Решение систем логарифмических и показательных неравенств с репетитором

Четверг, Апрель 5, 2012

До сдачи ЕГЭ по математике остается все меньше времени. Обстановка накаляется, нервы у школьников, родителей, учителей и репетиторов натягиваются все сильнее. Снять нервное напряжение вам помогут ежедневные углубленные занятия по математике. Ведь ничто, как известно, так не заряжает позитивом и не помогает при сдаче экзаменов, как уверенность в своих силах и знаниях. Сегодня репетитор по математике расскажет вам о решении систем логарифмических и показательных неравенств, заданий, традиционно вызывающих трудности у многих современных старшеклассников.

Для того, чтобы научиться  решать задачи C3 из ЕГЭ по математике как репетитор по математике рекомендую вам обратить внимание на следующие важные моменты.

1. Прежде чем приступить к решению систем логарифмических и показательных неравенств, необходимо научиться решать каждый из этих типов неравенств в отдельности. В частности, разобраться с тем, как находится область допустимых значений, проводятся равносильные преобразования логарифмических и показательных выражений. Некоторые связанные с этим тайны вы сможете постичь, изучив статьи «Решение задач C3 ЕГЭ по математике — логарифмические уравнения и неравенства» и «Решение задач C3 ЕГЭ по математике с репетитором — показательные уравнения и неравенства».

2. При этом необходимо осознавать, что решение системы неравенств не всегда сводится к решению отдельно каждого неравенства и пересечению полученных промежутков. Иногда, зная решение одного неравенства системы, решение второго значительно упрощается. Как репетитор по математике, занимающийся подготовкой школьников к сдаче выпускных экзаменов в формате ЕГЭ, раскрою в этой статье парочку связанных с этим секретов.

3. Необходимо четко уяснить для себя разницу между пересечением и объединением множеств. Это одно из важнейших математических знаний, которое опытный профессиональный репетитор старается дать своему ученику уже с первых занятий. Наглядное представление о пересечении и объединении множеств дают так называемые «круги Эйлера».

Пересечением множеств называется множество, которому принадлежат только те элементы, которые есть у каждого из этих множеств.

Другими словами, если даны два множества A и B, то их пересечением будет являться множество следующего вида: A \cap B = \{x \mid x\in A \wedge x \in B\}.

Пересечение множеств на кругах Эйлера

Изображение пересечения множеств с помощью «кругов Эйлера»

Объяснение на пальцах. У Дианы в сумочке находится «множество», состоящее из {ручкикарандашалинейкитетрадкирасчески}. У Алисы в сумочке находится «множество», состоящее из {записной книжкикарандашазеркальцатетрадкикотлеты по-киевски}. Пересечением этих двух «множеств» будет «множество», состоящее из {карандашатетрадки}, поскольку оба этих «элемента» есть и у Дианы, и у Алисы.

Важно запомнить! Если решением неравенства f(x)\lor 0 является промежуток A, а решением неравенства g(x)\lor 0 является промежуток B, то решением систем:

    \[ \begin{cases}f(x)\lor 0, \\ g(x)\lor 0;\end{cases} \]

является промежуток A\cap B, то есть пересечение исходных промежутков. Здесь и далее под \lor подразумевается любой из знаков <,>,\leqslant,\geqslant, а под \land — ему противоположный знак.

Объединением множеств называется множество, которое состоит из всех элементов исходных множеств.

Другими словами, если даны два множества A и B, то их объединением будет являться множество следующего вида: A \cup B = \{ x \mid x\in A \vee x\in B\}.

Объединение множеств на кругах Эйлера

Изображение объединения множеств с помощью «кругов Эйлера»

Объяснение на пальцах. Объединением «множеств», взятых в предыдущем примере будет «множество», состоящее из {ручкикарандашалинейкитетрадкирасчески, записной книжки, зеркальца, котлеты по-киевски}, поскольку оно состоит из всех элементов исходных «множеств». Одно уточнение, которое может оказаться не лишним. Множество не может содержать в себе одинаковых элементов.

Важно запомнить! Если решением неравенства f(x)\lor 0 является промежуток A, а решением неравенства g(x)\lor 0 является промежуток B, то решением совокупности:

    \[ \left[\begin{array}{l}f(x)\lor 0, \\ g(x)\lor 0;\end{array}\right. \]

является промежуток A\cup B, то есть объединение исходных промежутков.

Перейдем непосредственно к примерам.

Пример 1. Решите систему неравенств:

    \[ \begin{cases}4^x-6\cdot 2^x+8\geqslant 0, \\ \log_3\frac{2x^2+3x-5}{x+1}\leqslant 1.\end{cases} \]

Решение задачи C3. 

1. Решаем сперва первое неравенств. Используя замену t=2^x, переходим к неравенству:

    \[ $t^2-6t+8\geqslant 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t\leqslant 2, \\ t\geqslant 4.\end{array}\right. \]

Переходим к обратной подстановке:

    \[ \left[\begin{array}{l}2^x\leqslant 2^1, \\ 2^x\geqslant 2^2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x\leqslant 1, \\ x\geqslant 2.\end{array}\right.\Leftrightarrow \]

    \[ x\in(-\mathcal{1};1]\cup[2;+\mathcal{1}). \]

2. Решаем теперь второе неравенство. Область его допустимых значений определяется неравенством:

    \[ \frac{2x^2+3x-5}{x+1}>0\Leftrightarrow x\in(-2,5;-1)\cup(1;+\mathcal{1}). \]

В области допустимых значений с учетом того, что основание логарифма 3>1, переходим к равносильному неравенству:

    \[ \frac{2x^2+3x-5}{x+1}\leqslant 3\Leftrightarrow \frac{x^2-4}{x+1}\leqslant 0\Leftrightarrow \]

    \[ x\in (-\mathcal{1};-2]\cup(-1;2]. \]

Исключая решения, не входящие в область допустимых значений, получаем промежуток x\in (-2,5;-2]\cup(1;2].

3. Ответом к системе неравенств будет пересечение полученных промежутков, то есть x\in(-2,5;-2]\cup\{2\}.

Графическое изображение решения системы неравенств задание C3

Полученные промежутки на числовой прямой. Решение — их пересечение

Пример 2. Решите систему неравенств:

    \[ \begin{cases} 2^x+16\cdot 2^{-x}\geqslant 17, \\ 2\log_9(4x^2+1)\leqslant \log_3(3x^2+4x+1).\end{cases} \]

Решение задачи C3.

1. Решаем сперва первое неравенство. Умножаем обе части на 2^x>0 и делаем замену t=2^x, в результате чего приходим к неравенству:

    \[ t^2-17t+16\geqslant 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}t\leqslant 1, \\ t\geqslant 16.\end{array}\right. \]

Переходим к обратной подстановке:

    \[ \left[\begin{array}{l}2^x\leqslant 2^0, \\ 2^x\geqslant 2^4\end{array}\right.\Leftightarrow\left[\begin{array}{l}x\leqslant 0, \\ x\geqslant 4\end{array}\right.\Leftrightarrow \]

    \[ x\in(-\mathcal{1};0]\cup[4;+\mathcal{1}). \]

2. Решаем теперь второе неравенство. Область его допустимых значений определяется системой:

    \[ \begin{cases}4x^2+1>0, \\ 3x^2+4x+1>0\end{cases}\Leftrightarrow x\in(-\mathcal{1};-1)\cup\left(-\frac{1}{3};+\mathcal{1}\right). \]

Воспользовавшись свойствами логарифмов, в области допустимых значений переходим к равносильному неравенству:

    \[ \log_3(4x^2+1)\leqslant\log_3(3x^2+4x+1)\Leftrightarrow \]

    \[ 4x^2+1\leqslant 3x^2+4x+1\Leftrightarrow x^2-4x\leqslant 0\Leftrightarrow x\in[0;4]. \]

Данный промежуток целиком входит в область допустимых значений данного неравенства.

3. Общее решение системы будет являться пересечением полученных промежутков, то есть x=\{0,4\}.

Графическое изображение полученных числовых промежутков задача C3

Графическое изображение полученных промежуток. Решение системы — их пересечение

Пример 3. Решите систему неравенств:

    \[ \begin{cases}3^x<1+12\cdot 3^{-x}, \\ 2\operatorname{ln}\frac{1}{3x-2}+\operatorname{ln}(5-2x)\geqslant 0.\end{cases} \]

Решение задачи C3. 

1. Решаем сперва первое неравенство. Умножаем обе его части на 3^x>0, после чего получаем неравенство:

    \[ $3^{2x}-3^x-12<0. \]

Используя подстановку t=3^x, переходим к следующему неравенству:

    \[ t^2-t-12<0\Leftrightarrow -3<t<4. \]

Переходим к обратной подстановке:

    \[ -3<3^x<4^2\Leftrightarrow x\in(-\mathcal{1};\log_34). \]

2. Решаем теперь второе неравенство. Определим сначала область допустимых значений этого неравенства:

    \[ \begin{cases} \frac{1}{3x-2}>0, \\ 5-2x>0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x>\frac{2}{3}, \\ x<2,5\end{cases}\Leftrightarrow x\in\left(\frac{2}{3}; 2,5\right). \]

В области допустимых значений переходим к равносильному неравенству:

    \[ \operatorname{ln}\frac{5-2x}{(3x-2)^2}\geqslant 0\Leftrightarrow \frac{5-2x}{(3x-2)^2}\geqslant 1\Leftrightarrow \]

    \[ \frac{9x^2-10x-1}{(3x-2)^2}\leqslant 0\Leftrightarrow x\in\left[\frac{5-\sqrt{34}}{9};\frac{5+\sqrt{34}}{9}\right]. \]

Обращаем внимание, что

    \[ \frac{5+\sqrt{34}}{9}<\frac{5+\sqrt{36}}{9}=\frac{11}{9}<2,5 \]

    \[ \frac{5-\sqrt{34}}{9}=\frac{\sqrt{25}-\sqrt{34}}{9}<0<\frac{2}{3}. \]

Тогда с учетом области допустимых значений получаем: x\in\left(\frac{2}{3};\frac{5+\sqrt{34}}{9}\right].

3. Находим общее решения неравенств. Сравнение полученных иррациональных значений узловых точек — задача в данном примере отнюдь не тривиальная. Сделать это можно следующим образом. Так как

    \[ \frac{5+\sqrt{34}}{9}<\frac{5+\sqrt{39,0625}}{9}=\frac{5}{4}, \]

    \[ \log_34 = \log_3\sqrt[4]{256}>\log_3\sqrt[4]{243}=\log_33^{\frac{5}{4}} = \frac{5}{4}, \]

то \frac{5+\sqrt{34}}{9}<\log_34, и окончательный ответ к системе имеет вид: x\in\left(\frac{2}{3};\frac{5+\sqrt{34}}{9}\right].

Пример 4. Решите систему неравенств:

    \[ \begin{cases}\log_{\log_x 3x}(4x-1)\geqslant 0, \\ 21^x-9\cdot 7^x-3^x+9\leqslant 0.\end{cases} \]

Решение задачи С3.

1. Решим сперва второе неравенство:

    \[ 7^x\cdot 3^x-9\cdot 7^x-3^x+9\leqslant 0\Leftrightarrow \]

    \[ 7^x\cdot (3^x-9)-(3^x-9)\leqslant 0\Leftrightarrow \]

    \[ (7^x-1)\cdot(3^x-9)\leqslant 0\Leftrightarrow x\in[0;2]. \]

2. Первое неравенство исходной системы представляет собой логарифмическое неравенство с переменным основанием. Удобный способ решения подобных неравенств описан в статье «Сложные логарифмические неравенства», в его основе лежит простая формула:

    \[ \log_{k(x)}f(x)\lor \log_{k(x)}g(x)\Rightarrow \]

    \[ \Rightarrow (f(x)-g(x))\cdot (k(x)-1)\lor 0. \]

Вместо знака \lor может быть подставлен любой знак неравенства, главное, чтобы он был один и тот же в обоих случаях. Использование данной формулы существенно упрощает решение неравенства:

    \[ \log_{\log_x 3x}(4x-1)\geqslant \log_{\log_x 3x} 1\Rightarrow \]

    \[ (4x-2)\cdot(\log_x 3x - 1)\geqslant 0\Leftrightarrow \]

    \[ \frac{4x-2}{\log_3 x}\geqslant 0\Leftrightarrow x\in\left(0;\frac{1}{2}\right]\cup(1;+\mathcal{1}). \]

Определим теперь область допустимых значений данного неравенства. Она задается следующей системой:

    \[ \begin{cases}4x-1>0, \\ \log_x 3x > 0, \\ \log_x 3x\ne 1, \\ x> 0, \\ x\ne 1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x>\frac{1}{4}, \\ \log_x 3x >\log_x 1, \\ x\ne 1, \\ x>0, \\ x\ne 1\end{cases}\Leftrightarrow \]

    \[ \begin{cases}x>\frac{1}{4}, \\ (3x-1)(x-1)>0 \\ x>0, \\ x\ne 1\end{cases}\Leftrightarrow x\in\left(\frac{1}{4};\frac{1}{3}\right)\cup(1;+\mathcal{1}). \]

Легко видеть, что одновременно этот промежуток будет являться и решением нашего неравенства.

3. Окончательным ответом исходной системы неравенств будет пересечение полученных промежутков, то есть x\in\left(\frac{1}{4};\frac{1}{3}\right)\cup(1;2].

Пример 5. Решите систему неравенств:

    \[ \begin{cases}25^x-30\cdot 5^x+125\geqslant 0,\\ \log_x(x-1)\cdot \log_x(x+1)\leqslant 0.\end{cases} \]

Решение задания C3.

1. Решаем сперва первое неравенство. Используем подстановку t=5^x. Переходим к следующему квадратному неравенству:

    \[ t^2-30t+125\geqslant 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}5^x\leqslant 5, \\ 5^x\geqslant 25\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x\leqslant 1, \\ x\geqslant 2.\end{array}\right. \]

2. Решаем теперь второе неравенство. Область его допустимых значений определяется системой:

    \[ \begin{cases}x>0, \\ x\ne 1, \\ x-1>0, \\ x+1 > 0\end{cases}\Leftrightarrow x\in(1;+\mathcal{1}). \]

Данное неравенство равносильно следующей смешанной системе:

    \[ \left[\begin{array}{l}\begin{cases}\log_x(x-1)\leqslant 0, \\ \log_x(x+1)\geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}\log_x(x-1)\geqslant 0, \\ \log_x(x+1)\leqslant 0.\end{cases}\end{array}\right. \]

В области допустимых значений, то есть при x>1, используя равносильные преобразования переходим к следующей смешанной системе:

    \[ \left[\begin{array}{l}\begin{cases} x-1\leqslant 1, \\ x+1\geqslant 1,\end{cases} \\ \begin{cases}x-1\geqslant 1, \\ x+1\leqslant 1.\end{cases}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\begin{cases} x\leqslant 2, \\ x\geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}x\geqslant 2, \\ x\leqslant 0.\end{cases}\end{array}\right.\Leftrightarrow x\in[0;2]. \]

С учетом области допустимых значений получаем: x\in(1;2].

3. Окончательным решением исходной системы является пересечение полученных промежутков, то есть x=2.

Графическое изображение полученные в решении задачи C3 промежутков

Изображение полученных промежутков на числовой прямой

Пример 6. Решите систему неравенств:

    \[ \begin{cases}\frac{3\cdot 64^x+2^x-70}{64^x-2}\geqslant 3, \\ \log_3^2(x+3)-3\log_3(x+3)+2\leqslant 0.\end{cases} \]

Решение задачи C3.

1. Решаем сперва первое неравенство. Равносильными преобразованиями приводим его к виду:

    \[ \frac{2^x-64}{64^x-2}\geqslant 0\Leftrightarrow \frac{2^x-2^6}{2^{6x}-2^1}\geqslant 0 \]

    \[ \Leftrightarrow \frac{x-6}{6x-1}\geqslant 0\Leftrightarrow x\in\left(-\mathcal{1};\frac{1}{6}\right)\cup[6;+\mathcal{1}). \]

2. Решаем теперь второе неравенство. Область его допустимых значений определяется промежутком: x>-3. Используя замену переменной t=\log_3(x+3), переходим к следующему квадратичному неравенству:

    \[ t^2-3t+2\leqslant 0\Leftrightarrow 1\leqslant t\leqslant 2\Leftrightarrow 1\leqslant \log_3(x+3)\leqslant 2\Leftrightarrow \]

    \[ 3\leqslant x+3\leqslant 9\Leftrightarrow 0\leqslant x\leqslant 6. \]

Этот ответ целиком принадлежит области допустимых значений неравенства.

3. Пересечением полученных в предыдущих пунктах промежутков получаем окончательный ответ к системе неравенств: \left[0;\frac{1}{6}\right)\cup\{6\}.

Сегодня мы с вами решали системы логарифмических и показательных неравенств. Задания подобного рода предлагались в пробных вариантах ЕГЭ по математике в течение всего ныне идущего учебного года. Однако, как репетитор по математике, имеющий опыт подготовки к ЕГЭ, могу сказать, что это вовсе не означает, что аналогичные задания будут в реальных вариантах ЕГЭ по математике в июне.

Позволю себе высказать одно предостережение, адресованное в первую очередь репетиторам и школьным учителям, занимающимся подготовкой старшеклассников к сдаче ЕГЭ по математике. Весьма опасно готовить школьников к экзамену строго по заданным темам, ведь в этом случае возникает риск полностью «завалить» его даже при незначительном изменении ранее заявленного формата заданий. Математическое образование должно быть полным. Уважаемые коллеги, пожалуйста, не уподобляйте роботам своих учеников так называемым «натаскиванием» на решение определенного типа задач. Ведь нет ничего хуже формализации мышления человека.

Всем удачи и творческих успехов!

Профессиональный репетитор по физике и математике
Сергей Валерьевич

Если пробовать, то есть два варианта: получится или не получится. Если не пробовать — всего один.
© Народная мудрость

Комментарии

  1. Большое спасибо! Мне действительно помогла эта статья! Я, конечно, и раньше понимал, как решать эту ересь, но то решал, то не решал. А сейчас все отлично! Еще раз благодарю!

  2. Томас Георгиевич:

    Уважаемый Сергей Валерьевич!
    Спасибо за возможность задать вопрос.
    Есть ли способ решения системы трёх логарифмических уравнений с тремя неизвестными?
    Аналитический или иной.
    Т.Петров

    1. Сергей:

      Добрый день. Численные методы решения безусловно есть всегда, какой бы сложной ни была система. Вопрос только во времени вычислений. Ну а аналитический способ тоже может быть. Здесь нужно рассматривать каждый конкретный пример отдельно.

Добавить комментарий