarrow (x+1)(4x^2-2x-1) = 0. \]

Если вам не понятно, как было получено последнее преобразование, прочитайте статью Сложные случаи разложения многочленов на множители. Там вы найдёте подробное объяснение.

Так как 0<x<1, можно поделить обе части уравнения на x+1 (значение этого выражения не равно нулю):

    \[ 4x^2-2x-1 = 0\Leftrightarrow x = \frac{\sqrt{5}+1}{4}. \]

Вот такой ответ. Кстати, если посчитать значение полученного выражения на калькуляторе, то получатся те же 0.809017…

Материал подготовил репетитор по математике в Москве, Сергей Валерьевич

Смотрите также:

Добавить комментарий