Вступительное испытание по физике в МФТИ | Репетитор по математике и физике

в результатах поиска

Меню

Категории

Вступительное испытание по физике в МФТИ

14.09.2017 Сергей Валерьевич Методическая копилка

В данной статье представлен разбор демонстрационного варианта вступительного испытания по физике в МФТИ. Все решения выполнены профессиональным репетитором по физике и математике, занимающимся подготовкой абитуриентов к поступлению в МФТИ. Представлен также видеоразбор одного из заданий. Статья будет интересна абитуриентам, готовящимся к вступительному испытанию по физике в МФТИ, школьникам и преподавателям, а также всем, кто интересуется решением сложных задач по физике из школьного курса.

Разбор вступительного испытания по физике в МФТИ

1. Шарик скользит по гладкой горизонтальной поверхности и сталкивается с неподвижным шариком. Удар центральный, упругий. После столкновения первый шарик движется назад с кинетической энергией в 9 раз меньшей его начальной кинетической энергии.

1) Найти отношение масс шариков.
2) Найти отношение скорости второго шарика к начальной скорости первого шарика.

Пусть $m_1$ и $m_2$ — массы первого и второго шаров, соответственно; $\upsilon_1$ и $\upsilon_2$ — скорости движения первого шарика до и после удара, соответственно; $u$ — скорость движения второго шарика после удара.

Определяющая формула кинетической энергии выглядит следующим образом:

$E_K=\frac{m\upsilon^2}{2}.$

То есть кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости движения тела. Из этого следует, что поскольку после столкновения кинетическая энергия первого шарика стала в 9 раз меньше, то скорость его движения уменьшилась в 3 раза. То есть $\upsilon_2 = \frac{1}{3}\upsilon_1$ .

Запишем закон сохранения импульса в результате столкновения:

$m_1\upsilon_1 = -m_1\upsilon_2+m_2 u.$

Минус в выражении справа от знака равенства возникает из-за того, что после столкновения первый шарик начинает двигаться в противоположную сторону. После преобразований получаем следующее уравнение:

$\frac{4}{3}m_1\upsilon_1=m_2 u.$

Из этого уравнения выражаем скорость движения второго шарика после столкновения $u$ через скорость движения первого шарика до столкновения $\upsilon_1$ :

(1) $\begin{equation*} u = \frac{4m_1}{3m_2}\upsilon_1. \end{equation*}$

Поскольку удар был упругий, то выполняется закон сохранения механической энергии:

$\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}=\frac{1}{9}\cdot\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}+\frac{m_2 u^2}{2}.$

Или после упрощения:

$\frac{8}{9}m_1\upsilon_1^2 = m_2 u^2.$

Используя уравнение (1), получаем следующий результат:

$\frac{8}{9}m_1\upsilon_1^2 = m_2\cdot \frac{16m_1^2\upsilon_1^2}{9m_2^2}.$

Далее после несложных преобразований получаем ответ на вопрос под буквой а):

$\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{2}.$

Далее, используя уравнение (1), получаем ответ на вопрос под буквой б):

$\frac{u}{\upsilon_1} = \frac{4m_1}{3m_2} = \frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{2}{3}.$

2. Идеальный газ является рабочим веществом тепловой машины, работающей по циклу Карно. КПД цикла равен $\eta$ . Найти отношение модуля работы газа при изотермическом сжатии к работе газа за цикл.

Пусть $A$ — работа газа за цикл, $A_2$ — модуль работы газа при изотермическом сжатии, $Q_1$ — количество теплоты, переданное газу от нагревателя в процессе изотермического расширения, $Q_2$ — количество теплоты, отданное газом холодильнику в процессе изотермического сжатия.

В соответствии с 1-ым законом термодинамики имеет место равенство:

$Q_2 = A_2,$

так как теплота отдаётся холодильнику только в процессе изотермического сжатия газа, при этом изменение внутренней энергии идеального газа равно нулю, поскольку его температура не меняется (процесс изотермический).

Тогда по закону сохранения энергии получаем:

$Q_1=A+Q_2 = A+A_2.$

Распишем теперь КПД тепловой машины. По определению — это отношение полезной работы (полной работы газа за цикл $A$ ) к затраченной энергии (количеству теплоты, которое было передано газу от нагревателя $Q_1$ ):

$\eta = \frac{A}{Q_1} = \frac{A}{A+A_2}.$

Из последнего получаем:

$\frac{1}{\eta} = 1+\frac{A_2}{A}.$

Выражая искомое отношение, получаем окончательно:

$\frac{A_2}{A} = \frac{1}{\eta}-1 = \frac{1-\eta}{\eta}.$

3. Параметры цепи указаны на схеме. Источник идеальный. Ключ замыкают.

1) Найти установившееся напряжение на конденсаторе.
2) Найти ток через источник сразу после замыкания ключа.
3) Найти ток через источник в момент, когда напряжение на конденсаторе станет E/4.

1) После замыкания ключа через некоторое время конденсатор зарядится и ток через него прекратится. Далее ток будет течь только по «верхней» части схемы (через два последовательно соединённых резистора с сопротивлениями $R$ и $2R$ , а также источник $E$ с нулевым внутренним сопротивлением). Ток в такой цепи по закону Ома для полной цепи будет равен:

$I_1 = \frac{E}{3R}.$

Тогда напряжение на конденсаторе будет равно напряжению на резисторе $2R$ , посrольку они соединены параллельно. То есть искомое напряжение в первом случае будет равно:

$U_1=I_1\cdot 2R = \frac{2E}{3}.$

2) В самый первой момент после замыкания ключа конденсатор не заряжен и накоротко замыкает резистор $2R$ , поэтому последний не оказывает сопротивления току. Сопротивление оказывает только резистор $R$ . То есть ток в этот момент равен:

$I_2 = \frac{E}{R}.$

3) В тот момент, когда напряжение на конденсаторе равно E/4, такое же напряжение наблюдается и на резисторе $2R$ , и на верхнем участке цепи, поскольку все они соединены параллельно. То есть для «верхней» ветки цепи, состоящей из источника $E$ и резистора сопротивлением $R$ , соединённых последовательно, имеет место следующее равенство:

$\frac{E}{4} = E-I_3R.$

Примечание: иначе можно сказать, что последнее выражение представляет собой запись 2-го правила Кирхгофа для «верхнего» контура, состоящего из источника $E$ , а также двух резисторов $R$ и $2R$ .

Из этого уравнения получаем:

$I_3 = \frac{3E}{4R}.$

4. В электрической цепи, схема которой показана на рисунке, все элементы идеальные, их параметры указаны. До замыкания ключа ток в цепи отсутствовал. Ключ на некоторое время замыкают, а затем размыкают. Оказалось, что ток через резистор R непосредственно перед размыканием ключа в 3 раза меньше, чем сразу после размыкания.

1) Найдите ток через резистор R сразу после замыкания ключа.
2) Найдите ток через катушку сразу после размыкания ключа.
3) Какое количество теплоты выделится в цепи после размыкания ключа.

1) Индуктивность — наиболее инерционный элемент электрической цепи, поэтому сразу после замыкания цепи ток через индуктивность будет отсутствовать и затем начнёт постепенно нарастать. То есть в момент сразу после замыкания ключа ток будет протекать только по «верхней» части схемы (через источник и резисторы, соединённые последовательно). То есть ток через резистор $R$ в этом случае равен току во всей цепи и равен:

$I_1 = \frac{E}{5R}.$

2) Очевидно, что после замыкания ключа экспериментатор не дождался, пока ток в цепи установится, то есть разомкнул ключ до этого момента. Однако, после размыкания ключа, ток через катушку не может уменьшится до нуля мгновенно из-за того, что у катушки есть отличная от нуля индуктивность. В этом смысле катушка в цепи ведёт себя как КАМАЗ (или любой другой тяжёлый грузовик) на дороге, который, разогнавшись до большой скорости, остановиться мгновенно не сможет из-за своей большой массы. То есть индуктивность — это некий аналог массы в механике.

То есть сразу после того, как ключ разомкнут, ток $I_2$ , который до этого тёк через катушку, станет течь в «нижней» части цепи (из последовательно соединённого резистора $R$ и катушки индуктивности $L$ ). Этот ток нам и нужно найти. Из условия известно, что этот ток в три раза больше тока, который протекал через резистор $R$ непосредственно перед размыканием. Отметим также, что в соответствии с 1-м правилом Кирхгофа ток через резистор $4R$ в момент непосредственно перед размыканием ключа равен сумме токов $I_2$ (ток через катушку $L$ ) и $\frac{1}{3}I_2$ (ток через резистор $R$ ). Тогда можно записать 2-е правило Кирхгофа для «верхнего» контура в момент непосредственно перед размыканием ключа:

$E=\left(I_2+\frac{1}{3}I_2\right)\cdot 4R+\frac{1}{3}I_2\cdot R.$

После несложных преобразований получаем искомое значение тока:

$I_2 = \frac{3}{17}\frac{E}{R}.$

3) По закону сохранения энергии количество теплоты, которое выделится на резисторе $R$ после размыкания ключа равно запасу энергии, которым будет обладать катушка в момент непосредственно перед размыканием ключа:

$Q = \frac{LI_2^2}{2} = \frac{9}{578}\frac{LE^2}{R^2}.$

5. Угол при вершине стеклянного клина α = 15ᵒ, показатель преломления стекла n = 5/3. Луч света падает по нормали на верхнюю поверхность клина на расстоянии L от ребра клина (см. рис.). После отражения от нижней зеркальной поверхности клина и преломления на верхней луч выходит из клина под некоторым углом φ к нормали.

1) Найти угол φ.
2) Найти расстояние между точкой выхода луча из клина и ребром клина.

Изобразим оптический ход луча при его прохождении сквозь клин:

1) В треугольниках AFE и EDF равны по два угла: ∠F — общий, ∠AEF = ∠FDE = 90º. Значит, оставшиеся два угла также равны. То есть ∠A = ∠DEF = 15º. По закону отражения ∠DEF = ∠FEG = 15º. Значит, ∠DEG = 30º. Кроме того, ∠DEG = ∠η = 30º, так как эти углы являются накрест лежащими при параллельных прямых.

По закону преломления луча в точке G имеет место равенство:

$\frac{\sin\eta}{\sin\varphi} = \frac{1}{n}=\frac{\sin 30^{\circ}}{\sin\varphi}\Rightarrow\frac{1}{2\sin\varphi}=\frac{3}{5}.$

Понятно, что угол $\varphi$ — острый, поэтому из последнего равенства находим $\varphi = \arcsin\frac{5}{6}$ .

2) Наша цель состоит в нахождении расстояния AG. Ищем сперва расстояние ED из треугольника ADE:

$ED = L\tan 15^{\circ}=L\left(2-\sqrt{3}\right).$

Доказательство того, что $\tan 15^{\circ}=2-\sqrt{3}$ предлагаю читателю провести самостоятельно, либо посмотреть в видеоразборе выше.

Ищем теперь расстояние DG из треугольника EDG:

$DG = DE\tan 30^{\circ} = L\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}.$

Окончательно, находим расстояние AG:

$AG = AD + DG = L + L\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2L}{\sqrt{3}}.$

Подготовка к вступительному испытанию по физике в МФТИ

Если вам требуется подготовка к вступительному испытанию по физике в МФТИ, наиболее эффективным способом являются индивидуальные занятия с профессиональным репетитором по математике и физике в Москве, который специализируется на подготовке к этому экзамену. Контакты репетитора вы можете найти на этой странице. Удачи вам и успехов в подготовке к вступительному испытанию по физике в МФТИ!

варианты вступительных экзаменоввидеоуроки репетитораМФТИподготовка к вступительным экзаменам с репетиторомрешение задач по физике

2 комментария

⇓

Наталья
07.05.2018 к 21:40

Добрый день.
Проверьте пжта в 5й задаче у Вас опечатка скорее всего.последняя строчка-должно быть AG=AD+DG=L+L (2-корень из 3/корень из 3), тогда ответ получается.
Спасибо.
- Сергей
  08.05.2018 к 06:43
  
  Добрый день, да, исправил это. Спасибо!

Комментарии закрыты

топ