Сложные случаи разложения многочленов на множители

Вторник, Сентябрь 6, 2016

Что делать, если в процессе решения задачи из ЕГЭ или на вступительном экзамене по математике вы получили многочлен, который не получается разложить на множители стандартными методами, которыми вы научились в школе? В этой статье репетитор по математике расскажет об одном эффективном способе, изучение которого находится за рамками школьной программы, но с помощью которого разложить многочлен на множители не составит особого труда. Дочитайте эту статью до конца и посмотрите приложенный видеоурок. Знания, которые вы получите, помогут вам на экзамене.

Разложение многочлена на множители методом деления


С том случае, если вы получили многочлен больше второй степени и смогли угадать значение переменной, при которой этот многочлен становится равным нулю (например, это значение равно a), знайте! Этот многочлен можно без остатка разделить на x-a.

Например, легко видеть, что многочлен четвёртой степени 3x^4-6x^3+2x^2+2x-1 обращается в нуль при x=1. Значит его без остатка можно разделить на x-1, получив при этом многочлен третей степени (меньше на единицу). То есть представить в виде:

    \[ 3x^4-6x^3+2x^2+2x-1 = \]

    \[ = (x-1)(Ax^3+Bx^2+Cx+D), \]

где A, B, C и D — некоторые числа. Раскроем скобки:

    \[ Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx-Ax^3-Bx^2-Cx-D = \]

    \[ =Ax^4+(B-A)x^3+(C-B)x^2+(D-C)x-D= \]

    \[ 3x^4-6x^3+2x^2+2x-1. \]

Поскольку коэффициенты при одинаковых степенях должны быть одинаковы, то получаем:

    \[ \begin{array}{l} A=3, \\ B-3=-6\Leftrightarrow B = -3, \\ C+3 = 2\Leftrightarrow C = -1,\\ D+1=2\Leftrightarrow D = 1. \end{array} \]

Итак, получили:

    \[ 3x^4-6x^3+2x^2+2x-1 = \]

    \[ =(x-1)(3x^3-3x^2-x+1). \]

Идём дальше. Достаточно перебрать несколько небольших целых чисел, что увидеть, что многочлен третьей степени 3x^3-3x^2-x+1 вновь делится на x-1. При этом получается многочлена второй степени (меньше на единицу). Тогда переходим к новой записи:

    \[ 3x^3-3x^2-x+1 = \]

    \[ = (x-1)(Ex^2+Fx+G), \]

где E, F и G — некоторые числа. Вновь раскрываем скобки и приходим к следующему выражению:

    \[ Ex^3+Fx^2+Gx-Ex^2-Fx-G = \]

    \[ Ex^2+(F-E)x^2+(G-F)x-G = \]

    \[ 3x^3-3x^2-x+1. \]

Опять из условия равенства коэффициентов при одинаковых степенях получаем:

    \[ \begin{array}{l} E = 3, \\ F-3 = -3\Leftrightarrow F = 0, \\ G-0 = -1\Leftrightarrow G = -1. \end{array} \]

Тогда получаем:

    \[ 3x^3-3x^2-x+1 = (x-1)(3x^2-1). \]

То есть исходный многочлен может быть разложен на множители следующим образом:

    \[ 3x^4-6x^3+2x^2+2x-1 = (x-1)^2(3x^2-1). \]

В принципе, при желании, используя формулу разность квадратов, результат можно представить также в следующем виде:

    \[ (x-1)^2(3x^2-1) = (x-1)^2(\sqrt{3}x-1)(\sqrt{3}x+1). \]

Вот такой простой и эффективный способ разложения многочленов на множители. Запомните его, он может вам пригодиться на экзамене или олимпиаде по математике. Проверьте, научились ли вы пользоваться этим методом. Попробуйте решить следующее задание самостоятельно.

Разложите многочлен на множители:

    \[ 2x^4+3x^3-2x^2-x-2. \]

Свои ответы пишите в комментариях.

Материал подготовил репетитор по математике и физике в Москве, Сергей Валерьевич

Комментарии

  1. Павел:

    (x-1)(2x»3″+5x»2″+3x+2)
    «n»-степень
    Можно попробовать,конечно,вот это разложить,(2x»3″+5x»2″+3x+2) но…)

    1. Сергей:

      При x=-2 выражение в скобках равно 0, поэтому надо выражение в скобках разделить на (x+2). Тогда получится (x-1)(x+2)(2x^2+x+1).

Добавить комментарий