Сегодня мы с вами разберем всего-навсего одну задачку (задание C4 из второго варианта диагностической работы по математике №3 от 1 марта 2011 года), но сделаем это очень подробно, так чтобы в решении при желании мог разобраться даже тот читатель, чье изучение геометрии завершилось в 7-ом классе после прочтения обложки к учебнику Атанасяна. В тексте статьи будет множество отступлений, освящающих затрагиваемые в решении теоретические факты из геометрии, будет проделан полный разбор всех возможных геометрических конфигураций и вариантов решения задачи. Статья получится большая и сложная, так что если хотите добраться до конца, наберитесь терпения, оно вам понадобится. Итак, приступим.
Задача. Площадь трапеции ABCD равна 810. Диагонали пересекаются в точке O. Отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями в точках M и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.
Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны (эти стороны называются основаниями трапеции), а две другие стороны не параллельны (эти стороны называются боковыми сторонами трапеции).
Решение.
Формулы для вычисления площади трапеции
Пусть основания трапеции равны a и 2a, высота трапеции равна h. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то есть:
Рассмотрим два возможных случая:
I. Точка P лежит на большем основании трапеции
Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
Признаки равенства треугольников
Треугольники AMP и BMC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (AP = BC по условию, ∠PAM = ∠BCM, так как являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей AC, ∠APM = ∠CBM, в силу того, что являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей BP). Из этого следует, что BM = MP. Аналогично доказывается, что CN = NP, а это означает, что MN — средняя линия треугольника BPC, поэтому:
На рисунке прямая c является секущей по отношению к прямым a и b, поскольку она пересекает их в двух точках.
Признаки и свойства параллельности двух прямых
Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам (∠OAD = ∠OCB, так как являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей AC, ∠OBC = ∠ODA, в силу того, что являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей BD), коэффициент подобия:
Это означает, что таким же образом относятся и высоты этих треугольников h1 и h2:
а с учетом того, что h1 + h2 = h получаем, что:
Треугольники ABC и A1B1C1 называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого:
Число k, равное отношению сходственных сторон треугольника, называется коэффициентом подобия.
Признаки подобия треугольников
Тогда площадь треугольника BOC равна:
Прямая, содержащая в себе отрезок MN, параллельна BC, поскольку MN — средняя линия треугольника BPC. Треугольники OMN и BOC подобны по двум углам (∠CBO = ∠ONM, так как являются накрест лежащими при параллельных BC, MN и секущей BN, ∠BCO = ∠OMN, в силу того, что являются накрест лежащими при параллельных BC, MN и секущей CM), коэффициент подобия равен:
Значит площади треугольников OMN и BOC относятся как квадрат их коэффициента подобия, то есть:
II. Пусть теперь точка P лежит на меньшем основании
Треугольники AMP и MCB подобны по двум углам (∠MAP = ∠MCB, так как являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей AC, ∠AMP = ∠BMC, так как являются вертикальными углами), коэффициент подобия:
Вертикальными углами называют пару углов с общей вершиной, образуемых при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого.
Это значит, что имеет место равенство:
Аналогично доказывается, что:
Треугольники PMN и PBC подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними (соотношения (1) и (2), ∠BPC — общий), коэффициент подобия треугольников:
Это означает, что:
Треугольники BOC и AOD подобны по двум углам (∠OAD = ∠OCB, так как являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей AC, ∠OBC = ∠ODA, поскольку являются накрест лежащими при параллельных прямых BC, AD и секущей BD), коэффициент подобия:
Это значит, что таким же образом относятся и их высоты (h1 — высота треугольника AOD, h2 — высота треугольника BOC):
а с учетом того, что h1 + h2 = h получаем, что:
Если отметить на плоскости три точки, не лежащие на одной прямой, и соединить эти точки отрезками, то полученная геометрическая фигура будет называться треугольником.
Формулы для вычисления площади треугольника
Введем обозначения:
Площадь треугольника выражается следующими формулами:
Тогда площадь треугольника BOC равна:
У подобных треугольников соответствующие углы равны, а значит, рассматривая опять подобные треугольники PMN и PBC, находим, что ∠MNP = ∠BCP. Но эти углы являются соответствующими при прямых MN, BC и секущей PC. Их равенство означает, что прямая, содержащая в себе отрезок MN, параллельна прямой, содержащей в себе отрезок BC.
Треугольники MON и OBC подобны по двум углам (∠MNO = ∠OBC, так как это накрест лежащие углы при параллельных прямых BC, MN и секущей BN, ∠MON = ∠BOC как вертикальные), коэффициент подобия:
Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому:
Ответ: 22,5 или 14,4.
Если вы добрались до этого места, не запутавшись в веренице гиперссылок и авторских отступлений, и что-нибудь для себя прояснилось или стало понятнее, могу вас поздравить, а вместе с вами и себя, ведь в этом и состояла моя цель. Учите математику, решайте задачи, помните, что это единственный способ подготовиться и успешно сдать предстоящие экзамены. Будьте настойчивы, требовательны к себе, и у вас все получится. Самым верным помощником в этом нелегком деле для вас непременно станет опытный профессиональный репетитор. Желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене.
Репетитор по математике в Тропарёво
Сергей Валерьевич
Читать @Sergey_V_S
Марк Аврелий
«Размышления» («Наедине с собой»)
Книга первая
От Вера, моего деда, я унаследовал сердечность и незлобивость.
От славы моего родителя и оставленной им по себе памяти — скромность и мужественность.
От матери — благочестие, щедрость, воздержание не только от дурных дел, но и дурных помыслов. А также — простоту образа жизни, далекую от всякой роскоши.
От прадеда — то, что не пришлось посещать публичных школ; я пользовался услугами прекрасных учителей на дому и понял, что на это стоит потратиться.
спасибо за полную теорию для повторения не лишне иотличное решение задачи обязательно решать два способа?
Помогите пожалуйста решить задачу…!!!! Дан треугольник ABC, AB = 6, BC = 7, AC = 8. Найти медиану AM.