Задание 18 профильный уровень ЕГЭ по математике 2016

Вторник, Июнь 28, 2016

В задании 18 профильного уровня ЕГЭ по математике школьникам предлагается решить задачу с параметром. Такие задания надо уметь решить. К сожалению, решению именно этого класса задач в школе уделяется очень мало внимания. В данной статье репетитором по математике представлен подробный разбор двух типов заданий 18 профильного ЕГЭ по математике, которые были предложены на экзамене в 2016 году. Имеется видеоразбор решений.

Найдите значения параметра a, при каждом из которых уравнение

    \[ \sqrt{15x^2+6ax+9} = x^2+ax+3 \]

имеет ровно три различных решения.

Для тех, кто не хочет читать, доступен видеоразбор:

Чтобы корни существовали, правая часть уравнения должна быть положительной или равно нулю. В этом случае получаем систему:

    \[ \begin{cases} 15x^2+6ax+9 = (x^2+ax+3)^2 \\ x^2+ax+3\geqslant 0 \end{cases}\Leftrightarrow \]

    \[ \begin{cases} x^2(9-x^2-2ax-a^2) = 0 \\ x^2+ax+3\geqslant 0 \end{cases}\Leftrightarrow \]

    \[ \begin{cases} x^2(9-(x+a)^2) = 0 \\ x^2+ax+3\geqslant 0 \end{cases}\Leftrightarrow \]

    \[ \begin{cases} x^2(3-x-a)(3+x+a) = 0 \\ x^2+ax+3\geqslant 0. \end{cases} \]

Находим корни первого уравнения:

    \[ \begin{cases} \left[\begin{array}{l} x_1 = 0 \\ x_2 = -a-3 \\ x_3 = 3-a \end{array} \\ x^2+ax+3\geqslant 0 \end{cases} \]

Первый корень удовлетворяет неравенству. Ищем такие значения a, при которых второй и третий корни не совпадают, не равны нулю и удовлетворяют неравенству:

    \[ \begin{cases} -a-3 \ne 3-a \\ 3-a \ne 0 \\ -a-3 \ne 0 \\ (3-a)^2+a(3-a)+3\geqslant 0 \\ (-a-3)^2+a(-a-3)+3\geqslant 0 \end{cases}\Leftrightarrow \]

 

    \[ \begin{cases} a \ne 3 \\ a \ne -3\\ 12-3a\geqslant 0 \\ 3a+12\geqslant 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a \ne 3 \\ a \ne -3\\ a\leqslant 4 \\ a\geqslant -4 \end{cases} \]

Итак, ответ a\in[-4;-3)\cup(-3;3)\cup(3;4].

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

    \[ \frac{x-2a}{x+2}+\frac{x-1}{x-a} = 1 \]

имеет единственный корень.

Для тех, кто не хочет читать, доступен видеоразбор:

Преобразуем выражение:

    \[ \frac{(x-2a)(x-a)+(x-1)(x+2)-(x+2)(x-a)}{(x-1)(x-a)} = 0. \]

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, после чего получим:

    \[ \frac{x^2-2ax-x+2a^2+2a-2}{(x+2)(x-a)} = 0\Leftrightarrow \]

    \[ \frac{x^2-2ax+a^2-x+a+\frac{1}{4}+a^2+a+\frac{1}{4}-\frac{5}{2}}{(x+2)(x-a)} = 0\Leftrightarrow \]

    \[ \frac{(x-a)^2-(x-a)+\frac{1}{4}+a^2+a+\frac{1}{4}-\frac{5}{2}}{(x+2)(x-a)} = 0\Leftrightarrow \]

    \[ \frac{\left(x-a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(a+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{2}}{(x+2)(x-a)} = 0. \]

Введём замену: y = x-a, получаем следующее выражение:

    \[ \frac{\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\left(a+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{2}}{y(y+a+2)} = 0. \]

Теперь задание сводится к тому, чтобы найти такие a, при которых полученное уравнение имеет единственное решение y, отличное от 0 и -a-2.

Геометрическим местом точек, удовлетворяющих условию

    \[ \left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\left(a+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{2}, \]

является окружность в плоскости aOy с центом в точке \left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right) и радиусом \sqrt{\frac{5}{2}}. Путём подстановки в уравнение можно убедиться, что этой окружности принадлежат точки (1;0), (-2;0) и (-1;-1).

Из этой окружности нужно удалить точки, удовлетворяющие условию y = 0 и y = -a-2. При этом возможны только следующие значения a, при которых y будет единственным (пунктирные линии на рисунке):

Рисунок к задаче с параметром из ЕГЭ по математике 2016

Ищем абсциссы точек F, C, E, B, G:

  • абсцисса точки F равна \frac{-1+\sqrt{10}}{2};
  • абсцисса точки C равна 1;
  • абсцисса точки E равна -1;
  • абсцисса точки B равна -2;
  • абсцисса точки G равна \frac{-1-\sqrt{10}}{2}.

Репетитор для подготовки в ЕГЭ по математике, Сергей Валерьевич

Комментарии

  1. Вероника:

    Здравствуйте, Сергей! Я рассмотрела уже несколько решений подобных заданий и поняла, что все они очень разные и по разному решаются. Скажите, можно ли вообще научиться их решать? И если да, то есть ли какая-то методика? или сайт? или книга? Заранее благодарю за ответ.

    1. Сергей:

      Здравствуйте, Вероника. Универсальной методики, которая бы подходила всем, конечно, нет. Но если задаться целью и решать такие задачи каждый день по 1-2 штуки, то научиться их решать можно. А книг по этой тематике с разбором самых разнообразных примеров очень много. Начать можно с классического пособия Ткачука «Математика абитуриенту», к примеру.

  2. Кот Учёный:

    Вероника, чтобы «научиться» решать такие задачи, есть 2 пути (ИМХО).
    1. (малоэффективный, но ведущий к интеллектуальному росту) Каждый день решать по две задачи из Ткачука (варианты: Потапов-Олехник-Нестеренко, … …)
    2. Получить полноценное высшее техническое образование, проскочив ЕГЭ, впоследствии стать преподавателем университета с продвинутой математикой (для гонора) и репетитором (для хлеба). Тогда никто не сможет Вас обмануть, делая вид, что задача замышлялась в таком виде. как была подана. С точки зрения школьника «№18» — это трудная задача с параметром. С точки зрения «повара» кухни, где готовилось блюдо — скучное нагромождение кусков гипербол и частей прямых в плоскости (x,a). То решение, которое (почти) верно изложено в приведённом видео, есть перевод простой и всем (репетиторам) понятной образной геометрической логики на неповоротливый русский математический подъязык.
    По-русски: тупая задача.

    1. Сергей:

      Дело не в том, что задача тупая. Дело в том, что весь ЕГЭ такой. Но сдавать его всё равно надо. Вопрос в том, как подготовиться. В школе — не вариант. Научат решать только самые простые задачи. Курсы — сомнительный вариант. Тот же учитель у доски, тот же класс, те же проблемы. Можно пробовать самостоятельно. Способ очень хороший, но слишком долгий. Вот в чём корень зла. Времени всегда не хватает. Да и как готовиться? Решать задачи в случайном порядке в надежде извлечь из этого хаоса что-то рациональное? Это ж годы уйдут! А вот репетитор знает, как нужно готовить. Если он профессионал, конечно. Как бы пафосно это ни звучало, репетитор — это тот самый проводник, который ведёт ученика сквозь дебри разрозненных фактов, теорем, доказательство, задач с параметрами, тригонометрических уравнений и т.д., и т.д. А на выходе — знания, умения и навыки, необходимые для сдачи экзамена. Просто не всегда есть возможность заниматься с репетитором. Но это проблема очень многих в нашей стране. Тут уже только на себя приходится надеяться. Нужно пытаться подготовиться самостоятельно.

  3. Евгений:

    Здравствуйте. Начал рассматривать первый пример и задался вопросом: «Почему правая часть должна быть больше либо равна нулю???» Правая часть может принимать какие угодно значения, а вот подкоренное выражение в левой части должно быть больше либо равно нулю

    1. Сергей:

      Здравствуйте. Правая часть, поскольку она равна левой, в обязательном порядке должна быть больше либо равна нулю.

Добавить комментарий